1、第2课时集合的表示 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.常见的表示集合的方法有哪些常见的表示集合的方法有哪些? ? 2.2.用描述法表示集合要注意哪些问题用描述法表示集合要注意哪些问题? ? 3.3.两个集合相等的含义是什么两个集合相等的含义是什么? ? 4.4.有限集、无限集和空集的含义是什么有限集、无限集和空集的含义是什么? ? 1.1.列举法列举法 (1)(1)方法方法: :将集合的元素将集合的元素_出来出来, ,并置于花括号并置于花括号_内内. (2)(2)注意事项注意事项: :元素之间要用元素之间要用_分隔分隔; ;列举时与元素的列举时与元素的_无关无关. . 一一列
2、举一一列举“ ”“ ” 逗号逗号次序次序 【思考】【思考】 一一列举元素时一一列举元素时, ,需要考虑元素的顺序吗需要考虑元素的顺序吗? ? 提示提示: :用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序. . 例如例如:a,b:a,b与与b,ab,a表示同一个集合表示同一个集合. . 2.2.描述法描述法 (1)(1)形式形式:x|p(x),:x|p(x),其中其中x x为集合的代表元素为集合的代表元素,p(x),p(x)指元素指元素x x具有的性质具有的性质. . (2)(2)本质本质: :它是集合符号语言的具体体现它是集合符号语言的具体体现, ,可将集合中元素的规
3、律与性质清楚地可将集合中元素的规律与性质清楚地 表示出来表示出来. . 【思考】【思考】 (x,y)|y=x(x,y)|y=x2 2+2+2能否写为能否写为x|y=xx|y=x2 2+2+2或或y|y=xy|y=x2 2+2+2呢呢? ? 提示提示: :不能不能,(x,y),(x,y)表示集合的元素是有序实数对或点表示集合的元素是有序实数对或点, ,而而x x或或y y则表示集合的元素则表示集合的元素 是数是数, ,所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么. . 3.Venn3.Venn图法图法 (1)(1)形式形式: :画一条封闭的曲线
4、画一条封闭的曲线, ,用它的内部来表示一个集合用它的内部来表示一个集合. . (2)(2)作用作用: :直观地表示集合直观地表示集合. . 4.4.集合相等集合相等 (1)(1)定义定义: :如果两个集合所含的元素完全相同如果两个集合所含的元素完全相同, ,那么称这两个集合相等那么称这两个集合相等. . (2)(2)本质本质:A:A与与B B相等相等, ,即即A A中的元素都是中的元素都是B B的元素的元素,B,B中的元素也都是中的元素也都是A A的元素的元素. . 5.5.集合的分类集合的分类 (1)(1)含有含有_元素的集合称为有限集元素的集合称为有限集; ; (2)(2)含有含有_元素的
5、集合称为无限集元素的集合称为无限集; ; (3)_(3)_的集合称为空集的集合称为空集, ,记作记作. . 有限个有限个 无限个无限个 不含任何元素不含任何元素 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)由由1,1,2,31,1,2,3组成的集合可用列举法表示为组成的集合可用列举法表示为1,1,2,3.1,1,2,3. ( () ) (2)(2)集合集合(1,2)(1,2)中的元素是中的元素是1 1和和2.2.( () ) (3)(3)集合集合x|xx|x2 2=1=1与集合与集合-1,1-1,1相等相等. .( () )
6、 (4)(4)集合集合x|x3x|x3与集合与集合t|t3t|t3相等相等. .( () ) 提示提示: :(1)(1). .由由1,1,2,31,1,2,3组成的集合可用列举法表示为组成的集合可用列举法表示为1,2,3.1,2,3. (2)(2). .集合集合(1,2)(1,2)中的元素是中的元素是(1,2).(1,2). (3).(3).由由x x2 2=1=1求得求得x=-1x=-1或或x=1,x=1,所以所以x|xx|x2 2=1=1与与-1,1-1,1相等相等. . (4).(4).虽然两个集合的代表元素的符号虽然两个集合的代表元素的符号( (字母字母) )不同不同, ,但实质上它们
7、均表示大于但实质上它们均表示大于3 3 的实数的实数, ,两个集合相等两个集合相等. . 2.2.给出下列集合给出下列集合, , (1)0.(2)x|x7,(1)0.(2)x|x7,且且x1.x4.(4)x|x(3)x|x4.(4)x|x2 2-2=0,xZ.-2=0,xZ. 其中空集的个数为其中空集的个数为( () ) A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 【解析】【解析】选选B.B.满足满足x7x7且且x1x7,x|x7,且且x1=x1=. . 因为因为x x2 2-2=0-2=0的解为的解为, ,不是整数不是整数, , 所以所以x|xx|x2 2-2=0,xZ=-2=0,xZ
