1、模块综合测评(一) (满分：150 分时间：120 分钟) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 的值是() A1B1 5 C3 5 D7 5 D因为 kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且 kab 与 2ab 互相 垂直，所以(kab)(2ab)3(k1)2k40k7 5 2已知四面体 ABCD 的所有棱长都是 2，点 E、F 分别是 AD、DC 的中点， 则EF BA( ) A1B1 C 3D 3 B如图所示，E
2、F 1 2AC ，所以EF BA 1 2AC (AB )1 222cos 60 1，故选 B 3若 A(2,3)，B(3，2)，C 1 2，m三点共线，则 m 的值为() A1 2 B1 2 C2D2 A由 23 32 m2 1 23 ，得 m1 2 4若 P(2，1)为圆 C：(x1)2y225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方 程是() A2xy50B2xy30 Cxy10Dxy30 D圆心 C(1,0)，kPC01 12 1， 则 kAB1，AB 的方程为 y1x2， 即 xy30，故选 D 5双曲线x 2 m y2 n 1(mn0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y24x 的
3、焦 点重合，则 mn 的值为() A 3 16 B3 8 C16 3 D8 3 A抛物线 y24x 的焦点为(1,0)， 故双曲线的一个焦点是(1,0)， 所以 mn1，且 1 m2， 解得 m1 4，n 3 4， 故 mn 3 16 6 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F， 且和 y 轴交于点 A， 若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线的方程为() Ay24xBy28x Cy24xDy28x B由题可知抛物线的焦点坐标为 a 4，0，于是过焦点且斜率为 2 的直线的 方程为 y2 xa 4 ， 令 x0， 可得点 A 的坐标为 0，a 2 ， 所以 S
4、OAF1 2 |a| 4 |a| 2 4，得 a8，故抛物线的方程为 y28x 7如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，B1C 和 C1D 与底面所成的角分 别为 60和 45，则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为() A 6 4 B 6 3 C 2 6 D 2 3 A如图所示： B1B平面 ABCD， BCB1是 B1C 与底面所成角， BCB160 C1C底面 ABCD， CDC1是 C1D 与底面所成的角， CDC145 连接 A1D，A1C1，则 A1DB1C A1DC1或其补角为异面直线 B1C 与 C1D 所成的角 不妨设 BC1，则 CB1DA12， BB1
5、CC1 3CD， C1D 6，A1C12 在等腰A1C1D 中，cosA1DC1 1 2C 1D A1D 6 4 8在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 AA1的中点，则点 A1到 平面 MBD 的距离是() A 6a 6 B 3a 6 C 3a 4 D 6a 3 A建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，M a，0，a 2 ， B(a，a,0)，A1(a,0，a)， DM a，0，a 2 ， DB (a，a,0)，DA1 (a,0，a) 设平面 MBD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 axa 2z0， axay0， 令 x1，则可得 n(1，1，2) d
6、|DA1 n| |n| |a2a| 6 6 6 a 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分 5 分，部分选对的得 3 分，有选 错的得 0 分 9若 A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，下面结论中正确的是() AABCDBABAD C|AC|BD|DACBD ABCDkAB42 64 3 5， kCD126 212 3 5 且C不在直线AB上， ABCD， 故A正确； 又因为kAD122 24 5 3， k ABkAD 1，ABAD，故 B 正确； |AC| 62212424 17， |B
7、D| 26212424 17， |AC|BD|故 C 正确； 又 kAC 62 124 1 4，k BD124 26 4 kACkBD1，ACBD，故 D 正确 10在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2y24x0若直线 y k(x1)上存在一点 P，使过 P 点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值 可以是() A1B2 C3D4 AB圆 C 的方程为 x2y24x0，则圆心为 C(2,0)，半径 R2 设两个切点分别为 A、B，则由题意可得四边形 PACB 为正方形，故有 PC 2R2 2， 圆心到直线 yk(x1)的距离小于或等于 PC2 2， 即|2k0k| k2
8、1 2 2，解得 k28，可得2 2k2 2， 结合选项，实数 k 的取值可以是 1,2 11设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点若ABD90，且ABF 的面积为 9 3，则() A|BF|3 BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x BCD因为|FA|为半径的圆交 l 于 B， D 两点， 所以 FAFB， 若ABD90 可得 FAAB，所以可得ABF 为等边三角形，所以 B 正确；过 F 作 FCAB 交 于 C，则 C 为 AB 的中点，C 的
