1、课时分层作业(一)向量概念 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1下列各量中是向量的是() A密度B电流C浮力D面积 C只有浮力既有大小又有方向 2 若向量 a 与向量 b 不相等， 则下列关于 a 与 b 的说法一定正确的是() A不共线B长度不相等 C不都是单位向量D不都是零向量 D若向量 a 与向量 b 不相等， 则说明向量 a 与向量 b 的方向或长度至少有 一个不同，所以 a 与 b 有可能共线，有可能长度相等，也可能都是单位向量，故 A，B，C 都错误，但 a 与 b 一定不都是零向量 3若BA CD 且|AB |AD |，则四边形 ABCD 的形状为() A正方形B菱形 C矩形
2、D平行四边形 B由BA CD 知 ABCD 且 ABCD，即四边形 ABCD 为平行四边形，又 因为|AB |AD |，所以四边形 ABCD 为菱形 4下列命题中，正确的是() A若向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 Ba，b 是两个单位向量，则 a 与 b 相等 C两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同 D共线的单位向量必是相等向量 A若 a 与 b 中有一个是零向量，则 a 与 b 共线 5给出以下条件，不能使 a 与 b 共线的是() Aab B|a|b| Ca 与 b 的方向相反 D|a|0 或|b|0 B根据相等向量一定是共线向量知 A 成立； |a|b|但方
3、向可以任意，B 不成立； a 与 b 反向必平行或重合，C 成立； 由|a|0 或|b|0，得 a0 或 b0.根据 0 与任何向量共线，D 成立 二、填空题 6已知 a，b 是不共线的向量，AB ab，AC ab(，R)，若 A， B，C 三点共线，则_. 1AB 与AC 有公共点 A， 若 A， B， C 三点共线， 则存在一个实数 t 使AB tAC ，即abtatb， 则 t， t1， 消去参数 t 得1；反之，当1 时，AB 1 ab，此时存 在实数1 使AB 1 AC ，故AB 和AC 共线 AB 与AC 有公共点 A，A，B，C 三点共线 7如图所示，已知 AD3，B，C 是线段
4、 AD 的两个三等分点，分别以图中 各点为起点和终点，模长度大于 1 的向量有_ AC ， CA ， BD ， DB ， AD ，DA 满足条件的向量有以下几类： 模长为 2 的向量有： AC ， CA ， BD ， DB ； 模长为 3 的向量有： AD ，DA . 8如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E，f 分别是 AD 与 BC 的中点，则 在以 A，B，C，D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF 方 向相反的向量为_ FE ， CD ，BA ABEf ，CDEf ， 与EF 方向相反的向量为FE， CD ，BA . 三、解答题 9一辆消防车从 A 地去 B 地执行
5、任务，先从 A 地向北偏东 30方向行驶 2 千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向 南偏西 30方向行驶 2 千米才到达 B 地 (1)在如图所示的坐标系中画出AD ， DC ， CB ， AB ； (2)求 B 地相对于 A 地的方位 解(1)向量AD ， DC ， CB ，AB 如图所示 (2)由题意知AD BC ， ADBC，则四边形 ABCD 为平行四边形，AB DC ，则 B 地相对于 A 地的方位是“北偏东 60距 A 地 6 千米” 10如图所示，O 为正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED，OCfB 都 是正方形
6、(1)写出与AO 相等的向量； (2)写出与AO 共线的向量； (3)向量AO 与CO 是否相等？ 解(1)与AO 相等的向量有： OC ， BF ，ED . (2)与AO 共线的向量有： OA ， OC ， CO ， AC ， CA ， ED ， DE ， BF ，FB . (3)向量AO 与CO 不相等，因为AO 与CO 的方向相反，所以它们不相等 1(多选题)下列说法错误的是() A若 a 与 b 平行，b 与 c 平行，则 a 与 c 一定平行 B终点相同的两个向量不共线 C若|a|b|，则 ab D向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反 ABCDA 中，因为零
7、向量与任意向量平行，若 b0，则 a 与 c 不一定平 行B 中，两向量终点相同，若夹角是 0或 180，则共线C 中，向量是既有 大小，又有方向的量，不可以比较大小D 中，因为向量 a 与向量 b 若有一个是 零向量，则其方向不确定. D 不正确故选 ABCD. 2把平面内所有长度不小于 1 且不大于 2 的向量的起点平移到同一点 O， 则这些向量的终点所构成的图形的面积为() A4B3C2D B图形是半径为 1 和 2 的同心圆对应的圆环，故 S圆环(2212)3. 3已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，则|BD |_ . 2 3结合菱形的性质可知|BD | 322 3.
8、4如图所示，在ABC 中，ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D，若AC 的模 为 2，BC 的模为 3，AD 的模为 1，则DB 的模为_ 3 2 如图，延长 CD，过点 A 作 BC 的平行线交 CD 的延长线于点 E. 所以ACDBCDAED， 所以|AC |AE |. 因为 AEBC，所以ADEBDC， 所以 |AD | |DB | |AE | |BC | |AC | |BC | ， 故|DB |3 2. 5一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行 1 m，逆时针方向转变 度，继续按直线向前行进 1 m，再逆时针方向转变度，按直线向前行进 1 m，按 此方法继续操作下去 (1)按
9、适当的比例作图说明当45时，至少需操作几次时赛车的位移为 0； (2)按此法操作使赛车能回到出发点，应满足什么条件？请写出其中两个 解(1)如图可知操作 8 次可使赛车的位移为零，此时360 8 45. (2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作 图形需是内角为(180)的正多边形，故 n(180)(n2)180，得360 n ， 又 n 是不小于 3 的整数，所以当 n10，即36时需操作 10 次可回到出发点； 当 n12，即30时需操作 12 次可回到出发点 6如图所示，已知四边形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，AD 的中点，又AB DC 且CN MA ，求证：DN MB . 证明因为AB DC ， 所以|AB |DC |且 ABDC. 所以四边形 ABCD 是平行四边形， 所以|DA |CB |且 DACB， 又因为DA 与CB 的方向相同， 所以CB DA . 同理可证，四边形 CNAM 是平行四边形， 所以CM NA . 因为|CB |DA |，|CM |NA |， 所以|MB |DN |. 又DN 与MB 的方向相同， 所以DN MB .