8、=. . 另外两个集合显然不是空集另外两个集合显然不是空集. .故空集的个数为故空集的个数为2.2. 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )由大于由大于-1-1小于小于5 5的自然数组成的集合用列举法表示的自然数组成的集合用列举法表示 为为_,_,用描述法表示为用描述法表示为_._. 【解析】【解析】大于大于-1-1小于小于5 5的自然数有的自然数有0,1,2,3,4.0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为故用列举法表示集合为 0,1,2,3,4,0,1,2,3,4, 用描述法表示可用用描述法表示可用x x表示代表元素表示代表元素, ,其满足的条件是其满足的条件是-
9、1x5,xN.-1x5,xN.故用描述法表故用描述法表 示集合为示集合为x|-1x5,xN.x|-1x5,xN. 答案答案: :0,1,2,3,40,1,2,3,4x|-1x5,xNx|-1x5,xN 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一列举法表示集合类型一列举法表示集合( (数学抽象数学抽象) ) 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020长春高一检测长春高一检测) )若若2 ,2 ,则则x x的值为的值为_._. 2.(20202.(2020常州高一检测常州高一检测) )设设M=m,2,N=m+2,2m,M=m,2,N=m+2,2m,且且M=N,M=N,则实数则实数m m的
10、值是的值是_._. 2 1,xx 3.3.用列举法表示下列集合用列举法表示下列集合. . (1)(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合中国古典长篇小说四大名著构成的集合. . (2)(2)不大于不大于1010的非负偶数组成的集合的非负偶数组成的集合. . (3)(3)方程方程x x3 3=x=x的实数解组成的集合的实数解组成的集合. . (4)(4)一次函数一次函数y=x-2y=x-2与与y=-xy=-x的图象的交点组成的集合的图象的交点组成的集合. . 【解析】【解析】1.1.因为因为21,x21,x2 2+x,+x,所以所以2=x2=x2 2+x,+x, 解得解得x=1x=1或或-2,-
11、2,经检验满足互异性经检验满足互异性, ,所以所以x=1x=1或或-2.-2. 答案答案: :1 1或或-2-2 2.2.因为因为M=m,2,N=m+2,2m,M=m,2,N=m+2,2m,且且M=N,M=N, 所以所以 解得解得m=0,m=0,所以实数所以实数m m的值为的值为0.0. 答案答案: :0 0 m2m 2m2 ， ， 3.(1)3.(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合是中国古典长篇小说四大名著构成的集合是 三国演义三国演义, ,西游记西游记, , 水浒传水浒传, ,红楼梦红楼梦. (2)(2)因为不大于因为不大于1010是指小于或等于是指小于或等于10,10,非负是大于或等
12、于非负是大于或等于0 0的意思的意思, ,所以不大于所以不大于1010 的非负偶数集是的非负偶数集是0,2,4,6,8,10.0,2,4,6,8,10. (3)(3)方程方程x x3 3=x=x的实数解是的实数解是x=0 x=0或或x=1x=1或或x=-1,x=-1,所以方程的实数解组成的集合为所以方程的实数解组成的集合为 0,1,-1.0,1,-1. (4)(4)解方程组解方程组 得得 即交点是即交点是(1,-1),(1,-1),故两函数图象的交点组成的集合是故两函数图象的交点组成的集合是(1,-1).(1,-1). yx2 yx ， ， x1 y1 ， ， 【解题策略】【解题策略】 1.1
13、.用列举法表示集合的三个步骤用列举法表示集合的三个步骤 (1)(1)求出集合的元素求出集合的元素. . (2)(2)把元素一一列举出来把元素一一列举出来, ,且相同元素只能列举一次且相同元素只能列举一次. . (3)(3)用花括号括起来用花括号括起来. . 2.2.在用列举法表示集合时的关注点在用列举法表示集合时的关注点 (1)(1)明确集合中的元素是什么明确集合中的元素是什么. .如如T3(4)T3(4)是点集是点集, ,而非数集而非数集, ,集合的所有元素用有集合的所有元素用有 序数对表示序数对表示, ,并用并用“ ”括起来括起来, ,元素间用分隔号元素间用分隔号“,”.,”. (2)(2
14、)元素不重复元素不重复, ,元素无顺序元素无顺序. .如如1,1,21,1,2为错误表示为错误表示. .又如集合又如集合1,2,3,41,2,3,4与与 2,1,4,32,1,4,3表示同一集合表示同一集合. . 【补偿训练】【补偿训练】 用列举法表示下列集合用列举法表示下列集合: : (1)(1)方程方程(x-1)(x-1)2 2(x-2)=0(x-2)=0的解组成的集合的解组成的集合. . (2) “Welcome”(2) “Welcome”中的所有字母构成的集合中的所有字母构成的集合. . (3) 2022(3) 2022年冬奥会的主办城市组成的集合年冬奥会的主办城市组成的集合. . 【