9、横坐标为p 2，B 的横坐标为 p 2，所以 A 的横坐标 为3p 2 ，代入抛物线可得 y23p2，|yA| 3p， ABF 的面积为 9 3， 即1 2(x AxB)|yA|1 2 3p 2 p 2 3p9 3， 解得： p3， 所以抛物线的方程为：y26x，所以 D 正确； 焦点坐标为： 3 2，0，所以焦点到准线的距离为：3 223，所以 C 正确； 此时 A 点的横坐标为9 2，所以 BFAFAB 9 2 3 26，所以 A 不正确 12我们把离心率为 e 51 2 的双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)称为黄金双 曲线如图给出以下几个说法中正确的是() A双曲线 x2 2
10、y2 511 是黄金双曲线 B若 b2ac，则该双曲线是黄金双曲线 C若F1B1A290，则该双曲线是黄金双曲线 D若MON90，则该双曲线是黄金双曲线 ABCD双曲线 x2 2y2 511 中， e 1 51 2 1 51 2 ， 双曲线 x2 2y2 511 是黄金双曲线，故 A 正确； b2ac, 则 ec a a2ac a 1e e2e10，解得 e 51 2 ，或 e 51 2 (舍)， 该双曲线是黄金双曲线，故 B 正确； 如图，F1，F2为左、右焦点，A1，A2为左右顶点， B1(0，b)，B2(0，b)，且F1B1A290， |B1F1|2|B1A2|2|A2F1|2，即 b2
11、2c2(ac)2， 整理，得 b2ac，由 B 知该双曲线是黄金双曲线，故 C 正确； 如图，MN 经过右焦点 F2且 MNF1F2，MON90， NF2OF2，b 2 a c，b2ac， 由 B 知该双曲线是黄金双曲线，故 D 正确 故选 ABCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线 上 13经过两条直线 2xy20 和 3x4y20 的交点，且垂直于直线 3x 2y40 的直线方程为 2x3y20由方程组 3x4y20， 2xy20， 得交点 A(2，2)，因为所求 直线垂直于直线 3x2y40，故所求直线的斜率 k2 3，由点斜式得所求直 线方程
12、为 y22 3(x2)，即 2x3y20 14从原点向圆 x2y212y270 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的 劣弧长为 2(数形结合法)如图， 圆 x2y212y270 可化为 x2(y6)29，圆心坐标为(0,6)，半径为 3 在 RtOBC 中可得：OCB 3， ACB2 3 ，所求劣弧长为 2 15已知点 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，|F 1F2|4， 点 Q(2， 2)在椭圆 C 上，P 是椭圆 C 上的动点，则PQ PF1 的最大值为 9 2 由题意可得：c2， 4 a2 2 b21，a 2b2c2，解得 a28，b24， 所以椭圆的
13、方程为x 2 8 y 2 4 1， 可得 F1(2,0)， 设 P(x，y)，由x 2 8 y 2 4 1，可得：x282y2， 则PQ PF1 (2x， 2y)(2x，y)x24y2 2yy2 2y4 y 2 2 2 1 24，当且仅当 y 2 2 2,2时， 则PQ PF1 的最大值为9 2 16已知三棱锥 ABCD 的所有棱长均相等，E 为 DC 的中点，若点 P 为 AC 中点，则直线 PE 与平面 BCD 所成角的正弦值为，若点 Q 在棱 AC 所 在直线上运动，则直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值的最大值为(第 一空 2 分，第二空 3 分) 6 3 2 2 3 连接 BE，
14、AE，过 A 作 AO底面 BCD，垂足为 O，连接 OD， 则ADO 是直线 PE 与平面 BCD 所成角(图略)， 因三棱锥 ABCD 的所有棱长均相等，设棱长为 2， 则 DOBO2 3BE 2 3 412 3 3 ， AO4 2 3 3 2 2 6 3 ， sinADOAO AD 2 6 3 2 6 3 直线 PE 与平面 BCD 所成角的正弦值为 6 3 当 Q 与 A 重合时，直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线 QE 与平面 BCD 所成角为AEO，AE 41 3， 直线 QE 与平面 BCD 所成角正弦值的最大值为： sinAEOAO AE 2 6 3 3
15、 2 2 3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 17(本小题满分 10 分)如图，已知点 A(2,3)，B(4,1)，ABC 是以 AB 为底 边的等腰三角形，点 C 在直线 l：x2y20 上 (1)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程； (2)求ABC 的面积 解(1)由题意可知，E 为 AB 的中点， E(3,2)，且 kCE 1 kAB1， CE 所在直线方程为：y2x3，即 xy10 (2)由 x2y20， xy10， 得 C(4,3)， |AC|BC|2，ACBC， SABC1 2|AC|BC|2 18 (本小题满分 12 分
16、)如图所示平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于 E 点，定点 A，C 的坐标分别是 A(2,3)，C(2,1) (1)求以线段 AC 为直径的圆 E 的方程； (2)若 B 点的坐标为(2，2)，求直线 BC 截圆 E 所得的弦长 解(1)AC 的中点 E(0,2)即为圆心， 半径 r1 2|AC| 1 2 4222 5， 所以圆 E 的方程为 x2(y2)25 (2)直线 BC 的斜率 k12 22 3 4， 其方程为 y13 4(x2)，即 3x4y20 点 E 到直线 BC 的距离为 d|82| 5 2，所以 BC 截圆 E 所得的弦长为 2 5222 19(本小题满分
