1、第第 5 节节椭圆椭圆 考试要求1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知 识 梳 理 1.椭圆的定义 在平面内与两定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 其数学表达式：集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0， 且 a，c 为常数： (1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ac，则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x
2、2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性 质 范围 axa byb bxb aya 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0)， B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1(b，0)，B2(b，0) 轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率ec a(0，1) a，b，c 的关系c2a2b2 常用结论与微点提醒 1.点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内x 2 0 a2 y20 b21. 2.若点 P 在椭圆上，F 为椭
3、圆的一个焦点，则 (1)b|OP|a； (2)ac|PF|ac. 3.焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形， r1|PF1|， r2|PF2|， F1PF2， PF1F2的面积为 S， 则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0) 中； (1)当 r1r2时，即点 P 的位置为短轴端点时，最大； (2)Sb2tan 2c|y 0|，当|y0|b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最 大值为 bc. 4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin 2b2 a . 5.AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21
4、(ab0)的弦，A(x 1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则 直线 AB 的斜率 kABb 2x0 a2y0. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.() (2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.() (3)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.() (4)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相同.( ) 解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等 于|F1F2|时，其轨迹为线段
5、 F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形. (2)因为 ec a a2b2 a 1 b a 2 ，所以 e 越大，则b a越小，椭圆就越扁. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材选修 21P49T1 改编)若 F1(3，0)，F2(3，0)，点 P 到 F1，F2的距离 之和为10，则P点的轨迹方程是 _. 解析因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭 圆，其中 a5，c3，b a2c24，故点 P 的轨迹方程为x 2 25 y2 161. 答案 x2 25 y2 161 3.(老教材选修 21P49A6 改编)已知点 P 是椭圆
6、x 2 5 y 2 4 1 上 y 轴右侧的一点， 且 以点 P 及焦点 F1，F2为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_. 解析设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541， 所以 c1，则 F1(1，0)，F2(1，0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y1，把 y1 代入x 2 5 y 2 4 1，得 x 15 2 ，又 x0，所以 x 15 2 ，P 点坐 标为( 15 2 ，1)或( 15 2 ，1). 答案( 15 2 ，1)或( 15 2 ，1) 4.(2019北京卷)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，则( ) A.a2
7、2b2B.3a24b2 C.a2bD.3a4b 解析因为椭圆的离心率 ec a 1 2，所以 a 24c2. 又 a2b2c2，所以 3a24b2.故选 B. 答案B 5.(2020潍坊调研)过点 A(3，2)且与椭圆x 2 9 y 2 4 1 有相同焦点的椭圆的方程为 () A.x 2 15 y2 101 B.x 2 25 y2 201 C.x 2 10 y2 151 D.x 2 20 y2 151 解析由题意知 c25，可设椭圆方程为 x2 5 y2 1(0)，则 9 5 4 1，解得 10 或2(舍去)， 所求椭圆的方程为x 2 15 y2 101. 答案A 6.(2019浙江卷)已知椭
8、圆x 2 9 y 2 5 1 的左焦点为 F， 点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方. 若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是 _. 解析 设 PF 的中点为 M，椭圆的右焦点为 F，连接 OM，MF，则 F(2，0)，F(2， 0)，|OM|2，|PF|2|OM|4. 根据椭圆的定义， 得|PF|PF|6， 所以|PF|2. 又因为|FF|4， 所以在 RtMFF中， tan MFF|MF| |MF| |FF|2|MF|2 |MF| 15， 即直线 PF 的斜率是 15. 答案15 第一课时第一课时椭圆及简单几何性质椭圆及简单几何性质 考点一椭圆