15、解析】【解析】(1)(1)方程方程(x-1)(x-1)2 2(x-2)=0(x-2)=0的解为的解为1 1或或2,2,因此可以用列举法表示为因此可以用列举法表示为1,2.1,2. (2)(2)由于由于“Welcome”Welcome”中包含的字母有中包含的字母有W,e,l,c,o,m,W,e,l,c,o,m,共共6 6个元素个元素, ,因此可以用列举因此可以用列举 法表示为法表示为W,e,l,c,o,m.W,e,l,c,o,m. (3)(3)北京、张家口同为北京、张家口同为20222022年冬奥会主办城市年冬奥会主办城市, ,因此可以用列举法表示为因此可以用列举法表示为 北京北京, , 张家口
16、张家口. 类型二描述法表示集合类型二描述法表示集合( (数学抽象数学抽象) ) 【典例】【典例】1.1.已知集合已知集合A=(x,y)|xA=(x,y)|x2 2+y+y2 2=1,xZ,yZ,=1,xZ,yZ,则则A A中元素的个数为中元素的个数为 ( () ) A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 2.2.已知集合已知集合A=x|x=2m-1,mZ,B=x|x=2n,nZ,A=x|x=2m-1,mZ,B=x|x=2n,nZ,且且x x1 1,x,x2 2A,xA,x3 3B,B,则下列判则下列判 断不正确的是断不正确的是( () ) A.xA.x1 1x x2 2AAB.xB.
17、x2 2x x3 3BB C.xC.x1 1+x+x2 2BBD.xD.x1 1+x+x2 2+x+x3 3AA 3.3.用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合: : (1) .(1) . (2)(2)被被5 5除余除余1 1的正整数组成的集合的正整数组成的集合. . (3)(3)坐标平面内坐标轴上的点集坐标平面内坐标轴上的点集. . 1 1 1 , 2 4 6 【思路导引】【思路导引】 1.1.首先确定首先确定x x和和y y的取值范围的取值范围, ,其次根据其次根据xZ,yZxZ,yZ逐一列举逐一列举, ,确定确定A A中元素的个数中元素的个数. . 2.2.首先确定集合首先确定集合A
18、A表示奇数集表示奇数集, ,集合集合B B表示偶数集表示偶数集, , 其次根据奇数、偶数之间相加和相乘的运算结果判断其次根据奇数、偶数之间相加和相乘的运算结果判断. . 3.3.首先确定集合中元素的共同特征首先确定集合中元素的共同特征, ,其次选择合适的等式和不等式表示其次选择合适的等式和不等式表示. . 【解析】【解析】1.1.选选D.D.由题意得由题意得,-1x1,-1y1,xZ,yZ,A=(0,1),(1,0),(-,-1x1,-1y1,xZ,yZ,A=(0,1),(1,0),(- 1,0),(0,-1),1,0),(0,-1),所以所以A A中元素的个数为中元素的个数为4.4. 2.2
19、.选选D.D.因为集合因为集合A A表示奇数集表示奇数集, ,集合集合B B表示偶数集表示偶数集, ,所以所以x x1 1,x,x2 2是奇数是奇数,x,x3 3是偶数是偶数, , 所以所以x x1 1+x+x2 2+x+x3 3为偶数为偶数, ,故故D D错误错误. . 3.(1)3.(1)集合集合 用描述法表示为用描述法表示为 (2)(2)根据被除数根据被除数= =商商除数除数+ +余数余数, ,故此集合可表示为故此集合可表示为x|x=5n+1,nN.x|x=5n+1,nN. (3)(3)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0,0,故可表
20、示故可表示 为为 1 1 1 , 2 4 6 x,y | xy0,xR,yR . 1 x | xnN*. 2n ， 【解题策略】【解题策略】 1.1.描述法表示集合的两个步骤描述法表示集合的两个步骤 2.2.用描述法表示集合应注意的四点用描述法表示集合应注意的四点 (1)(1)写清楚该集合代表元素的符号写清楚该集合代表元素的符号. .例如例如, ,集合集合x|x1,xRx|x1,xR不能写成不能写成 x1,xR.x1,xR. (2)(2)所有描述的内容都要写在花括号内所有描述的内容都要写在花括号内. .例如例如, , x|x=2k,xZ,kZ,x|x=2k,xZ,kZ,这种表达方式就不符合要求
21、这种表达方式就不符合要求, ,需将需将kZkZ也写进花括号内也写进花括号内, , 即即x|x=2k,xZ,kZ.x|x=2k,xZ,kZ. (3)(3)不能出现未被说明的字母不能出现未被说明的字母. . (4)(4)在通常情况下在通常情况下, ,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写. . 例如例如, ,方程方程x x2 2-2x+1=0-2x+1=0的实数解组成的集合可表示为的实数解组成的集合可表示为x|xx|x2 2-2x+1=0,xR,-2x+1=0,xR,也可写也可写 成成x|xx|x2 2-2x+1=0.-2x+1=0.
