1、2.6.2双曲线的几何性质 学 习 目 标核 心 素 养 1了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、 顶点、实轴长和虚轴长等) 2理解离心率的定义、取值范围和渐近线方 程(重点) 3能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问 题(难点) 1 通过对双曲线几何性质的学 习，培养直观想象素养 2 借助于几何性质的应用， 提 升逻辑推理，数学运算素养 我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭 圆既是中心对称图形， 又是轴对称图形， 它具有四个顶点， 离心率的范围是(0,1)， 它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎 样的性质呢？让我们一起对双曲线
2、的性质进行探究吧！ 1双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0，b0) y2 a2 x2 b21 (a0，b0) 性质 图形 焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c) 焦距2c 范围xa 或 xa，yRya 或 ya，xR 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a) 轴实轴：线段 A1A2，长：2a；虚轴：线段 B1B2，长：2b； 半实轴长：a，半虚轴长：b 离心率ec a(1，) 渐近线yb ax ya bx 思考 1：能否用 a，b 表示双曲线的离心率？ 提示能. ec a a2b2 a 1b 2 a
3、2 思考 2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ 提示有影响，因为 ec a a2b2 a 1b 2 a2，故当 b a的值越大，渐近线 yb ax 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的 大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大 2等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是 yx，离心率 e 2 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)等轴双曲线的离心率为 2() (2)双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax () (3)离心率越大，双曲线x 2 a2 y2 b21 的渐近线的
4、斜率绝对值越大 () 答案(1)(2)(3) 提示(1)因为 ab，所以 c 2a，所以 ec a 2 (2)由y 2 a2 x2 b21，得 y a bx，所以渐近线方程为 y a bx (3)由b a c2a2 a e21(e1)，所以 e 越大，渐近线 yb ax 斜率的绝 对值越大 2若 0k0，b0) (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2 a2 x2 b21(a0，b0) (3)与双曲线x 2 a2 y2 b21 共焦点的双曲线方程可设为 x2 a2 y2 b21(0， b2a2) (4)与双曲线x 2 a2 y2 b21具有相同渐近线的双曲线方程可设为 x2 a2
5、y2 b2(0) (5)渐近线为 ykx 的双曲线方程可设为 k2x2y2(0) (6)渐近线为 axby0 的双曲线方程可设为 a2x2b2y2(0) 跟进训练 2求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为13 5 ； (2)渐近线方程为 y1 2x，且经过点 A(2，3) 解(1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13，又c a 13 5 ， a5，b2c2a2144， 故其标准方程为y 2 25 x2 1441 (2)双曲线的渐近线方程为 y1 2x， 若焦点在 x 轴上， 设所求双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21(a0， b0)，
6、则 b a 1 2 A(2，3)在双曲线上， 4 a2 9 b21 由联立，无解 若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0)，则 a b 1 2 A(2，3)在双曲线上， 9 a2 4 b21 由联立，解得 a28，b232 所求双曲线的标准方程为y 2 8 x 2 321 与双曲线有关的离心率问题 探究问题 1求离心率的突破点是什么？ 提示通过已知条件结合双曲线的几何性质建立等式关系 2如何求离心率的取值范围？ 提示利用定义结合已知条件建立不等关系求解 【例 3】已知 A、B 为双曲线 E 的左、右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为 等腰三角形，且
7、顶角为 120，求 E 的离心率 解设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，如图所示， |AB|BM|，ABM120，过点 M 作 MNx 轴，垂足为 N，在 RtBMN 中，|BN|a，|MN| 3a，故点 M 的坐标为 M(2a， 3a)，代入双曲线方程得 a2 b2，所以 e 2 (变换条件)设 F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两个焦点，若 PF1PF2且PF1F230，求离心率 解在直角三角形 PF1F2中， 由题设可知： |F1F2|2c， |PF2|c， |PF1| 3c， 又|PF1|PF2|2a，所以 2a 3cc，ec a 2
