1、第4章指数与对数 4.1指数 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.在初中学过平方根、立方根、根号在初中学过平方根、立方根、根号, ,那么还有没有其他次方那么还有没有其他次方 的方根的方根? ?怎样表示怎样表示? ? 2.2.在初中学过正整数指数幂的含义、运算性质在初中学过正整数指数幂的含义、运算性质, ,当指数不是正当指数不是正 整数时整数时, ,有什么含义和运算性质有什么含义和运算性质? ? 1.n1.n次方根次方根 一般地一般地, ,如果如果x xn n=a(n1,nN=a(n1,nN* *),),那么称那么称x x为为a a的的n n次方根次方根. .可用下表表示可用下表
2、表示: : n n为奇数为奇数n n为偶数为偶数 aRaRa0a0a=0a=0a0a1,nNn1,nN* *时时, , ( )( )n n=_;=_; n a n a nn a,n aa,a0, _n. a,a0, 为奇数， 为偶数 a a a 【思考】【思考】 式子式子( )( )4 4与与 中的中的a a的范围一样吗的范围一样吗? ? 提示提示: :不一样不一样, ,式子式子( )( )4 4中中a0, a0, 中中aR.aR. 4 a 44 a 4 a 44 a 3.3.分数指数幂的意义分数指数幂的意义(a0,m,n(a0,m,n均为正整数均为正整数) ) 正分数指数幂正分数指数幂 负分
3、数指数幂负分数指数幂 0 0的分数指数幂的分数指数幂 0 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0,00,0的负分数指数幂的负分数指数幂 没有意义没有意义 m mn n aa m n a_ m n 1 a mn 1 a 【思考】【思考】 分数指数幂中分数指数幂中, ,为什么规定底数为什么规定底数a0?a0? 提示提示: :当当a=0a=0时时,a,a0 0及及a a的负分数指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义; ; 当当a0a0,b0,s,tQ)(a0,b0,s,tQ) (1)a(1)as sa at t= .= .(2)(a(2)(as s) )t t= .= . (3)(ab)(3)(ab
4、)t t=a=at tb bt t. . s t a st a 【思考】【思考】 同底数幂相除同底数幂相除a at ta as s, ,同次的指数幂相除同次的指数幂相除 分别等于什么分别等于什么? ? 提示提示: :(1)a(1)at ta as s=a=at-s t-s;(2) ;(2) t t a b t t t aa ( ) . bb 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1) =-2.(1) =-2. ( () ) (2)(2)aR,(aaR,(a2 2+1)+1)0 0=1.=1.( () ) (3) .(3) .(
5、() ) 提示提示: :(1)(1). =2. =2. (2).(2).aR,aaR,a2 2+10,+10,所以有所以有(a(a2 2+1)+1)0 0=1.=1. (3)(3). . 4 4 2（ ） 3 4 43 1 a a 444 4 22（ ） 3 4 34 1 a . a 2.2.下列运算中正确的是下列运算中正确的是 ( () ) A.aA.a2 2a a3 3=a=a6 6B.(-aB.(-a2 2) )3 3=(-a=(-a3 3) )2 2 C.( -1)C.( -1)0 0=1=1D.(-aD.(-a2 2) )5 5=-a=-a10 10 【解析解析】选选D.aD.a2
6、2a a3 3=a=a2+3 2+3=a =a5 5,(-a,(-a2 2) )3 3=-a=-a2 2 3 3=-a =-a6 6,(-a,(-a3 3) )2 2=a=a6 6, ,当当a=1a=1时时,( -1),( -1)0 0无意无意 义义,(-a,(-a2 2) )5 5=-a=-a10 10. . a a 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) =_.) =_. 【解析解析】 =|x-2|= =|x-2|= 答案答案: : 6 6 x2（ ） 6 6 x2（ ） x2x2 2xx2. ， ， x2x2 2xx2 ， ， 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型
7、一类型一n n次方根的概念及相关的应用次方根的概念及相关的应用( (数学运算数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1. 1. 的值为的值为( () ) A.-6A.-6B.2 -2B.2 -2C.2 C.2 D.6D.6 2.2.把把(a-1) (a-1) 根号外的根号外的(a-1)(a-1)移到根号内等于移到根号内等于 ( () ) A.- A.- B. B. C.- C.- D. D. 3.3.若若 , ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._. 34334 3 65454（）（）（） 55 1 1 a a1a1 1 a 1 a 263 9a6a11 3a 【解析】【解析】1
