1、专题一平抛运动规律的应用 1平抛运动的性质 加速度为 g 的 01匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。 2平抛运动的基本规律 (1)水平方向：做 02匀速直线运动，vxv0，x03v0t。 (2)竖直方向：做 04自由落体运动，vy05gt，y06 1 2gt 2。 (3)合速度：v 07 v2xv2y，方向与水平方向的夹角满足 tanvy vx 08 gt v0。 (4)合位移：s 09 x2y2，方向与水平方向的夹角满足 tany x 10 gt 2v0。 3对平抛运动规律的理解 4两个重要推论来源:Z.xx.k.Com (1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水
2、平方向的夹角为，位移方向与水平方向的夹角为，则 17tan2tan。 (2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通 过此时水平位移的 18中点，如图中 A 点为 OB 的中点。 来源:学*科*网 Z*X*X*K 典型考点一平抛运动规律的综合应用 1 子弹从枪口水平射出， 在子弹的飞行途中， 有两块相互平行的竖直挡板 A、 B(如图所示)，A 板距枪口的水平距离为 s1，两板相距 s2，子弹穿过两板先后留下 弹孔 C 和 D，C、D 两点之间的高度差为 h，不计挡板和空气的阻力，求子弹的 初速度 v0。 答案 gs2 h s1s2 2 解析从开始到 C，设下降的高度为
3、 h1，所用时间为 t1， 根据 h11 2gt 2 1，得 t1 2h1 g ， 则 s1v0 2h1 g 从开始到 D，设所用时间为 t2， 根据 hh11 2gt 2 2， 解得 t2 2hh1 g 则有：s1s2v0 2hh1 g 联立两式解得 v0 gs2 h s1s2 2 。 2从高为 h 的平台上，分两次沿同一方向水平抛出一个小球。如右图第一次 小球落地在 a 点，第二次小球落地在 b 点，a、b 相距为 d。已知第一次抛球的初 速度为 v1，求第二次抛球的初速度 v2是多少？(重力加速度为 g，不计空气阻力) 答案v1d g 2h 解析平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，
4、根据 h1 2gt 2得 t 2h g 第一次抛出球的水平距离 x1v1t 解得：x1v1 2h g 所以第二次抛出球的水平距离为 x2x1dv1 2h g d 第二次抛球的初速度为 v2x2 t v1 2h g d 2h g v1d g 2h。 3如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为 53的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差 h 0.8 m，g10 m/s2，sin530.8，cos530.6，则： (1)小球水平抛出的初速度 v0是多少？ (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离 x 是多少？ 答案(1)3 m/s(2)1.2 m 解析(1)由
5、题意可知，小球恰好落到斜面顶端，并刚好沿斜面下滑，说明小 球在斜面顶端时速度方向与斜面平行， 所以在斜面顶端时小球的竖直分速度 vyv0tan53 又 v2y2gh 代入数据，得 vy4 m/s，v03 m/s。 (2)由 vygt 得， 小球落到斜面顶端的时间 t0.4 s 故 xv0t30.4 m1.2 m。 典型考点二平抛运动推论的应用 4如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴 Ox 以 v02 m/s 的速度抛出， 经过一段时间小球到达 P 点，M 为 P 点在 Ox 轴上的投影点，作小球轨迹在 P 点 的切线并反向延长，与 Ox 轴相交于 Q 点，已知 QM3 m，则小球运动的时间为
