1、高二数学期末复习模拟七高二数学期末复习模拟七 范围范围(选择性必修一选择性必修一 +选择性必修二数列选择性必修二数列) 一、单选题一、单选题( (共共 4040 分分) ) 1若抛物线的焦点坐标为(0, 3)，则抛物线的标准方程是（） A 2 6yx B 2 12yx C 2 6xy D 2 12xy 2等差数列 n a中，已知 3 10a ， 8 20a ，则公差d等于() A3B-6C4D-3 3如果0AC ，0BC ，那么直线0AxByC不通过（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 4点 P(1,2,3)关于 xOz 平面对称的点的坐标是 () A(1,2,3)B(1，2,3)C
2、(1,2，3)D(1，2，3) 5平面的一个法向量( 2, 2,1)n ，( 1,3,0)A 在内，则( 2,1,4)P 到的距离为（） A10B3C 8 3 D 10 3 6已知直线 1 10lxy ：，动直线 2 ()10lkxkykkR：，则下列结论中正确的是（） 存在k，使得 2 l的倾斜角为 90 对任意的k， 1 l与 2 l都有公共点 对任意的k， 1 l与 2 l都不重合 对任意的k， 1 l与 2 l都不垂直 ABCD 7在正方体 1111 ABCDABC D中，O是底面 1111 DCBA的中心，E是棱AB上的点，且 1 4 AEAB， 记直线OE与直线BC所成角为，直线O
3、E与平面ABCD所成角为，二面角OABC的平面角 为，则（） ABCD 8 n S为等差数列 n a的前n项和，且 1 1a ， 7 28S 记lg nn ba，其中 x表示不超过x的最大 整数，如0.90， lg991数列 n b的前500项和为（） A900B902C890D892 二、多选题二、多选题( (共共 2020 分分) ) 9下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（） A两条不重合直线 1 l， 2 l的方向向量分别是2,3, 1a ，2, 3,1b ，则 12 /ll B直线l的方向向量1 1 2a, ，平面的法向量是6,4, 1u ，则l C两个不同的
4、平面，的法向量分别是2,2, 1u ，3,4,2v ，则 D直线l的方向向量0,3,0a ，平面的法向量是0, 5,0u ，则/l 10已知等比数列 n a中，满足 1 1a ，公比 q2，则（） A数列 1 2 nn aa 是等比数列B数列 1nn aa 是等比数列 C数列 1nn a a 是等比数列D数列 2 log n a是递减数列 11已知 1, F 2 F分别是双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上 一点，若 12 2PFPF且 12 PFF的最小内角为30，则（） A双曲线的离心率 3 B双曲线的渐近线方程为2yx C 2
5、45PAF D直线220 xy与双曲线有两个公共点 12 数学中有许多形状优美寓意美好的曲线， 曲线 22 :4C xyx y 就是其中之一.曲线 C 对应的图 象如图所示，下列结论中正确的是（） A直线 AB 的方程为：20 xy； B曲线 C 与圆 22 8xy有 2 个交点； C曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 12； D曲线 C 恰好经过 4 个整点(即横纵坐标均为整数的点). 三、填空题三、填空题( (共共 2020 分分) ) 13已知平行六面体 1111 ABCDABC D，所有棱长都等于 l， 11 60BADBAADAA ,则 1 AC 的长_ 14 已知点A(1，
6、3)关于直线ykxb对称的点是B(2， 1)， 则直线ykxb在x轴上的截距是_ 15中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆 22 (2)1xy都相切，则双曲线 C 的离心率是_； 16数列 n a的前n项和为 n S，定义 n a的“优值”为 1 12 22n n n aaa H n ，现已知 n a的“优 值”2n n H ，则 n a _， n S _ 四、解答题四、解答题( (共共 7070 分分) ) 17已知数列 n a是公差不为 0 的等差数列,首项 1 1a ,且 124 ,a a a成等比数列. (1)求数列 n a的通项公式. (2)设数列 n b满足2
7、n a n b ，求数列 n b的前n项和为 n T. 18已知圆 C 的圆心在直线320 xy上，并且与 x 轴的交点分别为( 2,0), (6,0)AB. （1）求圆 C 的方程； （2）若直线 l 过原点且垂直于直线320 xy，直线 l 交圆 C 于 M，N，求MCN的面积. 19平面上动点P到点1,0F的距离比它到直线:2l x 的距离小 1 （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若过点1,0的直线l与C交于,A B两点，若AFB的面积为4，求直线l的方程. 20已知数列 n a的各项均为正数，其前n项和为 n S，且满足 2 4(1) nn Sa，*nN （）求数列 n a的通项公