9、的定义及其应用 【例 1】 (1)如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点， P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于 点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是() A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆 (2)(2020河北九校联考)设 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为 椭圆 C 上的一点，且 PF1PF2，若PF1F2的面积为 9，周长为 18，则椭圆 C 的方程为_. 解析(1)连接 QA. 由已知得|QA|QP|. 所以|QO|QA|QO|QP|OP|r. 又因为点 A 在圆内，所以|OA|O
10、P|，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. (2)PF1PF2，PF1F2为直角三角形， 又知PF1F2的面积为 9，1 2|PF 1|PF2|9， 得|PF1|PF2|18.在 RtPF1F2中， 由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 由椭圆定义知|PF1|PF2|2a， (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2， 即 4a2364c2，a2c29，即 b29. 又知 b0，b3， 又知PF1F2的周长为 18，2a2c18，即 ac9， 又知 a2c29，ac1， 由得 a5，c4，所求的椭圆方程为x 2 25 y2 9
11、1. 答案(1)A(2)x 2 25 y2 9 1 规律方法1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦 点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. 2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、 余弦定理、 |PF1|PF2|2a， 得到 a，c 的关系. 【训练 1】 (2019山东四校联考)已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆x 2 3 y21 上， 顶点 A 是椭圆的一个焦点， 且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上， 则ABC 的周长 是() A.2 3B.6C.4 3D.2 解析由椭圆的方程得 a 3.设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得|BA| |BF|CA
12、|CF|2a， 所以ABC 的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF| |CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4 3. 答案C 考点二椭圆的标准方程 【例 2】 (1)已知 A(1，0)，B 是圆 F：x22xy2110(F 为圆心)上一动点， 线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为() A.x 2 12 y2 111 B.x 2 36 y2 351 C.x 2 3 y 2 2 1D.x 2 3 y 2 2 1 (2)(一题多解)已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3，0)，并且以坐标 轴为对称轴，则椭圆的标准方程为_. 解析(1)
13、由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2 3|AF|2，点 P 的轨迹是以 A，F 为焦点的椭圆，且 a 3，c1，b 2，动点 P 的轨 迹方程为x 2 3 y 2 2 1，故选 D. (2)法一若椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0). 由题意，得 2a32b， 9 a2 0 b21， 解得 a3， b1. 所以椭圆的标准方程为x 2 9 y21. 若焦点在 y 轴上，设椭圆的方程为y 2 a2 x2 b21(ab0). 由题意得 2a32b， 0 a2 9 b21， 解得 a9， b3. 所以椭圆的标准方程为y 2 81 x2 9 1.
14、综上所述，椭圆的标准方程为x 2 9 y21 或y 2 81 x2 9 1. 法二设椭圆的方程为x 2 m y2 n 1(m0，n0，mn)， 则由题意，知 9 m1， 2 m32 n 或 9 m1， 2 n32 m， 解得 m9， n1 或 m9， n81. 所以椭圆的标准方程为x 2 9 y21 或y 2 81 x2 9 1. 答案(1)D(2)x 2 9 y21 或y 2 81 x2 9 1 规律方法根据条件求椭圆方程的主要方法有： (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的 a，b.当不知焦点在哪一个坐 标轴上时，一般
15、可设所求椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)，不必考 虑焦点位置，用待定系数法求出 m，n 的值即可. (3)椭圆系方程 与x 2 a2 y2 b21 共焦点的椭圆系为 x2 a2k y2 b2k1(k0). 【训练 2】 (1)(多选题)已知椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，则这 个椭圆的标准方程为() A. x2 100 y2 841 B.x 2 25 y2 9 1 C.x 2 84 y2 1001 D.y 2 25 x2 9 1 (2)(2019岳阳调研)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，P(2， 3)是 椭圆上一点， 且|PF1|， |F1F