22、【跟踪训练】【跟踪训练】 1.1.已知集合已知集合M=x|x=7n+2,nN,M=x|x=7n+2,nN,则则2 018_M,2 019_M.(2 018_M,2 019_M.(填填“” 或或“ ”)”) 【解析】【解析】因为因为2 018=72 018=7288+2,2 019=7288+2,2 019=7288+3,288+3, 所以所以2 018M,2 0192 018M,2 019 M.M. 答案答案: : 2.2.用描述法表示下列集合用描述法表示下列集合: : (1)(1)小于小于1010的非负整数构成的集合的非负整数构成的集合; ; (2)(2)数轴上与原点的距离大于数轴上与原点的
23、距离大于3 3的点构成的集合的点构成的集合; ; (3)(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合; ; (4)(4)集合集合1,3,5,7,1,3,5,7,. 【解析】【解析】(1)(1)小于小于1010的所有非负整数构成的集合的所有非负整数构成的集合, ,用描述法可表示为用描述法可表示为 x|0 x10,xZ;x|0 x3;x|x|3; (3)(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合, ,用描述法可表示为用描述法可表示为 (x,y)|xy0;(x,y)|xy0; (4)1,3,5,7,
24、(4)1,3,5,7, 用描述法可表示为用描述法可表示为x|x=2k-1,kNx|x=2k-1,kN+ +. 类型三集合表示方法的综合应用类型三集合表示方法的综合应用( (数学抽象、数学运算数学抽象、数学运算) ) 角度角度1 1用适当的方法表示集合用适当的方法表示集合 【典例】【典例】用适当的方法表示下列集合用适当的方法表示下列集合: : (1)(1)函数函数y=xy=x2 2-2x-2x的图象与的图象与x x轴的公共点的集合轴的公共点的集合; ; (2)(2)不等式不等式2x-352x-35的解组成的集合的解组成的集合; ; (3)3(3)3和和4 4的正的公倍数构成的集合的正的公倍数构成
25、的集合; ; (4)(4)大于大于4 4的奇数构成的集合的奇数构成的集合. . 【思路导引】【思路导引】根据集合中元素的个数和特征根据集合中元素的个数和特征, ,选择恰当的方法表示集合选择恰当的方法表示集合. . 【解析】【解析】(1)(1)列举法列举法:(0,0),(2,0).:(0,0),(2,0). (2)(2)不等式不等式2x-352x-35的解组成的集合可表示为的解组成的集合可表示为x|2x-35,x|2x-35,即即x|x4.x|x4. (3)3(3)3和和4 4的最小公倍数是的最小公倍数是12,12,因此因此3 3和和4 4的所有正的公倍数构成的集合是的所有正的公倍数构成的集合是
26、 x|x=12n,nNx|x=12n,nN* *. (4)(4)用描述法表示为用描述法表示为D=x|x=2k+1,k2,kND=x|x=2k+1,k2,kN或或D=x|x=2k+3,kND=x|x=2k+3,kN* *. 角度角度2 2方程、不等式等知识与集合交汇方程、不等式等知识与集合交汇 【典例】【典例】(2020(2020朔州高一检测朔州高一检测) )已知集合已知集合A=x|kxA=x|kx2 2-8x+16=0-8x+16=0只有一个元素只有一个元素, ,试试 求实数求实数k k的值的值, ,并用列举法表示集合并用列举法表示集合A.A. 【思路导引】【思路导引】将问题转化为方程将问题转
27、化为方程kxkx2 2-8x+16=0-8x+16=0只有一个实数根只有一个实数根, ,求实数求实数k k的值的值. .应应 注意分注意分k=0k=0和和k0k0两种情况讨论两种情况讨论. . 【解析】【解析】(1)(1)当当k=0k=0时时, ,方程方程kxkx2 2-8x+16=0-8x+16=0变为变为-8x+16=0,-8x+16=0,解得解得x=2,A=2;x=2,A=2; (2)(2)当当k0k0时时, ,要使集合要使集合A=x|kxA=x|kx2 2-8x+16=0-8x+16=0中只有一个元素中只有一个元素, ,则方程则方程kxkx2 2-8x+16=0-8x+16=0 只有一