8、式； （）设 1 2 n n n a b ， n T为数列 n b的前n项和，求证：6 n T 21在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，ABDC，ABAD，1DCAD，2AB ， 45PAD，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足 0BCDF . （1）求证：DE 平面PBC； （2）在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是 6 3 ，若存在，求出AQ的 长；若不存在，请说明理由. 22已知平面上的动点,P x y及两定点2,0A ，2,0B，直线PA，PB的斜率分别是 1 k， 2 k且 12 1 4 kk . （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）设直线
9、: l ykxm与曲线 C 交于不同的两点 M，N. 若OMON（O 为坐标原点） ，证明点 O 到直线的距离为定值，并求出这个定值. 若直线 BM，BN 的斜率都存在并满足 1 4 BMBN kk ，证明直线 l 过定点，并求出这个定点. 参考答案参考答案 1 【答案】D【解析】依题意，设抛物线的标准方程为 2 2(0)xpy p ，又3 2 p =，所 以6,212pp，故抛物线的标准方程为 2 12xy .故选：D 2【答案】 B 【解析】 由等差数列的性质， 得 83 8 35aadd， 所以 20 10 6 5 d . 故选：B. 3 【答案】 B 【解析】 把直线0AxByC化为
10、AC yx BB 因为0AC ，0BC ， 假设0C ，则0B ，0A所以0 A B ，0 C B ，则直线0AxByC不通过 第二象限 假设0C ，则0B ，0A所以0 A B ，0 C B ，则直线0AxByC不通 过第二象限故选：B 4 【答案】B【解析】点 P(1,2,3)关于 xOz 平面对称的点的坐标是(1，2,3)，故选 B 5 【答案】D【解析】1, 2,4AP ，则点P到平面的距离 22 2 21221 4 10 3 221 PA n d n .故选：D 6 【答案】A【解析】对于动直线 2 ()10lkxkykkR：，当0k 时，斜率不存 在，倾斜角为90，故正确； 由方程
11、组 10, (1)0, xy kxkyk 可得(21)0kx， 对任意的k， 此方程有解， 可得 1 l与 2 l 有交点，故正确； 因为当 1 2 k 时， 1 111 kkk 成立，此 1 l与 2 l重合，故错误； 由于直线 1 10lxy ：的斜率为 1，动直线 l2的斜率为 11 11 k kk ，故对任意 的k， 1 l与 2 l都不垂直，故正确故选：A. 7 【答案】C【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直 角坐标系，设正方体 1111 ABCDABC D中棱长为 4，则 2 2 44104 4()()00(4 04 0 0)()()OEBCA，
12、 ， ， ， ， ，OE 2(4)1 ， ，(B)C4 0 0 ， ， |OE BC| |OE| |BC| cos 8 21 4 2 21 ， 平面ABCD的法向量01()n0 ， ， |OE n | |OE| |n | sin 4 21 ， 2 4 1 21 cos 5 21 ， (OB2 24) ， ，OA2(4)2 ， ， 设平面OAB的法向量()mxyz ， ， 则 2240 2240 m OAxyz mOBxyz ，取2x，得2 01()m ， ， |m n | |m| |n | cos 1 5 ，coscoscos， .故选：C. 8 【答案】D【解析】 n S为等差数列 n a的
13、前n项和，且 1 1a ， 7 28S ， 4 728a 可得 4 4a ，则公差1d n an， n blgn，则 1 10blg， 239 0bbb， 10111299 1bbbb， 1001011021 35000 2bbbbb数列 n b的前500项和为： 9090 1401 2892 故选：D 9 【答案】AC【解析】对于 A，两条不重合直线 1 l， 2 l的方向向量分别是2,3, 1a ， 2, 3,1b ,且b a ，所以 12 /ll，选项正确； 对于 B，直线 l 的方向向量1 1 2a, ，平面的法向量是6,4, 1u 且 1 6 1 42 ( 1)0a u ，所以/l或