6、 () A1 sB2 sC3 sD4 s 答案C 解析由平抛运动的推论可知，Q 为 OM 的中点，则从 O 点运动到 P 点的过 程中，小球的水平位移 xOM2QM6 m，由于水平方向做匀速直线运动，则 小球运动的时间为 t x v03 s，故 C 正确。 5(多选)如图所示，足够长的斜面上有 a、b、c、d、e 五个点，abbccd de，从 a 点水平抛出一个小球，初速度为 v 时，小球落在斜面上的 b 点，落在 斜面上时的速度方向与斜面夹角为；不计空气阻力，初速度为 2v 时() A小球可能落在斜面上的 c 点与 d 点之间 B小球一定落在斜面上的 e 点 C小球落在斜面上时的速度方向与
7、斜面夹角大于 D小球落在斜面上时的速度方向与斜面夹角也为 答案BD 解析设初速度为 v 时，小球落在斜面上时的速度与水平方向的夹角为， 斜面的倾角为，则位移与水平方向的夹角为，有 tan2tan不变，小球落在斜 面上时，竖直方向上的速度与水平方向上的速度的比值vy v gt v tan，解得：t vtan g ，在竖直方向上的位移 y1 2gt 2v 2tan2 2g ，当初速度变为原来的 2 倍时， 不变，则不变，则竖直方向上的位移变为原来的 4 倍，所以小球一定落在斜面 上的 e 点，A 错误，B 正确；落在斜面上时位移与水平方向的夹角仍为，故速度 与水平方向的夹角仍为， 所以落在斜面时的
8、速度方向与斜面夹角也为， C 错误， D 正确。 典型考点三平抛运动中的相遇问题 6在同一水平直线上的两位置分别沿同一方向水平抛出小两小球 A 和 B， 其运动轨迹如图所示，A 球的初速度为 vA，B 球的速度为 vB，不计空气阻力。要 使两球在空中相遇，则必须() A先抛出 A 球B先抛出 B 球 CvAvBDvAxB，由 xv0t 可知，t 相等，则 vAvB，故 C 正确，D 错误。 典型考点四平抛运动中的临界问题 7如图所示，排球场的长为 18 m，其网的高度为 2 m(网未画出)。运动员站 在离网 3 m 远的线上。正对网前竖直跳起，把球垂直于网水平击出(g 取 10 m/s2)。
9、(1)设击球点的高度为 2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使 球既不触网也不出界？ (2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多大，球不 是触网就是出界，试求出此高度。 答案(1)9.5 m/sv017 m/s(2)2.13 m 解析(1)如图甲所示，排球恰不触网时其运动轨迹为，排球恰不出界时其 运动轨迹为，根据平抛物体的运动规律：xv0t 和 h1 2gt 2， 可得，当排球恰不触网时： x13 mv1t1， h12.5 m2 m0.5 m1 2gt 2 1， 由式解得：v19.5 m/s； 当排球恰不出界时有：来源:学+科+网 Z+X+X+K x23 m9
10、 m12 mv2t2， h22.5 m1 2gt 2 2， 由式解得：v217 m/s 所以排球既不触网也不出界的速度范围： 95 m/sv017 m/s。 (2)如图乙所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹。设此时击球点高度为 h，初速度为 v，根据平抛运动的规律有： x13 mvt1， h1h2 m1 2gt 12， x23 m9 m12 mvt2， h1 2gt 22。 联立上述式子解得：h2.13 m。 典型考点五类平抛运动来源:Zxxk.Com 8 如图所示， 光滑斜面长为 10 m， 倾角为 30， 一小球从斜面的顶端以 10 m/s 的初速度水平射入，求：(g 取 10 m/s2
11、) (1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移 x； (2)小球到达斜面底端时的速度大小。 答案(1)20 m(2)10 2 m/s 解析(1)小球在斜面上沿 v0方向做匀速直线运动，沿垂直于 v0且沿斜面向 下方向做初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 mgsin30ma， 又 L1 2at 2，解得 t 2L gsin30 所以 xv0tv0 2L gsin3020 m。 (2)设小球运动到斜面底端时的速度大小为 v，沿 v0方向的分速度为 vx，沿加 速度方向的分速度为 vy，则有 vxv010 m/s，v2y2aL2gsin30LgL， 故 v v2xv2y10
