1、4.2.4随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第第 1 课时课时离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 学 习 目 标核 心 素 养 1理解离散型随机变量的均值的意义 和性质，会根据离散型随机变量的分布 列求出均值(重点) 2掌握两点分布、二项分布、超几何 分布的均值(重点) 3会利用离散型随机变量的均值解决 一些相关的实际问题(难点) 1通过学习离散型随机变量的均值， 体会数学抽象的素养 2借助数学期望公式解决问题，提升 数学运算的素养. 某商场要将单价分别为 18 元/kg,24 元/kg,36 元/kg 的三种糖果按 321 的 比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 1均值或数学
2、期望 (1)定义：一般地，如果离散型随机变量 X 的分布列如下表所示 Xx1x2xkxn Pp1p2pkpn 则称 E(X)x1p1x2p2xnpn n i1xipi为离散型随机变量 X 的均值或数学期望 (简称为期望) (2)意义：它刻画了 X 的平均取值 (3)性质：若 X 与 Y 都是随机变量，且 Yaxb(a0)， 则 E(Y)aE(x)b. 拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系 加权平均数， 假设随机试验进行了 n 次， 根据 X 的概率分布， 在 n 次试验中， x1出现了 p1n 次，x2出现了 p2n 次，xn出现了 pnn 次，故在 n 次试验中，X 出现的总次数为 p
3、1nx1p2nx2pnnxn.因此 n 次试验中，X 出现的平均值等于 p1nx1p2nx2pnnxn n E(X) 故 E(X)p1x1p2x2pnxn. 2两点分布、二项分布及超几何分布的均值 (1)若随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布，则 E(X)p. (2)若 X 服从参数为 n，p 的二项分布，即 XB(n，p)，则 E(X)np； (3)若 X 服从参数为 N，n，M 的超几何分布，即 XH(N，n，M)，则 E(X) nM N . 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)随机变量 X 的数学期望 E(X)是个变量，其随 X 的变化而变化 () (2)随机变量的均值反
4、映样本的平均水平() (3)若随机变量 X 的数学期望 E(X)2，则 E(2X)4.() (4)随机变量 X 的均值 E(X)x1x2xn n .() 答案(1)(2)(3)(4) 2若随机变量 X 的分布列为 X101 P 1 2 1 6 1 3 则 E(X)() A0B1 C1 6 D1 2 CE(X)11 20 1 61 1 3 1 2 1 3 1 6.故选 C. 3设 E(X)10，则 E(3X5)_. 35E(3X5)3E(X)5310535. 4 (一题两空)若随机变量 X 服从二项分布 B 4，1 3 ， 则 E(X)的值为_； 若随机变量 YH(10,3,5)，则 E(Y)_
5、. 4 3 3 2 E(X)np41 3 4 3，E(Y) 35 10 3 2. 求离散型随机变量的数学期望 【例 1】(1)设口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取 2 个球，已知取到白 球个数的数学期望值为6 7，则口袋中白球的个数为( ) A3B4 C5D2 (2)(一题两空)某运动员投篮命中率为 p0.6，则 投篮 1 次时命中次数 X 的数学期望为_； 重复 5 次投篮时，命中次数 Y 的数学期望为_ (1)A(2)0.63(1)设白球 x 个，则取出的 2 个球中所含白球个数为 H(7,2，x), E()2x 7 6 7，x3.故选 A. (2)投篮 1 次，命中次数 X 的分布列
6、如下表： X01 P0.40.6 则 E(X)0.6. 由题意，重复 5 次投篮，命中的次数 Y 服从二项分布，即 YB(5,0.6)，则 E(Y)np50.63. 常见的三种分布的均值 1设 p 为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布 E(X)p； (2)二项分布 E(X)np. 2超几何分布 E(X)nM N ，其中 XH(N，n，M) 熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度 跟进训练 1(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，不命中得 0 分已知他命 中的概率为 0.8，则罚球一次得分 X 的期望是_ (2)设离散型随机变量 X的分布列为 P(Xk)Ck300 1 3
7、 k 2 3 300k (k0,1,2， ， 300)，则 E(X)_. (1)0.8(2)100(1)因为 P(X1)0.8，P(X0)0.2，所以 E(X)10.8 00.20.8. (2)由 P(Xk)Ck300 1 3 k 2 3 300k ， 可知 XB 300，1 3 ，E(X)3001 3100. 离散型随机变量均值的性质 【例 2】已知随机变量 X 的分布列为 X21012 P 1 4 1 3 1 5 m 1 20 若 Y2X，则 E(Y)_. 17 15 由随机变量分布列的性质，得 1 4 1 3 1 5m 1 201，解得 m 1 6， E(X)(2)1 4(1) 1 30
8、 1 51 1 62 1 20 17 30. 由 Y2X，得 E(Y)2E(X)， 即 E(Y)2 17 30 17 15. (变结论)本例条件不变，若aX3，且 E()11 2 ，求 a 的值 解E()E(aX3)aE(X)317 30a3 11 2 ， 所以 a15. 若给出的随机变量与 X 的关系为aXb， a， b 为常数.一般思路是先求出 EX， 再利用公式 EaXbaEXb 求 E.也可以利用 X 的分布列得到的分 布列，关键由 X 的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 E. 跟进训练 2已知随机变量和，其中127，且 E()34，若的分布列如下表， 则 m 的值为()
9、 1234 P 1 4 mn 1 12 A.1 3 B.1 4 C.1 6 D.1 8 A因为127，则 E()12E()7， 即 E()12 11 42m3n4 1 12 734. 所以 2m3n5 3， 又1 4mn 1 121， 所以 mn2 3， 由可解得 m1 3. 求离散型随机变量的均值 【例 3】在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个 单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序 号为 1,2，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值 思路点拨(1)可先求“
10、甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对 立事件的概率；(2)先求出的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值 解只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数 (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则 A 表示“甲、乙的演 出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 P(A)1P( A )1C 2 3 C26 11 5 4 5. (2)的所有可能取值为 0,1,2,3,4，且 P(0) 5 C26 1 3，P(1) 4 C26 4 15，P(2) 3 C26 1 5，P(3) 2 C26 2 15，P( 4) 1 C26 1 15. 从而知的分布列为 01
