1、2.2充分条件、必要条件、 充要条件 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.命题真假与推出关系命题真假与推出关系 导思导思 1.p1.p是是q q的充分条件的含义是什么的充分条件的含义是什么? ?它与判定定理有什么关系它与判定定理有什么关系? ? 2.q2.q是是p p的必要条件的含义是什么的必要条件的含义是什么? ?它与性质定理有什么关系它与性质定理有什么关系? ? 3.p3.p是是q q的充要条件的含义是什么的充要条件的含义是什么? ?它与数学定义有什么关系它与数学定义有什么关系? ? 命题真假命题真假“若若p,p,则则q”q”为真命题为真命题“若若p,p,则则q”q”为假命题为假命题
2、 文字表述文字表述由由p p可以推出可以推出q q成立成立由由p p不能推出不能推出q q成立成立 符号表示符号表示_ 读法读法p p推出推出q qp p不能推出不能推出q q 传递性传递性如果如果p pq,qq,qs,s,那么那么 _ p pq qp qp q p ps s 2.2.充分条件、必要条件充分条件、必要条件 推出关系推出关系p pq q 条件关系条件关系p p是是q q的的_条件条件,q,q是是p p的的_条件条件 充分充分必要必要 3.3.充要条件充要条件 (1)(1)定义定义: : 推出关系推出关系p pq,q,且且q qp,p,记作记作_称为称为“p p与与q q等价等价”
3、或或“p p等价于等价于q”q” 条件关系条件关系p p是是q q的充分且必要条件的充分且必要条件, ,简称简称p p是是q q的充要条件的充要条件 (2)(2)本质本质:p:p是是q q的充分必要条件的充分必要条件, ,也常说成也常说成p p成立当且仅当成立当且仅当q q成立成立. . (3)(3)应用应用: :充要条件是数学中非常重要的概念充要条件是数学中非常重要的概念, ,应用充要条件可以从不同的角度应用充要条件可以从不同的角度 来理解、刻画很多数学内容来理解、刻画很多数学内容. . p pq q 【思考】【思考】 命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类命题按条件和结论的充分性、必要
4、性可分哪几类? ? 提示提示: :充分必要条件充分必要条件( (充要条件充要条件),),即即 p pq q且且q qp.p. 充分不必要条件充分不必要条件, ,即即p pq q且且q p.q p. 必要不充分条件必要不充分条件, ,即即p qp q且且q qp.p. 既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件, ,即即p qp q且且q p.q p. 4.4.性质定理、判定定理和数学定义性质定理、判定定理和数学定义 (1)(1)性质定理是指某类对象具有的具体特征性质定理是指某类对象具有的具体特征. . 性质定理具有性质定理具有“_”._”. (2)(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征判定定
5、理是指对象只要具有某具体的特征, ,就一定有该对象的所有特征就一定有该对象的所有特征. . 判定定理具有判定定理具有“_”._”. (3)(3)数学定义既具有必要性也具有充分性数学定义既具有必要性也具有充分性. . 必要性必要性 充分性充分性 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1) (1) 若若A AB,B,则则“xA”xA”是是“xB”xB”的充分条件的充分条件. .( () ) (2) (2) 两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例. .( () ) (3
6、)(3)若若p p是是q q的充要条件的充要条件,q,q是是r r的充要条件的充要条件, ,则则p p是是r r的充要条件的充要条件. .( () ) (4)(4)如果如果p p是是q q的充分条件的充分条件, ,则则p p是唯一的是唯一的. . ( () ) 提示提示: :(1).(1).根据子集的定义根据子集的定义, ,可知若可知若A AB,B,则则“xA” xA” “xB”,“xB”,所以所以 “xA”xA”是是“xB”xB”的充分条件的充分条件. . (2).(2).由三角形相似的判定和性质可知由三角形相似的判定和性质可知. . (3).(3).因为因为p pq,qq,qr,r,所以所
7、以p pr,r, 所以所以p p是是r r的充要条件的充要条件. . (4)(4). .不唯一不唯一, ,如如x3,x5,x10 x3,x5,x10等都是等都是x0 x0的充分条件的充分条件. . 2. (2. (教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )从符号从符号“”“ ”“”“ ”“”中选择适当的一个中选择适当的一个 填空填空: : (1)x-2=0_(x-2)(x-3)=0;(1)x-2=0_(x-2)(x-3)=0; (2)a+5(2)a+5是无理数是无理数_a_a是无理数是无理数; (3)x=y_(3)x=y_ = . = .xy 【解析】【解析】(1)x-2=0(1)x