8、.1.选选A. -4,A. -4,所以原式所以原式=-6+4=-6+4 - + -4=-6.- + -4=-6. 2.2.选选C.C.由由 0,0,得得a1,a1,则则a-10,a-10, 所以所以(a-1) (a-1) 3.3.因为因为 , ,所以所以1-3a0,1-3a0,所以所以a .a . 答案答案: : 34334 3 66545445545 （）， （）， （） 55 1 1 a 2 11 a 1 a. 1 a1 a （） 22633 6 9a6a11 3a| 1 3a |1 3a（） 1 3 1 ( 3 ， 【解题策略】【解题策略】 根式化简与求值的思路及注意点根式化简与求值的思
9、路及注意点 (1)(1)思路思路: :首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式, ,然后运用根式的性质进行化然后运用根式的性质进行化 简简. . (2)(2)注意点注意点: : 正确区分正确区分( )( )n n与与 两式两式. . 运算时注意变式、整体代换运算时注意变式、整体代换, ,以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式 的运用的运用, ,必要时要进行讨论必要时要进行讨论. . n a nn a 【补偿训练】【补偿训练】 若若nm0,nm0,则则 等于等于( () ) A.2mA.2mB.2nB.2nC.-2mC
10、.-2mD.-2nD.-2n 【解析】【解析】选选C.C.原式原式= =|m+n|-|m-n|,= =|m+n|-|m-n|,因为因为nm0,nm0,所以所以m+n0,m-m+n0,n0,所以原式所以原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.=-(m+n)-(m-n)=-2m. 2222 m2mnnm2mnn 22 mnmn（） （ ） 类型二根式的化简、分数指数幂求值类型二根式的化简、分数指数幂求值( (数学运算数学运算) ) 【典例】【典例】1.1.化简化简 的结果是的结果是 ( () ) A. A. B. B. C.3C.3D.5D.5 2. (a0)2. (a0)的分数指数幂表示为的分数
11、指数幂表示为( () ) A. A. B. B. C. C. D.D.都不对都不对 3.3.化简化简 (a0)(a0)的结果是的结果是( () ) 1 3 125 () 27 3 5 5 3 3 aa 1 2 a 3 2 a 3 4 a 23 aa 76366 1 A. a B. a C.a D. a a 【思路导引】【思路导引】1. 1. 2.2.从里向外依次化为指数式从里向外依次化为指数式. . 3.3.化为指数式后利用指数运算性质计算化为指数式后利用指数运算性质计算. . 3 1255 ( ) . 273 【解析】【解析】1.1.选选A.A.原式原式= = 2.2.选选A. A. 3.3
12、.选选B. B. 1 3 3 53 ( ) . 35 3 111 3 3 2 322 aaa aaa . 21271 2736 32362 aaa0aaaaa . （） 【解题策略】【解题策略】 根式与分数指数幂互化的方法及思路根式与分数指数幂互化的方法及思路 (1)(1)方法方法: :根指数根指数 分数指数的分母分数指数的分母, , 被开方数被开方数( (式式) )的指数的指数 分数指数的分子分数指数的分子. . (2)(2)思路思路: :在具体计算中在具体计算中, ,通常会把根式转化成分数指数幂的形式通常会把根式转化成分数指数幂的形式, ,然后利用有理然后利用有理 数指数幂的运算性质解题数
13、指数幂的运算性质解题. . 提醒提醒: :如果根式中含有多重根号如果根式中含有多重根号, ,要由里向外用分数指数幂写出要由里向外用分数指数幂写出. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 1.1.求值求值 =_.=_. 【解析】【解析】原式原式= = 答案答案: :- - 3 8 27 11 3 33 822 ()(). 2733 2 3 2.2.用分数指数幂表示用分数指数幂表示a a =_. =_. 【解析】【解析】原式原式=a=a 答案答案: : 5 3 1 a 32 55 aa . 2 5 a 类型三分数指数幂运算性质的应用类型三分数指数幂运算性质的应用( (数学运算数学运算) ) 角度角度1 1
14、化简问题化简问题 【典例】【典例】(2020(2020衡阳高一检测衡阳高一检测) =_.() =_.(式中的字母均是正数式中的字母均是正数) 【思路导引】【思路导引】将根式化为分数指数幂将根式化为分数指数幂, ,然后进行运算然后进行运算. . 2111 1 3322 56 (a b )ab ab 【解析】【解析】原式原式= = 答案答案: : 2111 11 15511 () 5 1 3233 22 36622 1 6 6 151515 666666 abababab1 aa. a ababab 1 a 【变式探究】【变式探究】 将本例中的式子变为将本例中的式子变为 , ,试计算试计算. .
