1、课时分层作业(二十四)复数的三角形式* (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1 下 列 表 示 复 数 1 i 的 三 角 形 式 中 2 cos 4isin 4 ； 2 cos 4 isin 4； 2 cos9 4 isin9 4 ； 2 cos 4isin 3 4 ；正确的个数 是() A1B2C3D4 Br 1212 2，cos 2 2 ，sin 2 2 ，辐角主值为 4， 1i 2 cos 4isin 4 2 cos9 4 isin9 4 ， 故的表示是正确的，的表示不正确，故选 B 2已知 i 为虚数单位，z1 2(cos 60isin 60)，z2 2 2(sin 30icos
2、30)，则 z1z2() A4(cos 90isin 90)B4(cos 30isin 30) C4(cos 30isin 30)D4(cos 0isin 0) D z2 2 2(sin 30icos 30) 2 2(cos 300 isin300)， z1z22(cos 60isin 60)2 2(cos 300isin 300) 4(cos 360isin 360)故选 D 3计算 3(cos 270isin 270) 1 3cos (90)isin(90)的结果是( ) A9B9 C1D1 B 3(cos 270isin 270) 1 3cos (90)isin(90) 9cos(270
3、90)isin(27090) 9(cos 360isin 360)9，故选 B 4若复数 zr(cos isin )(r0，R)，则把这种形式叫作复数 z 的三 角形式，其中 r 为复数 z 的模，为复数 z 的辐角若一个复数 z 的模为 2，辐角 为2 3 ，则z i( ) A1 3iB1 3i C 3iD 3i D由复数 z 的模为 2，辐角为2 3 ，可得 z2 cos2 3 isin2 3 1 3i. 所以z i 1 3i i (1 3i)i 1 3i.故选 D 5适合|z1|1 且 arg z5 6的复数 z 的个数是( ) A0B1 C2D无穷多 答案C 二、填空题 6复数 1 c
4、os 3isin 3 的代数形式是_ 1 2 3 2 i 1 cos 3 isin 3 cos 3isin 3 1 2 3 2 i. 7设 z12i 对应的向量为OZ ，将OZ 绕原点按顺时针方向旋转 30所得向 量对应的复数的虚部为_ 12 3 2 所得向量对应的复数为(12i)cos(30)isin(30)(1 2i) 3 2 1 2i 32 2 12 3 2 i，故虚部为12 3 2 8 ( 一 题 两 空 ) 复 数 1 i 的 辐 角 主 值 是_ ， 三 角 形 式 是 _ 4 2 cos 4isin 4复数 1i 的模是 1212 2， 因为 1i 对应的点在第一象限且辐角的正切
5、 tan 1，它的辐角主值为 4. 三角形式为 2(cos 4isin 4) 三、解答题 9已知 z1i i 2i，z1 z z20，arg z27 12，若 z 1，z2在复平面上分 别对应点 A，B，且|AB| 2，求 z1的立方根 解由题设知 z1i，因为|AB| 2，即|z1z2| 2， 所以|z1z2| z z2z2|(1i)z2z2|iz2|z2| 2，又 arg z27 12， 所以 z2 2 cos7 12isin 7 12， z1 z z2(1i)z2 2 cos 4isin 4 2 cos7 12isin 7 12 2 cos5 6 isin5 6 ， 所以 z1的立方根为
6、32 cos 5 6 2k 3 isin 5 6 2k 3 ，k0,1,2， 即32 cos5 18isin 5 18 ， 3 2 cos17 18 isin17 18 ，32 cos29 18 isin29 18 . 10已知复数 z 满足 z22z40，且 arg z 2，. (1)求 z 的三角形式； (2)记 A、B、C 分别表示复数 z、2在复平面上的对应点已知 A、B、 C 三点成逆时针顺序，且ABC 为等边三角形，求 tan(arg ) 解(1)由 z22z40，得 z1 2(22 3i)1 3i. arg z 2，z1 3i 应舍去，z1 3i2 cos2 3 isin2 3
7、. (2)由题意，CA：z(2)z2，CB：(2)3， |CA|CB|，C、A、B 位置成逆时针顺序，又ACB 3， 把 CA 按逆时针方向旋转 60即得 CB，3(z2) cos 3isin 3 ， 将 z2 cos2 3 isin2 3 代入上式，解得2 7 (2 3i)， 由点 B 在第三象限知 tan(arg ) 3 2 . 1复数 ztan i 2的三角形式是() A 1 cos (sin icos ) B 1 cos (cos isin )； C 1 cos cos 3 2 isin 3 2 D 1 cos cos 2isin 2 D因为 2，所以 cos 0， 所 以 z tan
8、 i 1 cos sin i( cos ) 1 cos cos 2isin 2，故选 D 2(多选题)欧拉公式 eixcos xisin x(i 为虚数单位，xR)是由瑞士著名数 学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函 数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确 的是() Aei10 B|eix|1 Ccos xe ixeix 2 De12i在复平面内对应的点位于第二象限 ABei1cos isin 10，A 对； |eix|cos xisin x|1，B 对； cos xe ixeix 2 ，C 错； 依题可知 eix表示的复数在复
9、平面内对应的点的坐标为(cos x，sin x)，故 e12i 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 12，sin 12)，显然该点位于第四象 限，D 错故选 AB 3(多选题)已知复数 zcos icos 2(02)的实部与虚部互为相反数， 则的取值可能为() A 3 B2 3 CD5 3 ACD由题意得：cos cos 2，2cos2cos 10，解得：cos 1 或1 2. 02，或 3或 5 3 ，故选 ACD 4复数 zcos 15isin 15是方程 x 50 的一个根，那么的值等于 _. 1 2 3 2 i由题意得， cos 15isin 15 5 cos 3isin 3 1 2 3 2 i. 5设 O 为复平面的原点，A、B 为单位圆上两点，A、B 所对应的复数分别 为 z1、z2，z1、z2的辐角主值分别为、.若AOB 的重心 G 对应的复数为1 3 1 15i， 求 tan() 解由题意可设 z1cos isin ，z2cos isin . AOB 的重心 G 对应的复数为1 3 1 15i， z1z2 3 1 3 1 15i，即 cos cos 1， sin sin 1 5 ， 2cos 2 cos 2 1， 2sin 2 cos 2 1 5， tan 2 1 5， 故 tan() 2tan 2 1tan2 2 5 12.
