1、专练 13函数与方程 考查函数与方程的关系、函数的零点等. 基础强化 一、选择题 1若函数 f(x)x2axb 的两个零点是 2 和 3，则 g(x)bx2ax1 的零点是() A1 和 1 6B1 和 1 6 C.1 2和 1 3D 1 2和 1 3 2方程 log4xx7 的根所在区间是() A(1,2)B(3,4) C(5,6)D(6,7) 3函数 f(x) x22x3，x0， lgx1，x0 的所有零点之和为() A7B5 C4D3 4设函数 f(x)1 3xlnx，则函数 yf(x)( ) A在区间 1 e，1，(1，e)内均有零点 B在区间 1 e，1，(1，e)内均无零点 C在区
2、间 1 e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D在区间 1 e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 5若幂函数 f(x)x的图象过点(2， 2)，则函数 g(x)f(x)3 的零点是() A. 3B9 C( 3，0)D(9,0) 6已知函数 f(x)2xx，g(x)xlog2x，h(x)x3x 的零点依次为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系为() AbcaBbac CabcDcba 7函数 f(x)x 1 2 1 2 x的零点的个数为( ) A0B1 C2D3 8已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，则函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合为()
3、 A1,3B3, 1,1,3 C2 7，1,3D2 7，1,3 9已知函数 f(x) kx2，x0， lnx，x0 (kR)，若函数 y|f(x)|k 有三个零点，则实数 k 满足() Ak2B1k0 C2k0， 若 f(x0)1，则 x0_. 12已知偶函数 f(x)满足 f(x)f(x2)，且当 x1,0时，f(x)x2，若在区间1,3内， 函数 g(x)f(x)loga(x2)有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是_ 能力提升 13对于函数 f(x)和 g(x)，设x|f(x)0，x|g(x)0，若存在，使得|1， 则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数” 若函数f(x)ex 1x2
4、与g(x)x2axa3互为“零 点相邻函数”，则实数 a 的取值范围是() A2,4B. 2，7 3 C. 7 3，3D2,3 14(多选)2021广东适应性测试设三个函数 y2xx2，ylog2xx2 和 yx33x2 3x1 的零点分别为 x1，x2，x3，则有() Ax1x2x3Bx1x2x3 Cx1x22x3Dx1x22x3 15已知函数 f(x) log2x1，x0， x22x，x0， 若函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，则实数 m 的 取值范围是_ 16已知R，函数 f(x) x4，x， x24x3，x. 当2 时，不等式 f(x)0 的解集是 _若函数 f(x)恰有 2
5、个零点，则的取值范围是_ 专练专练 13函数与方程函数与方程 1B由题意得 x2axb0 有两根 2,3. 23a， 23b， 得 a5， b6. 由 bx2ax10，得 6x25x10， 得 x1 6或 x1. 2C令 f(x)log4xx7，则函数 f(x)在(0，)上单调递增，且函数在(0，)上连 续 因为 f(5)0， 所以 f(5)f(6)0， 得 x210，函数 f(x)的所有 零点之和为 1037. 4Df 1 e 1 3e10， f(1)1 30，f(e) e 310， f(x)在 1 e，1内无零点，在(1，e)内有零点 5B幂函数 f(x)x的图象过点(2， 2)，f(2)
6、2 2，解得1 2，f(x)x 1 2， 函数 g(x)f(x)3x1 23.令 g(x)x 1 230，得 x9，g(x)f(x)3 的零点是 9.故选 B. 6 A在同一坐标系中画出 y2x和 yx 的图象， 可得 a0， 用同样的方法可得 b0， c0，所以 bca，故选 A. 7B函数 f(x)x1 2 1 2 x为单调增函数，且 f(0)10, f(x)在(0,1)内有 一个零点 8D当 x0 时，f(x)f(x)x23x， g(x) x24x3，x0， x24x3，x0， 由 x24x30， x0， 得 x1 或 x3； 由 x24x30， x0， 得 x2 7，故选 D. 9D由
7、于|f(x)|0，故必须k0，即 k0，显然 k0 时两个函数图象只有一个公共 点， 所以 k0， f(x)kx2 恒过点(0,2)， 要使 y|f(x)|与 yk 的图象有三个公共点(如图所示)， 只要k2，即 k2 即可故选 D. 10. 1 3，1 解析： 当 a0 时， 函数 f(x)1 在(1,1)上没有零点， 所以 a0.所以函数 f(x)是单调函数， 要满足题意，只需 f(1)f(1)0，即(3a1)(1a)0，所以(a1)(3a1)0，解得1 3a0， 得 x01. 12(3,5) 解析：偶函数 f(x)满足 f(x)f(x2)且当 x1，0时，f(x)x2， 函数 f(x)的
8、周期为 2.在区间1,3内函数 g(x)f(x)loga(x2)有 3 个零点等价于 f(x)的 图象与 yloga(x2)的图象在区间1,3内有 3 个交点当 0a1 且 loga(12)1，解得 a(3,5) 13D易知函数 f(x)ex 1x2 的零点为 x1，则1，设函数 g(x)x2axa3 的一个零点为， 若函数 f(x)和 g(x)互为“零点相邻函数”， 根据定义， 得|1|1， 解得 02. 作出函数 g(x)x2axa3 的图象(图略)，因为 g(1)4，要使函数 g(x)在区间0,2内存在 零点，则 g00， g a 2 0， 0a 22， 即 a30， a2 4 a 2
9、2 a30， 0a4， 解得 2a3.故选 D. 14AC因为 yx33x23x1，所以 y3x26x33(x1)20，所以 yx33x2 3x1 在 R 上是增函数，又当 x1 时 y133123110，所以 x31.作出 y2x，y log2x，y2x 三个函数的图象如图所示， 其中 A(x1，y1)，B(x2，y2)分别是函数 y2x，ylog2x 的图象与直线 y2x 的交点因为 指数函数 yax与 ylogax 的图象关于直线 yx 对称，且 y2x 也关于 yx 对称，所以交 点 A，B 关于直线 yx 对称，所以x1x2 2 y1y2 2 ，即 2x12x2x1x2，所以 x1x22 2x3，再由基本不等式及 x1x2得 x1x2 x1x2 2 21x3(0 x1x2)故选 AC. 15(0,1) 解析：函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，等价于 yf(x)与 ym 有三个交点，画出 yf(x) 的图象，其中抛物线的顶点为(1,1)，由图可知，当 0m1 时，ym 与 yf(x)的图象有三个 交点 16(1,4)(1,3(4，) 解析：当2 时，不等式 f(x)0 等价于 x2， x40 或 x2， x24x30， 即 2x4 或 1x2， 故不等式 f(x)4.两个零点为 1,4， 由图可知， 此时 13. 综上，的取值范围为(1,3(4，)