8、-2=0 x=2 x=2(x-2)(x-3)=0;(x-2)(x-3)=0; (2)(2)根据无理数的定义可知根据无理数的定义可知,a+5,a+5是无理数是无理数a a是无理数是无理数. . (3)(3)因为当因为当x=y0 x=y2”(1)“x2”是是“x3”x3”的的_ 条件条件; (2)“(2)“四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形”是是“四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形”的的_ 条件条件. 【解析】【解析】(1)(1)因为因为“x3”x3”“x2”,“x2”,所以所以“x2”x2”是是“x3”x3”的必要条件的必要条件; ; (2)(2)因为因为“四边形四边形ABCDA
9、BCD是正方形是正方形”“四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形”, ,所以所以“四边形四边形ABCDABCD 是正方形是正方形”是是“四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形”的充分条件的充分条件. . 答案答案: :(1)(1)必要必要(2)(2)充分充分 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一充分条件和必要条件的判断类型一充分条件和必要条件的判断( (逻辑推理逻辑推理) ) 角度角度1 1利用定义直接判断利用定义直接判断 【典例】【典例】1.1.已知已知p:p:点点M(1-a,2a+6)M(1-a,2a+6)在第四象限在第四象限,q:a1,q:ab+1,q:a b;(2)p:ab+1
10、,q:a b; (3)p:(3)p:关于关于x x的方程的方程ax+b=0(a,bR)ax+b=0(a,bR)有唯一解有唯一解,q: a0;,q: a0; (4)p:(4)p:ABC ABC 三个内角满足三个内角满足2B=A+C, q:2B=A+C, q:ABC ABC 的内角的内角B=60B=60. . 【思路导引】【思路导引】1.1.分别判断充分条件和必要条件是否成立分别判断充分条件和必要条件是否成立, ,从而得到结果从而得到结果. . 2.2.分别判断分别判断p pq q和和q qp p是否成立是否成立, ,从而作出判断从而作出判断. . 【解析】【解析】1.1.选选A.A.因为点因为点
11、M(1-a,2a+6)M(1-a,2a+6)在第四象限在第四象限, , 所以所以 解得解得a-3.a-3. 因为因为a|a-3 a|a1,a|a-3 a|ab,b+1b,所以所以p pq,q,但是但是q p,q p, 因此因此,p,p是是q q的充分条件的充分条件, ,但但p p不是不是q q的必要条件的必要条件; ; (3)(3)关于关于x x的方程的方程ax+b=0(a,bR)ax+b=0(a,bR)有唯一解有唯一解, ,则则a0,a0,所以所以p q,p q, 反过来反过来, ,当当a0a0时时, ,关于关于x x的方程的方程ax+b=0(a,bR)ax+b=0(a,bR)有唯一解有唯一
12、解x=- ,x=- , 所以所以q qp,p, 因此因此p p是是q q的必要条件的必要条件, ,但但p p不是不是q q的充分条件的充分条件; ; (4)(4)因为因为2B=A+C,A+B+C=1802B=A+C,A+B+C=180, ,所以所以3B=1803B=180,B=60,B=60, ,所以所以p pq,q,反过来反过来, , 若若B= 60B= 60, ,则则A+C=180A+C=180-B=120-B=120, ,所以所以2B=A+C,2B=A+C,所以所以q qp,p, 因此因此p p是是q q的充要条件的充要条件. . b a 角度角度2 2从集合观点判断从集合观点判断 【典
13、例】【典例】(2020(2020淄博高一检测淄博高一检测) )设集合设集合A=x|-1x3,A=x|-1x3,集合集合B=x|0 x2,B=x|0 x2,则则 “xA”xA”是是“xB”xB”的的 ( () ) A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【思路导引】【思路导引】首先判定集合首先判定集合A A和和B B的包含关系的包含关系, ,然后根据然后根据“小范围小范围”可推出可推出“大大 范围范围”,“,“大范围大范围”不可推出不可推出“小范围小范围”, ,进行判断进行判断. .
