1、11.1.6祖暅原理与几何体的体积 一、祖暅原理 1.思考 (1)请计算一下长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体的体积 现什么结论? 提示:根据V体=S底h得这两个几何体的体积相等,均为24 cm3.由此 可知等底面积、且等高的圆柱和长方体的体积相等. (2)运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分 别是什么? 提示:需要三个条件,分别是: 这两个几何体夹在两个平行平面之间. 平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面. 两个截面的面积总相等. 2.填空 填空:(1)祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间 的两个几何体,如果被平行于这两个平面
2、的任意平面所截,两个截 面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等”. (2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. (3)说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是 推导柱、锥、台体积公式的理论依据. 3.做一做 判断正误. (1)等底等高的两个柱体的体积相同. ( ) (2)等底等高的圆柱体的体积是圆锥体积的9倍. ( ) 答案:(1)(2)(3)(4) 二、柱、锥、台的体积 1.思考 (1)求三棱锥的体积时有什么技巧? 提示:因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱 锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的 三棱锥. (2)台体可以还
3、原为锥体,那么台体的体积可以怎样求? 提示:台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体,所以它的 体积也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下: 2.填空 柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中,柱体、锥体的底面积 为S,底面圆半径为r,高为h,台体的上、下底面面积分别为S1,S2,高为 h,上、下底面圆的半径分别为r和r. 3.做一做 (1)判断正误. 棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出. ( ) 棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的. ( ) 圆台的高就是相应母线的长. ( ) 答案: (2)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 . 答案:3 (3)圆锥底面半径为3,母
4、线长为5,则这个圆锥的体积为() A.36B.18 C.45D.12 答案:D (4)已知棱台的上、下底面面积分别为4、16,高为3,则该棱台的体 积为. 答案:28 三、球的体积 1.思考 (1)球有底面吗?球面能展开成平面图形吗? 提示:球没有底面,球的表面不能展开成平面. 2.填空 一般地,如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球=. 3.做一做 (1)判断正误. 决定球的大小的因素是球的半径. ( ) 球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径. ( ) 两个球的体积之比等于其半径比的立方. ( ) 答案: 答案:B (3)已知某球的体积与其表面积的数值相等,则此球的体积为 .
5、 答案:36 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 柱体的体积柱体的体积 例1用一块长4 m、宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制 作可使铁筒的体积最大? 解:若以矩形的长为圆柱的母线l, 则l=4 m, 此时圆柱底面周长为2 m, 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练1如图,某几何体的主视图是平行四边形,左视图和俯视图 都是矩形,则该几何体的体积为() 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 锥体的锥体的体积体积 例2(1)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截 下一个三棱锥,
6、求剩余部分的体积. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 解析:作圆锥的轴截面(如图所示). 由题设,在POB中,APB=90,PA=PB. 答案:A 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练2将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量 得水面高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形 器皿中,则水面高度为() 解析:由题设可知两种器皿中的水的体积相同,设圆锥内水面高度 为h, 圆锥的轴截面为正三角形, 答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 台体的体积台体的体积 例3已知一个三棱台上、下底面分别是边长
7、为 20 cm和30 cm的正 三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积 之和,求棱台的高和体积. 解:如图,在三棱台ABC-ABC中,O，O分别为上、下底面的中 心,D，D分别是BC,BC的中点, 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练3已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB 的夹角为60,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积. 解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长 分别为r、R,l,高为h. 作A1DAB于点D,则A1D=3. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检
8、测 球的体积球的体积 例4已知正四面体ABCD的外接球的体积为4 ,求正四面体的体 积. 解:方法一:将正四面体ABCD置于正方体中. 正四面体的外接球即正方体的外接球(如图所示),正方体的体对角 线长即球的直径.设外接球的半径为R, 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 方法二:如图所示,设外接球的半径为R, 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 变式训练4如果三个球的半径之比是123,那么最大球的体积是 其余两个球的体积之和的() A.1倍B.2倍 C.3倍D.4倍 答案:C 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 逻辑推理、数学运算在求体积中的体现 典例如图所示,已知三棱柱AB
9、C-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1 底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为() 答案:A 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 方法点睛逻辑推理数学运算是解决数学问题的基本素养,它将新的 问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决 的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接利用 公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 答案:B 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截 该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是() 答案:D 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 3.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是 . 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测 4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为528,体积为14 cm3, 则该棱台的高为. 答案:2 cm