12、2 m/s。 1 套圈游戏是一项很受儿童欢迎的活动， 要求每次从同一位置水平抛出圆环， 套住与圆环前端水平距离为 3 m、高为 20 cm 的竖直细杆，即为获胜。一身高 1.4 m 的儿童从距地面 1 m 高处水平抛出圆环，圆环半径为 10 cm，要想套住细杆， 儿童水平抛出圆环的速度可能为(g 取 10 m/s2，空气阻力不计)() A7.4 m/sB9.6 m/s C7.8 m/sD8.2 m/s 答案C 解析圆环做平抛运动，初始时圆环距细杆上端的竖直距离为 H0.8 m，又 知圆环在竖直方向做自由落体运动，则有 H1 2gt 2，解得 t0.4 s，圆环后端与细 杆的水平距离为 3.2
13、m，在水平方向有 3.2 mv1t，解得 v18 m/s，圆环前端与细 杆的水平距离为 3 m，在水平方向有 3 mv2t，解得 v27.5 m/s，所以要想套住 细杆，圆环水平抛出的速度范围为 7.5 m/svha， 所以 b 与 c 的飞行时间相同， 大于 a 的飞行时间， 因此 A 错误，B 正确；做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，又因为 xaxb，而 tavc，即 b 的水平初速度比 c 的大，D 正确。 5如图所示，P 是水平面上的圆弧凹槽，从高台边缘 B 点以某速度 v0水平 飞出的小球，恰能从圆弧轨道的左端 A 点沿圆弧切线方向进入轨道。O 是圆弧的 圆心，1是 OA
14、与竖直方向的夹角，2是 BA 与竖直方向的夹角，则() A.tan2 tan12 Btan1tan22 C. 1 tan1tan22 D.tan1 tan22 答案B 解析由题意知：tan1vy v0 gt v0，tan 2x y v0t 1 2gt 2 2v0 gt 。由以上两式得： tan1tan22，故 B 正确。 6如图所示，甲、乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高 h，将甲、 乙两球分别以 v1、v2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有 可能使乙球击中甲球的是() A同时抛出，且 v1v2 C甲先抛出，且 v1v2D甲先抛出，且 v1v2 答案D 解析根据 h1
15、 2gt 2知，t 2h g ，则从抛出到乙球击中甲球，甲的运动时间 长，所以甲比乙先抛出，由于水平位移相等，根据 xv0t 知，v1v2。故 D 正确， A、B、C 错误。 7如图所示，在某次空投演习中，离地高度为 H 处的飞机发射一颗导弹， 导弹以水平速度 v1射出，欲轰炸地面上的目标 P，反应灵敏的地面拦截系统同时 以速度 v2竖直向上发射导弹进行拦截。 设飞机发射导弹时与拦截系统的水平距离 为 s，如果拦截成功，不计空气阻力，则 v1、v2的关系应满足() Av1v2Bv1 s Hv 2 Cv1 H s v2Dv1H s v2 答案B 解析设经过时间t拦截成功， 此时飞机发射的导弹在竖
16、直方向上下落了h(导 弹做平抛运动)，则拦截系统的导弹竖直上升了 Hh。由题意知，水平方向上有 sv1t，竖直方向上有 h1 2gt 2，Hhv2t1 2gt 2，联立以上三式得，v1、v2的关 系为 v1 s Hv 2，故 B 正确。 8(多选)如图所示，假设某滑雪者从山上 M 点以水平速度 v0飞出，经 t0时 间落在山坡上 N 点时速度方向刚好沿斜坡 NP 向下，接着从 N 点沿斜坡下滑，又 经 t0时间到达坡底 P 点。已知斜坡 NP 与水平面夹角为 60，不计摩擦阻力和空 气阻力，则() A滑雪者到达 N 点的速度大小为 2v0 BM、N 两点之间的距离为 2v0t0 C滑雪者沿斜坡
17、 NP 下滑的加速度大小为 3v0 2t0 DM、P 之间的高度差为 15 3 8 v0t0 答案AD 解析滑雪者到达 N 点时的竖直分速度为 vygt0v0tan60， 得 g 3v0 t0 ， 到 达 N 点时的速度大小为 v v0 cos602v 0，A 正确；M、N 两点之间的水平距离为 x v0t0，竖直高度差为 y1 2gt 2 0 3 2 v0t0，M、N 两点之间的距离为 s x2y2 7 2 v0t0，B 错误；由 mgsin60ma，解得滑雪者沿斜坡 NP 下滑的加速度大小为 a gsin603v0 2t0 ，C 错误；N、P 之间的距离为 svt01 2at 2 011