14、【解析】【解析】选选B.B.因为因为A=x|-1x3,A=x|-1x3, B=x|0 x2,B=x|0 x2, 所以所以B A,B A,所以所以“xA”xA”是是“xB”xB”的必要不充分条件的必要不充分条件. . 【变式探究】【变式探究】 将本例中两个集合改为将本例中两个集合改为“集合集合A=x|-2x-12,A=x|-2x-12,集合集合B=x|3-x0”,B=x|3-x0”,其他条其他条 件不变件不变, ,如何解答如何解答? ? 【解析】【解析】因为因为A =x|-2x-12 =x|-1x3,A =x|-2x-12 =x|-1x3, B=x|3-x0=x|x3,B=x|3-x0=x|x3
15、, 所以所以A B,A B,所以所以“xA”xA”是是“xB”xB”的充分不必要条件的充分不必要条件. . 【解题策略】【解题策略】 判断判断p p是是q q的充分必要条件的两种思路的充分必要条件的两种思路 (1)(1)定义法定义法: :判断判断p p是是q q的充分必要条件的充分必要条件, ,主要是判断主要是判断p pq q及及q qp p这两个命题是否这两个命题是否 成立成立. .若若p pq q成立成立, ,则则p p是是q q的充分条件的充分条件, ,同时同时q q是是p p的必要条件的必要条件; ;若若q qp p成立成立, ,则则p p是是 q q的必要条件的必要条件, ,同时同时
16、q q是是p p的充分条件的充分条件; ;若二者都成立若二者都成立, ,则则p p与与q q互为充要条件互为充要条件. . (2)(2)集合法集合法: : 若若A AB,B,则则p p是是q q的充分条件的充分条件, ,若若A A B,B,则则p p是是q q的充分的充分 不必要条件不必要条件 若若B BA,A,则则p p是是q q的必要条件的必要条件, ,若若B B A,A,则则p p是是q q的必要的必要 不充分条件不充分条件 若若A=B,A=B,则则p,qp,q互为充要条件互为充要条件 若若A A B B且且B B A,A,则则p p既不是既不是q q的充分条件的充分条件, ,也不是也不
17、是q q的必的必 要条件要条件 其中其中p:A=x|p(x)p:A=x|p(x)成立成立,q:B=x|q(x),q:B=x|q(x)成立成立. 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020南通高一检测南通高一检测)“m ”)“m ”是是“关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+x+m=0+x+m=0有实数有实数 解解”的的_条件条件( () A.A.充分不必要充分不必要B.B.必要不充分必要不充分 C.C.充要充要D.D.既不充分也不必要既不充分也不必要 【解析】【解析】选选A.A.关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+x+m=0+x+m=0有实数解
18、有实数解, ,则则=1-4m0,=1-4m0,解得解得 m ,m ,所以所以 , ,所以所以“m ”ma,q:x3.p:xa,q:x3. (1)(1)若若p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件, ,求求a a的取值范围的取值范围; ; (2)(2)若若p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件, ,求求a a的取值范围的取值范围; ; (3)(3)若若a a是方程是方程x x2 2-6x+9=0-6x+9=0的根的根, ,判断判断p p是是q q的什么条件的什么条件. . 【思路导引】【思路导引】将将p p与与q q的条件关系转换为相应集合的关系的条件关系转换为相应集合的关系,