14、l，选项错误； 对于 C，两个不同的平面，的法向量分别是2,2, 1u ，3,4,2v ，且 2 ( 3)2 4 1 20u v ，所以，选项 C 正确； 对于 D，直线 l 的方向向量0,3,0a ，平面的法向量是0, 5,0u 且 5 3 ua ， 所以l，选项 D 错误.故选：AC 10 【答案】BC【解析】因为 n a是等比数列，所以 1 2 nn aa ， 1 20 nn aa ，故 A 错； 111 1 ( 1)2 nnn n aa q ， 1 ( 1)2 nn n a ，于是 111 1 ( 1)2( 1)23 2 nnnnn nn aa ，故 1 nn aa 是等比数列，故 B
15、 正确； 1121 1 ( 1)2( 1)2( 2) nnnnn nn a a ，故 C 正确； 1 22 loglog 21 n n an ，是 递增数列，故 D 错。故选:BC. 11 【答案】ABD【解析】A因为 12 2PFPF， 12 2PFPFa，所以 1 4PFa， 2 2PFa， 又因为22 .42ca aa，所以 12 30PFF， 所以 222 12 16443 cos 2 422 aca PFF ac ，所以 3ca ，所以 3e ，故结论正确； B 222 2 22 3 cab e aa ，所以 2 2 2 b a ，所以 2 b a ，所以渐近线方程为2yx ， 故结
16、论正确； C因为2 2 3ca ，所以 222 121 2 PFPFFF，所以 21 90PF F， 又因为 22 31,2AFcaa PFa，所以 22 AFPF，所以 2 45PAF ，所以 结论不成立； D因为 22 22 220 1 2 xy xy aa ，所以 2 22 2 222yya，所以 22 7168 20yya ， 所以 222 164 78232560aa ， 所以直线220 xy与双曲线有两个公共点，所以结论正确.故选：ABD. 12 【答案】B C【解析】对于 A，曲线 22 :4C xyx y ， 令0 x ，则2y ；令0y ，则2x ；所以点2,0A，0,2B，
17、所以直线 AB 的 方程为： 22 1 xy 即20 xy，故 A 错误； 对于 B，由 22 22 4 8 xyx y xy 可得 2 2 x y 或 2 2 x y ，所以曲线 C 与圆 22 8xy有 2 个交点2,2，2,2，故 B 正确； 对于 C，在曲线上取点2,2D，2,2E ，2,0F ，0, 2G， 顺次连接各点，如图，则 1 2 44 212 2 ADEFG S ，所以曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 12，故 C 正确； 对于 D，曲线经过的整点有：2,0，0, 2，2,2，有 6 个，故 D 错误.故答案为： BC. 13 【答案】 2【解析】 因为平行六面体的
18、棱长都为 1， 11 60BADBAADAA ， 11 A AACABBC 2 2 11 A AACABBC 222 111 2|cos602| |cos1202| | cos120AAABBCABBCAAA ABBCA 111 1 1 1 2 1 12 1 12 1 12 222 ，所以 1 AC的长为 2，故答案为 2. 14【答案】 5 6 【解析】 由题意得直线AB与直线 ykxb 垂直， 且线段 A B 的中点(, ) 1 2 2 在直线 ykxb 上，故 2 1, 3 1 2, 2 k kb 解得 k 3 2 ，b 5 4 ，所以直线方程为 y 3 2 x 5 4 .令 y0，即
19、3 2 x 5 4 0，解得 x 5 6 ，故直线 ykxb 在 x 轴上的截距为 5 6 .故 答案为： 5 6 . 15 【答案】 2 3 2 3 或 【解析】设y kx 是圆 22 (2)1xy的切线，则 2 2 1 1 k k ，解 得 3 3 k ， 即切线方程为 3 3 yx ，这也是双曲线的渐近线方程 若双曲线为 22 22 1 xy ab ，则 3 3 b a ， 3 3 ba ， 2222 12 3 32 cabaaa， 2 3 3 c e a 若双曲线为 22 22 1 yx ab ，则 3 3 a b ， 3ba ， 2222 32cabaaa ， 2 c e a 故答案
20、为 2 3 3 或 2 16 【答案】1n 3 2 n n 【解析】由题意 1 12 222 nn n aaan ， 2n 时， 21 121 22(1) 2 nn n aaan ， 两式相减得： 111 22(1) 2(1) 2 nnnn n annn ，1 n an， 又 1 2a ， 满足1 n an， 1 n an， (21)(3) 22 n nnn n S 故答案为：1n； (3) 2 n n 17 【解析】 （1） 设数列 n a的公差为d， 由题设,得 2 214 aa a,即 2 (1)1 3dd 化简, 得 2 0dd 又0d ,所以1d ,所以 n an. （2）由（1）得
21、,2 n a n b 231 222222. nn n T 18【解析】（1） 线段AB的中垂线方程为： 2x ， 圆与 x 轴的交点分别为 ( 2,0), (6,0)AB， 则圆心在线段AB的中垂线上.由 2 320 x xy ，得3y ，圆心 C 为(2,3)， 又半径5rAC，圆 C 的方程为 22 (2)(3)25xy. （2）直线 l 垂直于直线320 xy，则 2 3 l k ，又直线 l 过原点，则直线 l 的方程为： 230 xy， 所以点 C 到直线 l 的距离为： 49 13 49 d ， 22 24 3MNrd， 11 |4 3132 39 22 MCN SMNd. 19