18、4 v0t0，N、P 两点 之间的高度差为 yssin6011 3 8 v0t0，M、P 之间的高度差为 hyy 15 3 8 v0t0，D 正确。 9(多选)如图所示，从半径 R1 m 的半圆 PQ 上的 P 点水平抛出一个可视 为质点的小球，经 t0.4 s 小球落到半圆上。已知当地的重力加速度 g10 m/s2， 据此判断小球的初速度可能为() A1 m/sB2 m/s C3 m/sD4 m/s 答案AD 解析由 h1 2gt 2可得 h0.8 m，如图所示，小球落点有两种可能，若小球 落在左侧，由几何关系得平抛运动水平距离为 0.4 m，初速度为 1 m/s；若小球落 在右侧，平抛运动
19、的水平距离为 1.6 m，初速度为 4 m/s。A、D 正确。 10. (多选)如图，一半球形的坑，其中坑边缘两点 M、N 刚好与圆心等高。现 在 M、N 两点同时将两个小球以 v1、v2的速度沿如图所示的方向水平抛出，发现 两球刚好落在坑中同一点 Q，已知MOQ60，忽略空气阻力。则下列说法正 确的是() A两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，v1v2就为定值 B两球抛出的速度大小之比为 13 C若仅从 M 点水平抛出小球，改变抛出的速率，小球可能垂直坑壁落入坑 中 D若仅增大 v1，则两球可在落在 Q 点前相遇 答案BD 解析要使两小球落在半球形坑中同一点，则水平位移大小之和为
20、 2R(R 为 球的直径)，则(v1v2)t2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t 也不同，所以 v1v2不是一个定值， 故A错误； 根据几何关系知， Q到O点的水平距离等于0.5R， 所以从 M 点抛出的小球水平位移大小 xMR1 2R 1 2R，从 N 点抛出的小球水平 位移大小 xNR1 2R 3 2R，则两球落在 Q 点的水平位移大小之比为 13，运动时 间相等，则初速度大小之比为 13，故 B 正确；根据平抛运动速度的反向延长线 过水平位移的中点，知小球不可能垂直坑壁落入坑中，故 C 错误；若只增大 v1， 而 v2不变，则两球可在落在 Q 点前相遇，故 D 正确。 11在光滑的水平
21、面内，一质量 m1 kg 的质点以速度 v010 m/s 沿 x 轴正 方向运动，经过原点后受一沿 y 轴正方向的恒力 F15 N 作用，直线 OA 与 x 轴 成37，如图所示曲线为质点的轨迹图。(g 取 10 m/s2，sin370.6，cos37 0.8)求： (1)如果质点的运动轨迹与直线 OA 相交于 P 点， 质点从 O 点到 P 点所经历的 时间以及 P 点的坐标； (2)质点经过 P 点的速度大小。 答案(1)1 s(10 m,7.5 m)(2)5 13 m/s 解析(1)把质点的运动分解为 x 方向和 y 方向的分运动，F 并不会改变质点 x 方向的速度。设经过时间 t，质点
22、到达 P 点，P 点坐标为(xP，yP) xPv0t， yP1 2 F mt 2， 又xP yPcot37 联立解得： t1 s，xP10 m，yP7.5 m， 则 P 点的坐标为(10 m,7.5 m)。 (2)设质点经过 P 点时的速度大小为 v，竖直分速度大小为 vy， vyF mt15 m/s， v v20v2y5 13 m/s。 12. 有 A、B、C 三个小球，A 距地较高，B 其次，C 最低。A、C 两球在同 一竖直线上，相距 10 m，如图所示，三个小球同时开始运动，A 球竖直下抛，B 球平抛， C 球竖直上抛， 三球初速度大小相同，5 s 后三球相遇，不考虑空气阻力， 问 (
23、1)三球的初速度大小是多少？ (2)开始运动时，B 球离 C 球的水平距离和竖直高度各是多少？ 答案(1)1 m/s(2)5 m5 m 解析(1)取向下为正方向，设在 D 点相遇，如图所示。 对 A 球：hAv0t1 2gt 2。 对 C 球：hCv0t1 2gt 2， 因为 hAhAChC，且 hAC10 m， 所以 v0t1 2gt 210 mv0t1 2gt 2,2v0t10 m， 故 v0 10 25 m/s1 m/s。 (2)开始运动时，B 球与 C 球的水平距离为 xBCv0t15 m5 m， B 球离 C 球的竖直高度为 hBhC1 2gt 2 v0t1 2gt 2 v0t15 m5 m。