19、 ,求求a a的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】设设A=x|xa,B=x| x3.A=x|xa,B=x| x3. (1)(1)若若p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件, ,则有则有B A,B A,所以所以a3;a3;a3; (3)(3)因为方程因为方程x x2 2-6x+9=0-6x+9=0的根是的根是3,3, 所以所以a=3,a=3,于是有于是有A=B,A=B,所以所以p p是是q q的充要条件的充要条件. . 【变式探究】【变式探究】 将本例条件改为将本例条件改为“p: |x|2,q:xa”,p: |x|2,q:xa”,第第(2)(2)题如何解答题如何解答? ? 【解
20、析】【解析】设设A=x| A=x| |x|x|2,B=x|xa,2,B=x|xa, 则则A=x|-2x2,A=x|-2x2,若若p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件, ,则有则有A B,A B,所以所以a2.a2. 【解题策略】【解题策略】 根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点 (1)(1)先合理转化条件先合理转化条件, ,得到关于参数的方程或不等式得到关于参数的方程或不等式( (组组),),再通过解方程或不等再通过解方程或不等 式式( (组组) )求出参数的值或取值范围求出参数的值或取值范围. . (2)(2)求解参数的取值范围时求
21、解参数的取值范围时, ,一定要注意区间端点值的检验一定要注意区间端点值的检验, ,尤其是利用两个集尤其是利用两个集 合之间的关系求解参数的取值范围时合之间的关系求解参数的取值范围时, ,不等式是否能够取等号决定端点值的取不等式是否能够取等号决定端点值的取 舍舍, ,处理不当容易出现漏解或增解的现象处理不当容易出现漏解或增解的现象. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 (2020(2020岳阳高一检测岳阳高一检测) )已知集合已知集合A=x|-1x3,A=x|-1x3,集合集合B=xaxa+1,aR.B=xaxa+1,aR. (1)(1)若若“1B”1B”是真命题是真命题, ,求实数求实数a a的取值
22、范围的取值范围; ; (2)(2)若若“xA”xA”是是“xB”xB”的必要不充分条件的必要不充分条件, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】(1)(1)若若“1B”1B”是真命题是真命题, ,则则a 1a+1,a 1a+1,得得0a1.0a1. (2)(2)若若“xA”xA”是是“xB”xB”的必要不充分条件的必要不充分条件, , 则则B A,B A,即即 , ,得得-1a2,-1a2, 即实数即实数a a的取值范围是的取值范围是a|-1a2.a|-1a2. a1 a13 【补偿训练】【补偿训练】 设设p:p:实数实数x x满足满足ax0),q:ax0),q:实数
23、实数x x满足满足2x5.2x5.若若q q是是p p的充分不必要的充分不必要 条件条件, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】因为因为q q是是p p的充分不必要条件的充分不必要条件, , 所以所以q q对应的集合是对应的集合是p p对应集合的真子集对应集合的真子集, , 所以所以x|2x5 x|ax4a,x|2x5 x|ax4a, 即实数即实数a a的取值范围是的取值范围是 a2.a2. a2, a2, 5 a2 5 4a54a 4 得得， ， 5 4 类型三充要条件的探求与证明类型三充要条件的探求与证明( (逻辑推理逻辑推理) ) 【典例】【典例】求证求证:
24、:方程方程mxmx2 2-2x+3=0-2x+3=0有两个同号不相等实根的充要条件是有两个同号不相等实根的充要条件是0m .0m . 1 3 四步四步内容内容 理解理解 题意题意 即证即证0m 0m 是方程是方程mxmx2 2-2x+3=0-2x+3=0有两个同号不相等实根的有两个同号不相等实根的 充要条件充要条件 思路思路 探求探求 从充分性和必要性两个方面证明从充分性和必要性两个方面证明 1 3 四步四步内容内容 书写书写 表达表达 证明证明: :设设p:0m ,p:0m , q:q:方程方程mxmx2 2-2x+3=0-2x+3=0有两个同号不相等实根有两个同号不相等实根. . (1)(
