1、专练 34空间几何体的结构特征、表面积和体积 考查空间几何体的结构特征，空间几何体的表面积和体积. 基础强化 一、选择题 12021全国新高考卷已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆 锥的母线长为() A2B2 2C4D4 2 22021江苏省学情调研用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状 为() A正六边形 B五边形 C长方形 D三角形 3棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 BB1，AB 的中点，则三棱锥 A1D1MN 的体积为 A.1B2C3D4 4在梯形 ABCD 中，ABC 2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 AB
2、CD 绕 AD 所 在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为() A.2 3 B.4 3 C.5 3 D2 52020全国卷已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，O1为ABC 的外接圆若 O1的面积为 4，ABBCACOO1，则球 O 的表面积为() A64B48C36D32 6 已知圆锥的底面半径为 R， 高为 3R， 在它的所有内接圆柱中， 全面积的最大值是() A2R2B.9 4R 2C.8 3R 2D.3 2R 2 72021河北省六校联考已知 A，B 是球 O 的表面上两点，AOB90，C 为该球面上 的动点若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面
3、积为() A124B144C156D196 8. 2021云贵川桂四省联考如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构 成的，若圆柱的高是圆锥高的 2 倍，且圆锥的母线长是 4，侧面积是 4，则制作这样一个粮 仓的用料面积为() A( 154)B(2 154) C(3 154)D(4 154) 9在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30， 则该长方体的体积为() A8B6 2C8 2D8 3 二、填空题 102020全国卷已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的 体积为_ 11已知圆锥的顶点为 S，母
4、线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30.若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_ 12如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为 _ 能力提升 132020全国卷埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正 四棱锥以该四棱锥的 高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的 高与底面正方形的边长的比值为() A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 14 (多选)2021全国新高考卷在正三棱柱 ABCA1B1C1中， ABAA11， 点 P 满足BP BC
5、BB 1 ，其中0,1，0,1，则() A当1 时，AB1P 的周长为定值 B当1 时，三棱锥 PA1BC 的体积为定值 C当1 2时，有且仅有一个点 P，使得 A 1PBP D当1 2时，有且仅有一个点 P，使得 A 1B平面 AB1P 152021山东威海模拟在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为 鳖臑，在体积为2 3的鳖臑 ABCD 中，AB平面 BCD，且 AB2，CD1，则该鳖臑外接球的表 面积为_ 162021山东潍坊阶段性监测在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 BC 的中 点，点 P 是 DCC1D1所在平面内的动点，且满足APDMPC，则PD
6、 PC_，三棱锥 PBCD 的体积最大值是_ 专练专练 34空间几何体的结构特征、表面积和体积空间几何体的结构特征、表面积和体积 1B设圆锥的母线长为 l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则l2 2，解 得 l2 2. 故选 B. 2C由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、正方形、长方形、 梯形、三角形而当截面是以面对角线为长、正方体棱长为宽的长方形时，可知该截面的面 积最大，故选 C. 3. A如图， 易知V三棱锥A1D1MNV三棱锥D1A1MN， 由正方体的结构特征， 知D1A1 平面 A1MN，所以 D1A1为三棱锥 D1A1MN 的高因为 M，N 分别为棱 BB1
7、，AB 的中点，所 以 SA1MN221 211 1 212 1 212 3 2，所以 V 三棱锥 A 1D1MNV 三棱锥 D1A1MN1 3SA 1MND1A11 3 3 221. 4C 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋 转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆 半径，ED 为高的圆锥，如图所示 由于 V圆柱AB2BC1222，V圆锥1 3CE 2DE1 31 2(21) 3， 所以该几何体的体积 VV圆柱V圆锥2 3 5 3 . 5A如图，由题知ABC 为等边三角形
8、，圆 O1的半径 r2，即 O1B2，BC2 3 OO1， 在 RtOO1B 中，OB2OO21O1B216，球 O 的半径 ROB4，则 S球O4R264. 故选 A. 6B设内接圆柱的底面半径为 r(0r0， h a 51 4 .故选 C. 14BD易知，点 P 在矩形 BCC1B1内部(含边界) 对于 A，当1 时，BP BCBB 1 BC CC1 ，即此时 P线段 CC1，AB1P 周长不 是定值，故 A 错误； 对于 B，当1 时，BP BC BB1 BB1 B1C1 ，故此时 P 点轨迹为线段 B1C1，而 B1C1BC，B1C1平面 A1BC，则有 P 到平面 A1BC 的距离为
9、定值，所以其体积为定值，故 B 正确； 对于 C，当1 2时，BP 1 2BC BB 1 ，取 BC，B1C1中点分别为 Q，H，则BP BQ QH ， 所以 P 点轨迹为线段 QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A1 3 2 ，0，1 ， P(0，0，)， B 0，1 2，0， 则A1P 3 2 ，0，1 ， BP 0，1 2， A1P BP (1)0， 所以0 或1.故 H，Q 均满足，故 C 错误； 对于 D，当1 2时，BP BC1 2BB 1 ，取 BB1，CC1中点为 M，N.BP BM MN ，所以 P 点轨迹为线段 MN.设 P 0，y0，1 2 ，因为 A 3 2 ，
10、0，0 ，所以AP 3 2 ，y0，1 2 ，A1B 3 2 ，1 2，1，所以3 4 1 2y 01 20y 01 2，此时 P 与 N 重合，故 D 正确 故选 BD. 159 解析：如图， 鳖臑四个面都是直角三角形，且 AB平面 BCD， 所以 CDBC， 故 VABCD1 3ABS BCD1 32 1 21BC 2 3， 所以 BC2， 由 BD2CD2BC25 知 AD2AB2BD29， 即 AD3， 在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等，可知 AD 中点 O 到 A，B，C，D 的距 离相等， 所以鳖臑外接球的球心为 O，半径为 R3 2， 球的表面积 S4R29. 16212 3 解析：由题意知 RtADPRtMCP，AD MC PD PC2， 则 PD2PC， 作 POCD，垂足为 O，设 DOx，POh， x2h22 6x2h2， 化简得 3h23x248x144(0 x6) 当 x6 时，3h2取最大值为 36， hmax2 3. 在正方体中 PO平面 BCD， 三棱锥 PBCD 的体积最大值为：1 3 1 2662 312 3.