15、【解析】【解析】原式原式=5=5(-4)(-4) 21 32 111 1 362 5xy 15 (x y )(x y) 46 211 1 11 1 332 2 66 6 ()xy24y . 5 角度角度2 2求值问题求值问题 【典例】【典例】计算计算: : 【思路导引】【思路导引】将各个因式求值后计算将各个因式求值后计算. . 【解析】【解析】原式原式= -1+2=2.= -1+2=2. 11 0 32 2581 ()3( ). 9274 （） 52 33 【解题策略】【解题策略】关于指数式的化简、求值问题关于指数式的化简、求值问题 (1)(1)无论是化简还是求值无论是化简还是求值, ,一般的
16、运算顺序是先乘方一般的运算顺序是先乘方, ,再乘除再乘除, ,最后加减最后加减. . (2)(2)仔细观察式子的结构特征仔细观察式子的结构特征, ,确定运算层次确定运算层次, ,避免运用运算形式时出错避免运用运算形式时出错. . 【题组训练】【题组训练】 计算下列各式计算下列各式: : (1)(2020(1)(2020南通高一检测南通高一检测) ) (2) (2) 【解析解析】(1)(1)原式原式= = (2) (2) 21 02 32 1273 (2 )2()( ) . 482 （） 14113 33442 2x3x y6xy. （） （） 21 232 32 3323441 ( ) 1 (
17、 ) ( )1. 2232992 141 4113113 2 333 3442442 2x3x y6xy236xyx y. （） （） （） （） 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.下列各等式中成立的是下列各等式中成立的是( () ) A. (a0)A. (a0)B. (a0)B. (a0) C. (a0)C. (a0)D. (a0)D. (a0) 【解析】【解析】选选B.B.由于由于a0,a0,又因为又因为 所以成立的是所以成立的是 3 23 2 aa 2 23 3 aa 2 25 5 aa 1 2 aa 2231 32235 3522 1 aaaaaaa a ， 2 23 3 aa
18、 . 2.2.若若x3,x3,则则 -|x-6|-|x-6|的值是的值是( () ) A.-3A.-3B.3B.3C.-9C.-9D.9D.9 【解析】【解析】选选A.A.若若x3,x3,则则x-30,x-60,x-30,x-60,a0,将将 表示成分数指数幂表示成分数指数幂, ,其结果是其结果是( () ) A. A. B. B. C. C. D. D. 【解析】【解析】选选C.C.由题意由题意 2 23 a aa 1 2 a 5 6 a 7 6 a 3 2 a 1 172 2 2 36 23 a aa . aa 4.(4.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )计算计算( )( )6 6b b2 2=_.=_. 【解析】【解析】( )( )6 6b b2 2=a=a3 3b b-2 -2 b b2 2=a=a3 3. . 答案答案: :a a3 3 11 32 ab 11 32 ab 5. -(1-0.55. -(1-0.5-2 -2) ) 的值为的值为_._. 【解析】【解析】原式原式=1-(1-2=1-(1-22 2) ) =1-(-3) =1-(-3) 答案答案: : 0 1 (1 ) 2 2 3 27 () 8 2 3 ( ) 2 47 . 93 7 3
