1、课时分层作业(二十二)双曲线的几何性质 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则 该双曲线的离心率为() A 5B5 C 2D2 A由题意得 b2a，又 a2b2c2，5a2c2 e2c 2 a25，e 5 2若双曲线的一个焦点为(0，13)，且离心率为13 5 ，则其标准方程为() Ax 2 52 y2 1221 B y2 122 x2 521 C x2 122 y2 521 Dy 2 52 x2 1221 D依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13又c a 13 5 ，所以 a5， b c2a212
2、，故其标准方程为y 2 52 x2 1221 3已知双曲线 C：y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的焦点 F 到渐近线距离与顶点 A 到渐近线距离之比为 31，则双曲线 C 的渐近线方程为() Ay2 2xBy 2x Cy 2 2 xDy 2 4 x D根据题意，双曲线 C：y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的焦点在 y 轴上，其渐近 线方程为 ya bx， 若双曲线的焦点 F 到渐近线距离与顶点 A 到渐近线距离之比为 31，则 c 3a，则 b 9a2a22 2a， 则双曲线的渐近线方程为 y 2 4 x 4平行四边形 ABCD 的四个顶点均在双曲线x 2 a2 y2 b21(
3、a0，b0)上，直 线 AB，AD 的斜率分别为1 2，1，则该双曲线的渐近线方程为( ) Ax 2y0B 2xy0 Cxy0Dx 3y0 A双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)是中心对称的， 故平行四边形 ABCD 的顶点 B，D 关于原点对称， 设 A(x0，y0)，B(x1，y1)，则 D(x1，y1)， 故x 2 0 a2 y20 b21， x21 a2 y21 b21， x0 x1x0 x1 a2 y0y1y0y1 b2 0， 整理得到： b2 a2 y0y1y0y1 x0 x1x0 x1，即 b2 a2k ABkAD0， 故b 2 a2 1 2，即 b a 2 2 ， 渐
4、近线方程为 y 2 2 x，即 x 2y0 5若双曲线x 2 9 y 2 m1 的渐近线的方程为 y 5 3 x，则双曲线焦点 F 到渐近 线的距离为() A 5B 14 C2D2 5 Aa3，b m， m 3 5 3 ，m5， c a2b2 14， 一个焦点的坐标为( 14，0)，到渐近线的距离 d| 5 1430| 59 5 二、填空题 6已知点(2,3)在双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上，C 的焦距为 4，则它 的离心率为 2根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于 a，b 的等式，即 4 a2 9 b21，考虑到焦距为 4，可得到一个关于 c 的等式，2
5、c4，即 c2再加上 a 2 b2c2，可以解出 a1，b 3，c2，所以离心率 e2 7 与椭圆x 2 9 y 2 251 共焦点， 离心率之和为 14 5 的双曲线标准方程为 y2 4 x 2 121 椭圆的焦点是(0,4)，(0，4)， c4，e4 5， 双曲线的离心率等于14 5 4 52， 4 a2，a2 b2422212 双曲线的标准方程为y 2 4 x 2 121 8已知双曲线 C：x 2 3 y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直 线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N若OMN 为直角三角形，则|MN| 3因为双曲线x 2 3 y21 的渐近线方程为 y
6、 3 3 x，所以MON60不 妨设过点 F 的直线与直线 y 3 3 x 交于点 M，由OMN 为直角三角形，不妨设 OMN90，则MFO60，又直线 MN 过点 F(2,0)，所以直线 MN 的方程为 y 3(x2)， 由 y 3x2， y 3 3 x， 得 x3 2， y 3 2 ， 所以 M 3 2， 3 2 ， 所以|OM| 3 2 2 3 2 2 3， 所以|MN| 3|OM|3 三、解答题 9已知双曲线的一条渐近线为 x 3y0，且与椭圆 x24y264 有相同的 焦距，求双曲线的标准方程 解椭圆方程为x 2 64 y2 161， 椭圆的焦距为 8 3 当双曲线的焦点在 x 轴上
7、时，设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， a2b248 b a 3 3 ，解得 a236 b212 双曲线的标准方程为x 2 36 y2 121 当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0)， a2b248 a b 3 3 ，解得 a212 b236 双曲线的标准方程为y 2 12 x2 361 由可知，双曲线的标准方程为x 2 36 y2 121 或 y2 12 x2 361 10设双曲线y 2 a2 x2 3 1 的两个焦点分别为 F1，F2，离心率为 2 (1)求此双曲线的渐近线 l1，l2的方程； (2)若 A，B 分别为 l
