1、专练 24平面向量基本定理及坐标表示 考查平面向量基本定理的应用，平面向量的坐标运算. 基础强化 一、选择题 1如果 e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有 向量的一组基底的是() Ae1与 e1e2Be12e2与 e12e2 Ce1e2与 e1e2De13e2与 6e22e1 2已知平面向量 a(1,1)，b(1，1)，则向量 1 2a 3 2b( ) A(2，1)B(2,1) C(1,0)D(1,2) 3已知 a(2,1)，b(1，x)，c(1,1)若(ab)(bc)，且 cmanb，则 mn 等于 () A.1 4B1 C1 3D 1 2 4设OA (
2、1，2)，OB (a，1)，OC (b,0)，a0，b0，O 为坐标原点，若 A， B，C 三点共线，则1 a 2 b的最小值是( ) A2B4 C6D8 5已知点 M(5，6)和向量 a(1，2)，若MN 3a，则点 N 的坐标为() A(2,0)B(3,6) C(6,2)D(2,0) 6已知向量 m sinA，1 2 与向量 n(3，sinA 3cosA)共线，其中 A 是ABC 的内角， 则角 A 的大小为() A. 6B. 4 C. 3D. 2 7 已知向量 a(1， 2)， b(x,3y5)， 且 ab， 若 x， y 均为正数， 则 xy 的最大值是() A2 6B.25 12 C
3、.25 24D. 25 6 8设向量 a(3,4)，向量 b 与向量 a 方向相反，且|b|10，则向量 b 的坐标为() A. 6 5， 8 5 B(6,8) C. 6 5， 8 5 D(6，8) 92021山东大联考正三角形 ABC 的内切圆圆心为 Q，点 P 为圆 Q 上任意一点若QP mQC nQA ，则 mn 的取值范围是() A1,1B1 2， 1 2 C 2 2 ， 2 2 D 2， 2 二、填空题 10已知向量 a(2,6)，b(1，)，若 ab，则_. 11已知OA (2 3，0)，OB (0,2)，AC tAB，tR，当|OC |最小时，t_. 12已知ABC 和点 M 满
4、足MA MB MC 0，若存在实数 m，使得AB AC m AM 成 立，则 m_. 能力提升 13已知在 RtABC 中，A 2，AB3，AC4，P 为 BC 上任意一点(含 B，C)，以 P 为 圆心，1 为半径作圆，Q 为圆上任意一点，设AQ aAB bAC，则 ab 的最大值为( ) A.13 12B. 5 4 C.17 12D. 19 12 14如图，在直角梯形 ABCD 中，ABDC，ADDC，ADDC2AB，E 为 AD 的中点， 若CA CEDB (，R)，则的值为() A.6 5B. 8 5 C2D.8 3 15(多选)已知向量 m(1,0)，n(1 2， 1 2)，则( )
5、 A|m| 2|n|B(mn)n C(mn)nDm 与n 的夹角为3 4 16如图，已知平面内有三个向量OA 、 OB 、 OC ，其中OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的 夹角为 30， 且|OA |OB |1， |OC |2 3.若OC OA OB (， R)， 则的值为_ 专练专练 24平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 1D选项 A 中，设 e1e2e1，则 1， 10 无解；选项 B 中，设 e12e2(e12e2)， 则 1， 22 无解； 选项 C 中，设 e1e2(e1e2)，则 1， 1 无解； 选项 D 中，e13e21 2(6e 22e1)，
6、所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一 组基底 2D 1 2a 3 2b 1 2， 1 2 3 2， 3 2 (1,2) 3Cab(3,1x)，bc(2，x1)， (ab)(bc)，3(x1)2(x1)， 得 x5，b(1,5)，又 cmanb， (1,1)m(2,1)n(1,5) 2mn1， m5n1， 得 m2 3， n1 3， mn2 3 1 3 1 3. 4DAB OB OA (a1,1)，CB (ab，1)， A，B，C 三点共线， (a1)(1)1(ab)，2ab1， 又 a0，b0， 1 a 2 b 1 a 2 b (2ab)4b a 4a b 42 b a 4a b
