1、-1- 11.3.1平行直线与异面直线 -2- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习 -3- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 一、平行直线与等角定理 1.思考 (1)同一平面内,若两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线 互相平行.空间中是否有类似规律? 提示:有. (2)观察下图中的AOB与AOB. 这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系? 提示:分别对应平行. 测量一下,这两个角的大小关系如何? 提示:相等. -4- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 (3)如果一个角的两边和
2、另一个角的两边分别平行,且方向都相反, 那么这两个角的大小关系怎样?若方向一同一反呢? 提示:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相反, 那么这两个角相等;若方向一同一反,这两个角互补. -5- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 2.填空 (1)平行直线 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. 平行于同一条直线的两条直线互相平行,也称平行的传递性. (2)等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同, 那么这两个角相等. -6- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 3.做
3、一做 (1)已知空间两个角,且与的两边对应平行,=60,则为() A.60B.120 C.30D.60或120 解析:与的两边对应平行,与相等或互补,故为60或120. 答案:D -7- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 (2)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点, 则EFG与ABC1() A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.大小关系不确定 答案:B -8- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 (3)如图,AA是长方体ABCD-ABCD的一条棱,那么长方体中与
4、AA 平行的棱共有条. 解析:四边形ABBA,ADDA均为长方形, AABB,AADD. 又四边形BCCB为长方形, BBCC,AACC. 故与AA平行的棱共有3条,它们分别是BB,CC,DD. 答案:3 -9- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 二、异面直线 1.思考 (1)在同一平面内,两直线有怎样的位置关系? 提示:平行或相交. (2)若把立交桥抽象成若干条直线,它们是否在同一平面内?有何特 征? 提示:不共面,既不相交也不平行. (3)观察一下,教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直 线,是否也具有类似特征? 提示:是. -10- 11
5、.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 2.填空 (1)异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线. (2)异面直线的画法: 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平 面来衬托,如图所示. (3)异面直线的一种判断方法:与一个平面相交于一点的直线与这 个平面内不经过交点的直线异面. -11- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 3.做一做 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系: (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是. (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是. (
6、3)直线D1D与直线D1C的位置关系是. (4)直线AB与直线B1C的位置关系是. -12- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 解析: 答案:(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面 -13- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 三、空间四边形 1.思考 如图所示,A,B,C,D四点不共面,顺次连接A,B,C,D得一四边形ABCD. 请问该四边形的对角线是什么?它们之间有何位置关系? 提示:该四边形的对角线是AC和BD,它们之间是异面关系. -14- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课
7、前篇自主预习 2.填空 空间四边形可以看成由一个四面体的构成的图形. 提示:不共面空间四边形ABCD相邻顶点间不相邻4条棱 -15- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课前篇自主预习 3.做一做 如图,已知在四面体ABCD中,ACBD,E,F,G,H分别是棱 AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形. 证明:EF是ABC的中位线, GHEF,且GH=EF. 四边形EFGH是平行四边形. 又EFAC,FGBD,而ACBD. EFFG.四边形EFGH是矩形. -16- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二
8、探究三思维辨析 空间平行线的传递性的应用空间平行线的传递性的应用 例1如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,E,F,E,F分别是 AB,BC,AB,BC的中点,求证:EEFF. 证明:因为E,E分别是AB,AB的中点, 所以BEBE,且BE=BE. 所以四边形EBBE是平行四边形. 所以EEBB,同理可证FFBB. 所以EEFF. 当堂检测 -17- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 延伸探究在例1中,若M,N分别是AD,CD的中点,求证:四边形 ACNM是梯形. 证明:如图所示,连接AC, 因为M,N分别是AD,CD的中
9、点, 当堂检测 -18- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 等角定理的应用等角定理的应用 例2已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求 证:BEC=B1E1C1. 当堂检测 -19- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 解:如图所示,连接EE1, 因为E1,E分别为A1D1,AD的中点, 所以A1E1AE. 所以四边形A1E1EA为平行四边形, 所以A1AE1E. 又因为A1AB1B, 所以E1EB1B, 所以四边形E1
10、EBB1是平行四边形, 所以E1B1EB.同理E1C1EC. 又BEC与B1E1C1对应边方向相同, 所以BEC=B1E1C1. 当堂检测 -20- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练1空间中有一个A的两边和另一个B的两边分别平 行,A=70,则B=. 解析:因为A的两边和B的两边分别平行, 所以A=B或A+B=180. 又A=70,所以B=70或110. 答案:70或110 当堂检测 -21- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 异面直线的判断异面
11、直线的判断 例3 如图,已知正方体ABCD-ABCD.哪些棱所在直线与直线BA是 异面直线? 解:由异面直线的定义可知,棱AD,DC,CC,DD,DC,BC所在直线分 别与直线BA是异面直线. 反思感悟判断两直线是否为异面直线,只需判断它们是否相交、平 行.只要既不相交,也不平行,就是异面直线. 当堂检测 -22- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练2如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那 么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对?分别 是哪几对? 解:三对,分别为AB与CD,AB与G
12、H,EF与GH. 还原的正方体如下图所示： 当堂检测 -23- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究空间中四边形的形状问题 典例如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中 点.求证:四边形EFGH是平行四边形. -24- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 证明:连接BD. 因为EH是ABD的中位线, 因此EHFG. 又EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形. -25- 11.3.1平行直线与异面直线 课
13、前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变化1矩形的判断 本例中若加上条件“ACBD”,则四边形EFGH是什么形状? 解:由例题可知EHBD,同理EFAC, 又BDAC,因此EHEF. 所以四边形EFGH为矩形. 变化2菱形的判断 本例中,若加上条件“AC=BD”,则四边形EFGH是什么形状? 又AC=BD,所以EH=EF. 又EFGH为平行四边形, 所以EFGH为菱形. -26- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变化3正方形的判断 本例中,若加上条件“ACBD,且AC=BD”
14、,则四边形EFGH是什么形 状? 解:由探究1与2可知,EFGH为正方形. 变化4梯形的判断 若本例中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是BC,CD上的点,且 CFFB=CGGD=12,那么四边形EFGH是什么形状? 解:由题意可知EH是ABD的中位线, FGEH且FGEH. 四边形EFGH是梯形. -27- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 方法感悟根据三角形的中位线、空间平行线的传递性证明两条直 线平行是常用的方法.空间平行线的传递性表明了平行线的传递性, 它可以作为判断两条直线平行的依据,同时也给出空间
15、两直线平行 的一种证明方法. -28- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三思维辨析 1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是() A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 解析:若直线a和b共面,则由题意可知ab;若a和b不共面,则由题意 可知a与b是异面直线. 答案:D 2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关 系是() A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 解析:由直观想象知,它和另一条直线相交或异面. 答案:B 当堂检测 -29- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预
16、习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三 3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 对. 解析:如图所示, 在长方体AC1中,与对角线AC1成异面直线位置的是： A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC,所以组成6对异面直线. 答案:6 思维辨析当堂检测 -30- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三 4.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有 对. 解析:AP与BC异面,BP与AC异面,PC与AB异面. 答案:3 思维辨析当堂检测 -31- 11.3.1平行直线与异面直线 课前篇自主预习课堂篇探究学习课堂篇探究学习 探究一探究二探究三 5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,B,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的 中点.求证:BGC=FD1E. 解:因为E,F,G分别是正方体的棱CC1,BB1,DD1的中点, 所以CEGD1,BFGD1. 所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形. 所以GCD1E,GBD1F. 因为BGC与FD1E的方向相同, 所以BGC=FD1E. 思维辨析当堂检测