8、1，l2上的点，且 2|AB|5|F1F2|，求线段 AB 的中点 M 的 轨迹方程 解(1)e2，c24a2 c2a23，a1，c2 双曲线方程为 y2x 2 3 1，渐近线方程为 y 3 3 x l1的方程为 y 3 3 x，l2的方程为 y 3 3 x (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 M(x，y) 2|AB|5|F1F2|52c20， |AB|10， x1x22y1y2210， 即(x1x2)2(y1y2)2100 y1 3 3 x1，y2 3 3 x2， x1x22x，y1y22y， y1y2 3 3 (x1x2)，y1y2 3 3 (x1x2)， y 3
9、 6 (x1x2)，y1y22 3 3 x， 代入(x1x2)2(y1y2)2100， 得 3(2y)21 3(2x) 2100，整理得x2 75 3y2 25 1 11 (多选题)已知双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的左、 右焦点分别为 F 1( c,0)，F2(c,0)，又点 N c，3b 2 2a 若双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足|MF2| |MN|4b，则双曲线 C 的离心率可能为() A3B4 C3 2 D6 5 ABD双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足|MF2|MN|4b， 即(|MF2|MN|)min4b，又|MF2|MN|2a|MF1|MN
10、|2a|NF1|2a 3b 2 2a ，当且仅当 M，N，F1三点共线且 M 在 N，F1之间时取“”，即 2a3b 2 2a 4b3b28ab4a203 b a 2 8b a40， 解得b a2 或 b a 2 3， e21b 2 a25 或 e 213 9 ，e 5或 1e 13 3 12设 F1，F2分别是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线 右支上存在一点 P 满足|PF2|F1F2|，且 cosPF1F24 5，则双曲线的渐近线方程 为() A3x4y0B4x3y0 C3x5y0D5x4y0 B作 F2QPF1于 Q， 因为|F1F2|PF2|， 所以
11、 Q 为 PF1的中点， 由双曲线的定义知 |PF1|PF2|2a， 所以|PF1|2a2c， 故|F1Q|ac， 因为 cosPF1F24 5， 所以F1Q F1F2cosPF 1F2， 即ac 2c 4 5，得 3c5a， 所以 3 a2b25a，得b a 4 3， 故双曲线的渐近线方程为 y4 3x，即 4x3y0 13(一题两空)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F，过 F 作垂直于 x 轴的直线与双曲线 C 交于 M、N 两点，与双曲线的渐近线交于 P、Q 两点若|PQ| |MN| 2，记过第一、三象限的双曲线 C 的渐近线为 l 1，则 l1的倾斜
12、角 的取值范围为，离心率的取值范围为 0， 4(1， 2)如图，在双曲线 C： x2 a2 y2 b21 中，取 xc，可得 y b2 a ， |MN|2b 2 a 分别在双曲线的渐近线 yb ax 与 y b ax， 取 xc，求得|PQ|2bc a 由|PQ| |MN| 2，得 2bc a 2b2 a 2，即 c22b2， a2b22b2，b a1， l1的倾斜角的取值范围为 0， 4 e2b 2 a212，e 的取值范围为(1， 2) 14双曲线x 2 a2 y2 b21(a1，b1)的焦距为 2c，直线 l 过点(a,0)和(0，b)，且 点(1,0)到直线 l 的距离与点(1,0)到
13、直线 l 的距离之和 s4 5c， 则双曲线的离心率 e 的取值范围为 5 2 ， 5 直线 l 的方程为x a y b1，即 bxayab0 由点到直线的距离公式，且 a1，b1，得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ba1 a2b2，点(1,0)到直线 l 的距离 d 2 ba1 a2b2，sd 1d2 2ab a2b2 2ab c 由 s4 5c，得 2ab c 4 5c，即 5a c 2a22c2于是得 5 e212e2，即 4e425e2 250解不等式，得5 4e 25，由于 e1，因此 e 的取值范围是 5 2 e 5 15已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆 x2y210 相
14、交于点 P(3，1)， 若此圆过点 P 的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程 解切点为 P(3，1)的圆的切线方程为 3xy10， 因为双曲线的一条渐近线平行于此切线，且双曲线关于两坐标轴对称 所以双曲线的渐近线方程为 3xy0 当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 则其渐近线方程为 yb ax，即 b a3， 则双曲线方程可化为x 2 a2 y2 9a21， 因为双曲线过点 P(3，1)， 所以 9 a2 1 9a21，所以 a 280 9 ，b280， 所以所求双曲线方程为 x2 80 9 y 2 801 当焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0)， 则渐近线方程为 ya bx，即 a b3， 则双曲线方程可化为 y2 9b2 x2 b21， 因为双曲线过点 P(3，1)， 所以 1 9b2 9 b21，得 80 9b21，无解 综上可知所求双曲线方程为 x2 80 9 y 2 801