11、234 P 1 3 4 15 1 5 2 15 1 15 所以 E()01 31 4 152 1 53 2 154 1 15 4 3. 求离散型随机变量的数学期望的步骤 (1)根据的实际意义，写出的全部取值 (2)求出的每个值的概率 (3)写出的分布列 (4)利用定义求出数学期望 其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率 的相关知识 跟进训练 3盒中装有 5 节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池现在无放回地 每次取一节电池检验， 直到取到好电池为止， 求抽取次数 X 的分布列及数学期望 解X 可取的值为 1,2,3， 则 P(X1)3 5，P(X2) 2 5
12、3 4 3 10， P(X3)2 5 1 41 1 10. 抽取次数 X 的分布列为 X123 P 3 5 3 10 1 10 E(X)13 52 3 103 1 10 3 2. 离散型随机变量的均值实际应用 探究问题 1如果某篮球运动员的罚球命中率为 0.7，则其罚球 10 次大约能命中几个 球？ 提示100.77 个球 2在实际问题中，为什么用样本均值来估计总体均值？ 提示随机变量总体的均值是一个常量，而样本均值是一个变量，它常随 样本的不同而变化，但当样本容量趋于无穷大时，样本均值就越来越接近于总体 的均值，故我们常用样本均值估计总体均值 【例 4】随机抽取某厂的某种产品 200 件，经
13、质检，其中一等品 126 件， 二等品 50 件，三等品 20 件，次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利 润分别为 6 万元、 2 万元、 1 万元， 而 1 件次品亏损 2 万元， 设 1 件产品的利润(单 位：元)为 X. (1)求 X 的分布列； (2)求 1 件产品的平均利润(即 X 的数学期望)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%，一等品率提高 为 70%，如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多 是多少？ 思路点拨 根据利润的意义 写出 X 的取值 写出 X 的分布列 求出数学 期望 EX 利用期望 回答问题
14、解(1)X 的所有可能取值有 6,2,1，2. P(X6)126 2000.63， P(X2) 50 2000.25， P(X1) 20 2000.1， P(X2) 4 2000.02. 故 X 的分布列为 X6212 P0.630.250.10.02 (2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34. (3)设技术革新后的三等品率为 x，则此时 1 件产品的平均利润为 E(X) 60.7 2(1 0.7 0.01 x) 1x ( 2)0.01 4.76 x(0 x0.29) 依题意，E(X)4.73，即 4.76x4.73， 解得 x0.03，所以三等品率最多为 3%. 1实
15、际问题中的期望问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、 工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机 变量的期望来进行估计 2概率模型的三个解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的 公式有哪些 (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望 (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论 跟进训练 4甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击 中的环数 X 稳定在 7,8,9,10 环 将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和 图乙所示 (1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图
16、推断乙击中 8 环的概率 P(X 乙8)， 以及甲击中 9 环以上(包括 9 环)的概率； (2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁 大) 解(1)由图乙可知 P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35， 所以 P(X乙8)10.20.20.350.25. 同理 P(X 甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以 P(X甲10) 10.20.150.30.35. P(X 甲9)0.30.350.65. (2)因为 E(X甲)70.280.1590.310 0.358.8， E(X 乙)70.280.2590.2100.358.
17、7， 则有 E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高 1求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量 X 的取值； (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式写出均值 2对于 aXb 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即 E(aXb)aE(X) b；也可以先列出 aXb 的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前 者较方便 3若随机变量 XB(n，p)，则 E(X)np，若随机变量 YH(N，n，M)，则 E(Y)nM N . 1 一名射手每次射击中靶的概率为 0.8， 则独立射击 3 次中靶的次数 X 的数 学期望是() A0.83B0.8 C2.4D3 C
18、E(X)30.82.4. 2有 N 件产品，其中有 M 件次品，从中不放回地抽 n 件产品，抽到次品数 的数学期望值是() AnB(n1)M N C.nM N D(n1)M N C抽到的次品数 XH(N，n，M)， 抽到次品数的数学期望值 E(X)nM N . 3某射手射击所得环数的分布列如下： 78910 Px0.10.3y 已知的均值 E()8.9，则 y 的值为_ 0.4依题意得 x0.10.3y1， 7x0.82.710y8.9， 即 xy0.6， 7x10y5.4， 解得 y0.4. 4已知 E(X)5 3，且 YaX3，若 E(Y)2，则 a_. 3YaX3，E(Y)aE(X)35
19、 3a32，a3. 5根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险 但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立 (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； (2)X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的均值 解设该车主购买乙种保险的概率为 p，由题意知 p(10.5)0.3，解得 p0.6. (1)设所求概率为 P1，则 P11(10.5)(10.6)0.8. 故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8. (2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (10.5)(10.6)0.2. XB(100,0.2)，E(X)1000.220. X 的均值是 20.