8、 31 31 求离心率的方法与技巧 (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出 a，c，再计算 ec a；二 是依据条件建立参数 a，b，c 的关系式，一种方法是消去 b 转化成离心率 e 的方 程求解，另一种方法是消去 c 转化成含b a的方程，求出 b a后利用 e 1b 2 a2求离 心率 (2)求离心率的范围一般是根据条件建立 a，b，c 的不等式，通过解不等式得 c a或 b a的范围，再求得离心率的范围 与渐进线有关的问题 【例 4】如图，已知 F1，F2为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点，过 F2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且PF1F230，
9、求双曲线的渐近线方 程 思路探究根据RtPF2F1中的边角关系及双曲线的定义可得a， b的关系， 进而可求渐近线方程 解设 F2(c,0)，(c0)，P(c，y0)， 则c 2 a2 y20 b21，解得 y 0b 2 a |PF2|b 2 a 在 RtPF2F1中，PF1F230，则|PF1|2|PF2| 由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a 由，得|PF2|2a |PF2|b 2 a ，2ab 2 a ，即 b22a2 b a 2 渐近线方程为 y 2x 1双曲线x 2 a2 y2 b21 的渐近线为 y b ax，双曲线 y2 a2 x2 b21 的渐近线为 y a bx，两者容易记
10、混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得 渐近线方程 2若已知渐近线方程为 mxny0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，可用下面的方法来解决 方法一：分两种情况设出方程进行讨论 方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程 m2x2n2y2(0)，求出即 可 显然方法二较好，避免了讨论 3有共同渐近线的双曲线的方程 与双曲线x 2 a2 y2 b21 有共同渐近线的双曲线方程可设为 x2 a2 y2 b2(0)若 0，则实轴在 x 轴上；若0，则实轴在 y 轴上，再依据题设条件可确定 跟进训练 3双曲线 C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为 F1，
11、F2，虚轴的一个 端点为 A，若AF1F2是顶角为 120的等腰三角形求双曲线 C 的渐近线方程 解双曲线 C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为 F1，F2，虚轴的一 个端点为 A， 若AF1F2是顶点为 120的等腰三角形 可得 c 3b，所以 c23b2，即 a2b23b2，a22b2， 解得b a 2 2 ，或a b 2 所以双曲线的渐近线方程为：y 2x 或 y 2 2 x 1 渐近线是双曲线特有的性质 两方程联系密切， 把双曲线的标准方程x 2 a2 y2 b21(a0， b0)右边的常数1换为0， 就是渐近线方程 反之由渐近线方程axby 0 变为 a2x2b2y2，再结合其他
12、条件求得就可得双曲线方程 2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说， 渐近线是双曲线特有的性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较 为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形 1中心在原点，实轴长为 10，虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是() Ax 2 25 y2 9 1Bx 2 25 y2 9 1 或y 2 25 x2 9 1 C x2 100 y2 361 D x2 100 y2 36或 y2 100 x2 361 B实轴长为 10，虚轴长为 6，所以 a5，b3 当焦点在 x 轴上时，方程为x 2 25 y2 9 1；当焦点在 y
13、 轴上时，方程为y 2 25 x2 9 1 2已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程是 y 3 3 x，则双曲线 的离心率为() A3 2 B2 3 3 C 7 4 D 5 5 B由双曲线的渐近线方程是 y 3 3 x 知b a 3 3 ，所以 b 3 3 a，所以 c2 a2b2a21 3a 24 3a 2，所以 e2c2 a2 4 3，所以 e 2 3 3 故选 B 3已知双曲线的渐近线方程为 yx 2，虚轴长为 4，则该双曲线的标准方程 是 x2 16 y2 4 1 或 y2x 2 4 1若双曲线的焦点在 x 轴上，则b a 1 2，2b4，解得 b2，a4，所以
14、此时双曲线的标准方程为 x2 16 y2 4 1；若双曲线的焦点在 y 轴 上， 则a b 1 2， 2b4， 解得 b2， a1， 所以此时双曲线的标准方程为 y 2x2 4 1 综 上可知：该双曲线的标准方程是x 2 16 y2 4 1 或 y2x 2 4 1 4已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两条渐近线方程为 y 3 3 x，若顶 点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为 x2 4 3 4y 21 双曲线右顶点为(a,0)，一条渐近线 x 3y0， 1 a 13 a 2a2， 又b a 3 3 ，b2 3 3 ，双曲线方程为x 2 4 3 4y 21 5中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1，F2， 且|F1F2|2 13， 椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为 4， 离心率之比为 37 求 这两条曲线的方程 解由已知：c 13，设椭圆长、短半轴长分别为 a，b，双曲线半实轴、 半虚轴长分别为 m，n， 则 am4， 7 13 a 3 13 m ， 解得 a7，m3所以 b6，n2 所以椭圆方程为x 2 49 y2 361，双曲线方程为 x2 9 y 2 4 1