28、个实数根只有一个实数根, ,所以所以=64-64k=0,=64-64k=0,解得解得k=1,k=1,此时集合此时集合A=4.A=4. 综上所述综上所述,k=0,k=0时时, ,集合集合A=2;k=1A=2;k=1时时, ,集合集合A=4.A=4. 【变式探究】【变式探究】 本例的条件本例的条件“只有一个元素只有一个元素”若改为若改为“有两个元素有两个元素”其他条件不变其他条件不变, ,求实数求实数k k的的 值组成的集合值组成的集合. . 【解析】【解析】由题意可知由题意可知, ,方程方程kxkx2 2-8x+16=0-8x+16=0有两个不等实根有两个不等实根. . 故故 即即k1k1且且k
29、0.k0. 所以实数所以实数k k组成的集合为组成的集合为k|k1k|k6x-26的解的集合的解的集合. . (4)(4)大于大于0.50.5且不大于且不大于6 6的自然数构成的集合的自然数构成的集合. . 【解析】【解析】(1)36(1)36与与6060的公约数有的公约数有1,2,3,4,6,12,1,2,3,4,6,12,所求集合为所求集合为1,2,3,4,6,12.1,2,3,4,6,12. (2)x|x=2n+1(2)x|x=2n+1且且x1 000,nN.x8.(3)x|x8. (4)1,2,3,4,5,6.(4)1,2,3,4,5,6. 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.已
30、知集合已知集合A=x|-1x4,xZ,A=x|-1x4,xZ,则集合则集合A A中元素的个数为中元素的个数为( () ) A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6 【解析】【解析】选选C.C.因为因为-1x4,xZ,-1x4,xZ,所以所以x=-1,0,1,2,3,x=-1,0,1,2,3,所以集合所以集合A=-1,0,1,2,3A=-1,0,1,2,3 共有共有5 5个元素个元素. . 2.2.集合集合(x,y)|y=2x-1(x,y)|y=2x-1表示表示( () ) A.A.方程方程y=2x-1y=2x-1 B.B.点点(x,y)(x,y) C.C.平面直角坐标系中的点组成的集合
31、平面直角坐标系中的点组成的集合 D.D.函数函数y=2x-1y=2x-1图象上的点组成的集合图象上的点组成的集合 【解析】【解析】选选D.D.集合集合(x,y)|y=2x-1(x,y)|y=2x-1的代表元素是的代表元素是(x,y),(x,y),满足的关系式为满足的关系式为y=2x-1,y=2x-1, 因此集合表示的是函数因此集合表示的是函数y=2x-1y=2x-1图象上的点组成的集合图象上的点组成的集合. . 3.3.已知已知a ,a ,则实数则实数a a的值为的值为_._. 【解析】【解析】由题意得由题意得,a=1,a=1或或a= ,a= , 当当a=1a=1时时, =1, =1不满足集合
32、中元素的互异性不满足集合中元素的互异性; ; 当当a= a= 时时,a=0,a=0或或a=1,a=1, 经检验经检验,a=0,a=0符合题意符合题意, ,综上可知综上可知,a=0.,a=0. 答案答案: :0 0 1, a（） a a a 4.4.函数函数y= y= 的自变量的值组成的集合为的自变量的值组成的集合为_._. 【解析】【解析】函数函数y= y= 的自变量应满足的自变量应满足x1,x1,组成的集合用描述法可表示为组成的集合用描述法可表示为 xR|x1.xR|x1. 答案答案: :xR|x1xR|x1 2 x1 2 x1 5.(5.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )设设x,yx,y为实数为实数, ,已知已知A=x,y,B=0,xA=x,y,B=0,x2 2,且且A=B,A=B,求求 x,yx,y的值的值. . 【解析】【解析】因为集合因为集合A,BA,B相等相等, ,则则x=0 x=0或或y=0.y=0. (1)(1)当当x=0 x=0时时,x,x2 2=0,=0,不满足集合中元素的互异性不满足集合中元素的互异性, ,故舍去故舍去. . (2)(2)当当y=0y=0时时,x=x,x=x2 2, ,解得解得x=0 x=0或或x=1.x=1. 由由(1)(1)知知x=0 x=0应舍去应舍去. . 综上知综上知:x=1,y=0.:x=1,y=0.