22、 【解析】 （1）设点,P x y，由已知平面动点P到点1,0F的距离等于它到直线 :1l x 距离， 点P满足抛物线定义，点P的轨迹为焦点在x轴正半轴的抛物线，2p ， 动点P的轨迹C的方程： 2 4yx （2）设直线方程为1yk x，代入抛物线的方程可得 2222 240k xkxk， 设 1122 ,A x yB x y，则 12 2 4 2xx k ， 12 1x x， 2 222 22 44 12411ABkkk kk ， AFB的面积为4，F到直线的距离为 2 2 1 k k ， 22 2 2 214 114 2 1 k kk k k ， 2 2 k ， 直线l的方程 2 1 2
23、yx 20 【解析】 （）当1n 时， 2 11 41Sa，即 1 1a . 当2n时， 2 11 41 nn Sa ， 又 2 41 nn Sa， 两式相减，得 11 20 nnnn aaaa 因为0 n a ，所以 1 2 nn aa 所以数列 n a是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，即21 n an（*nN） （）由（）知， 1 21 2 n n n b ，则 0121 13521 2222 n n n T ， 121 1132321 22222 n nn nn T ， - -，得 0121 1122221 222222 n nn n T 2 1121 1 1 222 nn n 1
24、 1 1 2123 2 13 1 22 1 2 n nn nn 所以 1 23 66 2 n n n T 21 【解析】 （1）方法一：证明：取PB的中点M，AB的中点N，连接EM和CM， CDAB且 1 2 CDAB，E，M分别为PA，PB的中点.EMAB且 1 2 EMAB EMCD且EMCD，四边形CDEM为平行四边形， DECM，CM 平面PBC，DE 平面PBC， DE 平面BPC. （1） 方法二： 由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直， 如果， 以D为原点，DA，DC， DP分别是x，y，z轴建立空间直角坐标系D xyz， 则1 0 0A ，1 2 0B， 0 1 0C，0 0
25、 1P， 11 0 22 E ， 设平面PBC的法向量为mx y z ， ，11 0BC ， ，01 1CP ， ， 0 0 m BCxy m CPyz xy yz ，令1y 1 1 1m ， 又 11 0 22 DE ， 0m DE ， DE m ，DE 平面PBC， DE平面PBC （2）设点F坐标为10t，则11 0CFt ，1 2 0DB ，由 0BCDF 得 1 2 t ， 1 10 2 F ， ， 设0AQAP ，0 1，FQFAAQ 1 2 ， 1n FQ ， 2 2 122 cos 1 381 32 4 FQ n ， FQ与平面PFC所成角的余弦值是 6 3 其正弦值为 3 3
26、 2 223 3 3 81 ，整理得： 2 20810 ，解得： 1 10 ， 1 2 （舍） 存在满足条件的点Q， 11 0 1010 AQ ，且 2 10 AQ 22 【解析】 （1）根据题意可得 1 2 y k x ， 2 2 y k x . 12 1 4 kk ， 1 224 yy xx ，即 22 442xyx . 动点P的轨迹C的方程为 2 2 12 4 x yx . （2）设点 11 ,M x y， 22 ,N xy，联立 22 44 ykxm xy ， 化为 222 1+48440kxkmxm， 则 222222 64161 1416 140k mmkkm . 12 2 8 1
27、4 km xx k ， 2 12 2 44 14 m x x k . 22 12121 212 y ykxmkxmk x xkm xxm. 若OMON，则 1212 0 x xy y. 22 1212 10kx xkm xxm 22 22 2 22 144 8 0 1414 km k m m kk ， 化为 22 4 1 5 mk，此时点O到直线l的距离 2 2 5 5 1 m d k . 直线 BM，BN 的斜率都存在并满足 1 4 BMBN kk ， 12 12 1 224 yy xx ， 121212 2440 x xxxy y 22 12121212 244440 x xxxk x xkm xxm，化为 22 2 842 44440 14 kmkm mm k ，即20m mk，解得0m 或2mk . 当0m 时，直线l恒过原点； 当2mk 时，直线l恒过点2,0，此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意. 综上可知，直线l恒过定点0,0.