17、12 分)如图所示在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD， ABAD，ABC60，PAABBC，AD2 3 3 AB，E 是 PC 的中点 求证：PD平面 ABE 证明PA底面 ABCD，ABAD， AB，AD，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PAAB BC1，则 P(0,0,1)，A(0,0,0)，B(1,0,0)， D 0，2 3 3 ，0 ABC60， ABC 为正三角形 C 1 2， 3 2 ，0 ，E 1 4， 3 4 ，1 2 AB (1,0,0)，AE 1 4， 3 4 ，1 2 ， 设平面 ABE 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nAB 0， n
18、AE 0， 即 x0， 1 4x 3 4 y1 2z0， 令 y2，则 z 3，n(0,2， 3) PD 0，2 3 3 ，1 ，显然PD 3 3 n，PD n， PD 平面 ABE，即 PD平面 ABE 20 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的左、 右焦点坐标分别是( 2， 0)， ( 2， 0)，离心率是 6 3 ，直线 yt 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，以线段 MN 为直 径作圆 P，圆心为 P (1)求椭圆 C 的方程； (2)若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标 解(1)因为c a 6 3 ，且 c 2， 所以 a 3，b a2c21， 所以椭圆 C 的方程为x
19、 2 3 y21 (2)由题意知 P(0，t)(1t1) 由 yt， x2 3 y21 得 x 31t2， 所以圆 P 的半径为 31t2 当圆 P 与 x 轴相切时， |t| 31t2，解得 t 3 2 所以点 P 的坐标是 0， 3 2 21(本小题满分 12 分)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直 角梯形，ADBC，ADDC，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 为 PC 的中点，PAPD2，BC1 2AD1，CD 3 (1)求证：PQAB； (2)求二面角 PQBM 的余弦值 解(1)证明：在PAD 中，PAPD，Q 为 AD 的中点，所以 PQA
20、D 因为平面 PAD底面 ABCD，且平面 PAD底面 ABCDAD，所以 PQ底 面 ABCD 又 AB平面 ABCD，所以 PQAB (2)在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BC1 2AD，Q 为 AD 的中点， 所以四边形 BCDQ 为平行四边形 因为 ADDC，所以 ADQB 由(1)，可知 PQ平面 ABCD，故以 Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Qxyz 如图所示，则 Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0， 3)，C(1，3，0)，B(0，3， 0)，QB (0，3，0) 因为 AQPQ，AQBQ，所以 AQ平面 PQB， 即QA 为平面 PQB 的一个法向量， 且
21、QA (1,0,0) 因为 M 是棱 PC 的中点，所以点 M 的坐标为 1 2， 3 2 ， 3 2 ，所以QM 1 2， 3 2 ， 3 2 设平面 MQB 的法向量为 m(x，y，z)， 则 mQB 0 mQM 0 ，即 3y0 1 2x 3 2 y 3 2 z0 ， 令 z1，得 x 3，y0，所以 m( 3，0,1)， 所以 cosQA ，m QA m |QA |m| 3 2 由题意，知二面角 PQBM 为锐角， 所以二面角 PQBM 的余弦值为 3 2 22(本小题满分 12 分)已知圆 C：x2y22x2y10 和抛物线 E：y2 2px(p0)，圆心 C 到抛物线焦点 F 的距
22、离为 17 (1)求抛物线 E 的方程； (2)不过原点的动直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点，且满足 OAOB 求证直线 l 过定点； 设点 M 为圆 C 上任意一动点，求当动点 M 到直线 l 的距离最大时直线 l 的方程 解(1)圆 C：x2y22x2y10，可得圆心 C(1,1)，半径 r1， 抛物线 E：y22px(p0)的焦点 F p 2，0，准线方程为 xp 2， 圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 17， 即有 1p 2 2 12 17， 解得 p6，即抛物线方程为 y212x. (2)证明：设直线 l 的方程为 xmyt，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 则 y212x， xmyt ， 整理得：y212my12t0， 所以 y1y212m，y1y212t 由于 OAOB则 x1x2y1y20 即(m21)y1y2mt(y1y2)t20 整理得 t212t0， 由于 t0，解得 t12 故直线的方程为 xmy12， 直线经过定点 P(12,0) 当 CPl 且动点 M 经过 PC 的延长线时，动点 M 到动直线 l 的距离取得 最大值 kMPkCP 1 13， 则 m 1 13 此时直线 l 的方程为：x 1 13y12， 即 13xy1560
