1、第一课时二项式定理 课标阐释思维脉络 1.理解二项式定理是代数 乘法公式的推广. 2.理解并掌握二项式定理, 能利用计数原理证明二项 式定理. 3.会用二项式定理解决与 二项展开式有关的简单问 题. 激趣诱思知识点拨 我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导 (a+b)3,(a+b)4的展开式?上述两个等式的右侧有何特点?你能用组 合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗? 激趣诱思知识点拨 二项式定理 激趣诱思知识点拨 名师点析 二项式定理形式上的特点 (1)二项展开式有n+1项,而不是n项. (4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐 项
2、减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次 直到n次. 激趣诱思知识点拨 微思考 (a+b)n与(b+a)n展开式相同吗? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 二项式定理的二项式定理的应用应用 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 运用二项式定理的解题策略 (1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展 开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升 幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子, 先化简再用二项式定理展开. (2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的
3、求解,要 熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为() A.x4B.(x-1)4 C.(x+1)4D.x4-1 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 二项式系数与项的系数二项式系数与项的系数问题问题 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 二项式系数与项的系数的求解策略 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究 本例问题(1)条件不变,问题改为“求第4项的二项式系数 和第4项的系数”. 探究一探究二探究三素
4、养形成当堂检测 求展开式中的特定求展开式中的特定项项 (1)求n; (2)求含x2项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 分析写出通项Tk+1令k=5,x的指数为零(1)求出n值修正通项 公式(2)求x2项的系数考察x指数为整数分析求出k值(3)写 出有理项 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 1.求二项展开式的特定项的常见题型 (2)求含xk的项(或xpyq的项); (3)求常数项; (4)求有理项. 2.求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项); (2)对于有
5、理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好 都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数, 根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解; (3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是 非负整数,求解方式与求有理项一致. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案:(1)207(2)4 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 构造法的应用构造法的应用 可通过构造不同的二项式,利用二项式的不同展开方法证明组合恒 等式问题; 可通过构造函数,利用二项式定理的相关知识来证明等式或不等式 问题. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 分析观察等式右边的组合数的特征,
6、联想二项式定理可知它是 (1+x)2n的展开式中xn-1的系数,这样问题就转化为等式左边也应该 是(1+x)2n的展开式中xn-1的系数,而等式左边每一项的各因式又都 是(1+x)n展开式中各项的系数,所以想到要将(1+x)2n转化为 (1+x)n(1+x)n再分别展开. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 方法点睛 证明组合恒等式关键在于构造二项式,利用二项展开式 比较系数得到相应的恒等式.有时取二项式中的字母为某些特殊值 也可得到相应的组合等式,故在解题时要注意合理赋值. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.二项式(a+b)2n的展开式的项数是() A.2nB.2n+1 C.2n-1D.2(n+1) 解析:根据二项式定理可知,展开式共有2n+1项. 答案:B 答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (1)展开式中第4项的二项式系数; (2)展开式中第4项的系数; (3)展开式的第4项.