25、1)充分性充分性(p(pq):q): 因为因为0m ,0m0,=4-12m0, 所以一元二次方程所以一元二次方程mxmx2 2-2x+3=0-2x+3=0有两个不等的实根有两个不等的实根. . 设方程的两根为设方程的两根为x x1 1,x,x2 2, , 当当0m 0m0= 0且且x x1 1x x2 2= 0,= 0, 故方程故方程mxmx2 2-2x+3=0-2x+3=0有两个同号且不相等的实根有两个同号且不相等的实根. . 1 3 1 3 1 3 2 m 3 m 四步四步内容内容 书写书写 表达表达 (2)(2)必要性必要性(q(qp):p): 若方程若方程mxmx2 2-2x+3=0-
26、2x+3=0有两个同号且不相等的实根有两个同号且不相等的实根, , 则有则有 所以所以0m ,0m , 即方程即方程mxmx2 2-2x+3=0-2x+3=0有两个同号且不相等的实根有两个同号且不相等的实根0m .0m . 综上可知综上可知, ,方程方程mxmx2 2-2x+3=0-2x+3=0有两个同号且不相等的实根的有两个同号且不相等的实根的 充要条件是充要条件是0m .0mbc”A.“acbc”是是“ab”ab”的必要条件的必要条件 B.“ac=bc”B.“ac=bc”是是“a=b”a=b”的必要条件的必要条件 C.“acbc”C.“acbc”是是“ab”ab”的充分条件的充分条件 D.
27、“ac=bc”D.“ac=bc”是是“a=b”a=b”的充分条件的充分条件 【解析】【解析】选选B.B.若若a=b,a=b,则则ac=bc;ac=bc;若若ac=bc,ac=bc,则则a a不一定等于不一定等于b,b,故故“ac=bc”ac=bc”是是“a=b”a=b” 的必要条件的必要条件. . 3.“x=-1”3.“x=-1”是是“x x2 2-x-2=0”-x-2=0”的的_条件条件,“x,“x2 2-x-2=0”-x-2=0”是是“x=-1”x=-1”的的 _条件条件.(.(用用“充分充分”“”“必要必要”填空填空) 【解析】【解析】由由x=-1x=-1x x2 2-x-2=0,-x-
28、2=0,所以所以“x=-1”x=-1”是是“x x2 2-x-2=0”-x-2=0”的充分条件的充分条件,“x,“x2 2-x-x- 2=0”2=0”是是“x=-1”x=-1”的必要条件的必要条件. . 答案答案: :充分必要充分必要 4.p:1-xa,4.p:1-xa,若若p p是是q q的充分条件的充分条件, ,则则a a的取值范围为的取值范围为_._. 【解析】【解析】x1x1xa,xa,令令A=x|x1,B=x|xa,A=x|x1,B=x|xa,则则A AB,B,所以所以a1.a1. 答案答案: :a1a1 5.(5.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )求证求证: :
29、关于关于x x的方程的方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)有一正根和有一正根和 一负根的充要条件是一负根的充要条件是ac0.ac0,x-4ac0,x1 1x x2 2= 0,= 0,所以所以ac0.ac0. (2)(2)充分性充分性: :由由ac0ac0-4ac0及及x x1 1x x2 2= 0,= 0, 所以方程所以方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个不相等的实根有两个不相等的实根, ,且两根异号且两根异号, ,即方程即方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有有 一正根和一负根一正根和一负根. .综上可知综上可知, ,关于关于x x的方程的方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)有一正根和一负根有一正根和一负根 的充要条件是的充要条件是ac0.ac0. c a c a