7、8(当且仅当b a 4a b 即 a1 4， b 1 2时等号 成立) 5A设点 N 的坐标为(x，y)，则MN (x5，y6) 又MN 3a(3,6)， x53， y66， 得 x2， y0. 6Cmn，sinA(sinA 3cosA)3 20， 2sin2A2 3sinAcosA3. 可化为 1cos2A 3sin2A3， sin 2A 6 1. A(0，)， 2A 6 6， 11 6. 因此 2A 6 2，解得 A 3.故选 C. 7Cab，3y52x，2x3y5， 又 x，y 均为正数，52x3y2 2x3y2 6xy，(当且仅当 2x3y，即：x5 4，y 5 6时 等号成立)， x
8、y25 24，故选 C. 8D由题意不妨设 b(3m,4m)(m0)，则|b| 3m24m210，解得 m2 或 m2(舍去)，所以 b(6，8)，故选 D. 9. A如图所示，以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系， 设 Q(0,1)，则 A(0,3)，C( 3，0)，圆 Q 的方程为 x2(y1)21，设 P(cos，1sin)(R)， 则QP (cos，sin)，又QA (0,2)，QC ( 3，1)，所以 mQC nQA m( 3，1)n(0,2) ( 3m,2nm)又QP mQC nQA ， 所以 cos 3m sin2nm ，解得 m 1 3c
9、os n1 2sin 1 2 3cos (R)，所以 mn1 2sin 3 2 cos sin( 3)1,1，故选 A. 103 解析：ab，26，3. 11.3 4 解析：依题意得OC OA t(2 3，2)，OC t(2 3，2)OA (2 32 3t,2t)，|OC |2 12(1t)24t216 t3 4 233，当且仅当 t3 4时取等号因此，当|OC |最小时，t3 4. 123 解析：MA MB MC 0，M 为ABC 的重心，设 D 为 BC 边的中点， 则AM 1 2(AB AC)2 3 1 3(AB AC )， AB AC3AM ，m3. 13C 根据题设条件建立如图所示的
10、平面直角坐标系，则 C(0,4)，B(3,0)，易知点 Q 运动的区域 为图中的两条线段 DE，GF 与两个半圆围成的区域(含边界)，由AQ aAB bAC(3a,4b)，设 zab，则 bza，所以AQ (3a,4z4a)设 Q(x，y)，所以 x3a， y4z4a， 消去 a，得 y 4 3x4z，则当点 P 运动时，直线 y 4 3x4z 与圆相切时，直线的纵截距最大，即 z 取得 最大值，不妨作 AQBC 于 Q，并延长交每个圆的公切线于点 R，则|AQ|12 5 ，|AR|17 5 ，所 以点 A 到直线 y4 3x4z，即 4x3y12z0 的距离为 17 5 ，所以 |12z|
11、3242 17 5 ，解得 z17 12， 即 ab 的最大值为17 12，故选 C. 14B 建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(0,0) 不妨设 AB1，则 CDAD2，所以 C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，CA (2,2)，CE (2,1)，DB (1,2)， CA CEDB ， (2,2)(2,1)(1,2)， 22， 22， 解得6 5， 2 5，则 8 5.故选 B. 15 ACD因为 m(1,0)， n(1 2， 1 2)， 所以|m|1， |n| 1 2 21 2 2 2 2 ， 所以|m| 2|n|， 故 A 正确；因为 mn(1 2， 1 2)，所
12、以 mn 与 n 不平行，故 B 错误；又(mn)n0，故 C 正确；因为 cosm，nmn |m|n| 2 2 ，所以 m 与n 的夹角为3 4 ，故 D 正确 166 解析：解法一：如图，作平行四边形 OB1CA1，则OC OB1 OA1 ，因为OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的夹角为 30，所以B1OC90. 在 RtOB1C 中，OCB130，|OC|2 3， 所以|OB1|2，|B1C|4， 所以|OA1|B1C|4，所以OC 4OA 2OB ，所以4，2，所以6. 解法二：以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(1,0)， B 1 2， 3 2 ，C(3， 3) 由OC OA OB ， 得 31 2， 3 3 2 ， 解得 4， 2. 所以6.