16、2|， |PF2|成等差数列， 则椭圆的方程为_. 解析(1)因为椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，所以 2a10， c4， 解 得 a5，b225169.所以当椭圆焦点在 x 轴上时，椭圆方程为x 2 25 y2 9 1；当 椭圆焦点在 y 轴上时，椭圆方程为x 2 9 y 2 251. (2)椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在 x 轴上， 可设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0). P(2， 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， 4 a2 3 b21， 2a4c， 又 知 a2b2c2，解得 a2 2， b 6， 所求椭圆方程为x
17、2 8 y 2 6 1. 答案(1)BD(2)x 2 8 y 2 6 1 考点三椭圆的几何性质多维探究 角度 1椭圆的长轴、短轴、焦距 【例 31】 (2019泉州质检)已知椭圆 x2 m2 y2 10m1 的长轴在 x 轴上，焦距 为 4，则 m 等于() A.8B.7C.6D.5 解析因为椭圆 x2 m2 y2 10m1 的长轴在 x 轴上，所以 m20， 10m0， m210m， 解得 6mb0)上一点，以 M 为圆心的圆 与 x 轴相切，切点为椭圆的焦点 F，圆 M 与 y 轴相交于不同的两点 P，Q，若 PMQ 为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为_. 解析(1)不妨设 a0.因为椭
18、圆 C 的一个焦点为(2，0)，所以焦点在 x 轴上，且 c 2，所以 a2448，所以 a2 2，所以椭圆 C 的离心率 ec a 2 2 . (2)圆 M 与 x 轴相切于焦点 F，不妨设 M(c，y)，又知点 M 在椭圆上，则有c 2 a2 y 2 b21，解得 y b2 a ，圆 M 的半径 rb 2 a ，若PMQ 为等边三角形，则 3 2 b 2 a c，即3b22ac，又知 b2a2c2， 3(a2c2)2ac，两边同时除以 a2，整 理得3e22e 30，又0e1，e 3 3 ，即椭圆 C 的离心率为 3 3 . 答案(1)C(2) 3 3 规律方法求椭圆离心率的方法 (1)直
19、接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2a2c2消去 b，转化为 含有 e 的方程(或不等式)求解. 【训练3】(1)(角度1)(2019武汉模拟)曲线x 2 25 y2 9 1与曲线 x2 25k y2 9k1(k9) 的() A.长轴长相等B.短轴长相等 C.离心率相等D.焦距相等 (2)(角度 2)(2020济南质检)设椭圆 E 的两焦点分别为 F1， F2， 以 F1为圆心， |F1F2| 为半径的圆与 E 交于 P， Q 两点.若PF1F2为直角三角形， 则 E 的离心率为() A. 21B. 51 2 C. 2
20、 2 D. 21 解析(1)曲线x 2 25 y2 9 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 其长轴长为 10， 短轴长为 6， 焦距为 8，离心率为4 5.曲线 x2 25k y2 9k1(kb0)，如图所示，PF 1F2为直角三角 形， PF1F1F2， 又|PF1|F1F2|2c， |PF2|2 2c， |PF1|PF2|2c2 2c 2a，椭圆 E 的离心率 ec a 21.故选 A. 答案(1)D(2)A 考点四与椭圆定义、性质有关的最值范围问题多维探究 角度 1与椭圆定义有关的最值问题 【例 41】 (2020深圳模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是椭圆y 2 4 x 2 3 1
21、 上的 一个动点，点 A(1，1)，B(0，1)，则|PA|PB|的最大值为() A.2B.3C.4D.5 解析易知 B 为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为 B，则 B(0，1)，如图，连接 PB，AB，根据椭圆的定义得|PB|PB| 2a4， 所以|PB|4|PB|， 因此， |PA|PB|PA|(4|PB|) 4|PA|PB|4|AB|415，当且仅当点 P 在 AB的 延长线上时，等号成立，所以|PA|PB|的最大值为 5，故选 D. 答案D 规律方法解决与椭圆定义有关的最值问题，注意应用|PF1|PF2|2a，同时对 称和转化思想是解决问题的关键. 角度 2与椭圆有界性有关的最值(范
22、围)问题 【例 42】 已知点 A(0，2)及椭圆x 2 4 y21 上任意一点 P，则|PA|的最大值是 _. 解析设 P(x0，y0)，则2x02，1y01，|PA|2x20(y02)2.x 2 0 4 y20 1，|PA|24(1y20)(y02)23y204y083 y02 3 2 28 3 .1y01， 而12 3b0)的两个焦点 为 F1(c，0)，F2(c，0)，M 是椭圆上一点，且满足F1M F2M 0.则椭圆离心率 e 的取值范围为() A. 0， 2 2B. 0， 2 2C. 2 2 ，1 D. 2 2 ，1 解析法一设点 M 的坐标为(x0，y0)，F1M F2M 0，F
23、1(c，0)，F2(c，0)， (x0c)(x0c)y200，即 x20y20c2. 又知点 M 在椭圆 G 上，x 2 0 a2 y20 b21， 由联立结合 a2b2c2解得 x20a 2（c2b2） c2 ， 由椭圆的性质可得 0 x20a2， 即 a2（c2b2） c2 0， a2（c2b2） c2 a2， 即 c2b2， c2b2c2，所以 c 2b2，又知 b2a2c2，c2a2 c2，即 2c2a2，解得 e21 2，又知 0e1， 2 2 e1，故选 D. 法二椭圆 G 上存在点 M 使F1M F2M 0，MF1MF2，即MF1F2是以 M 为直角顶点的直角三角形， |MF1|
24、MF2|2a，|F1F2|2c，(|MF1|MF2|)22(|MF1|2|MF2|2)2|F1F2|2 8c2， |MF1|MF2|2 2c， e |F1F2| |MF1|MF2| 2c 2 2c 2 2 ， 当且仅当|MF1|MF2| 2c 时，等号成立，又知 0e1， e 2 2 ，1 .故选 D. 答案D 规律方法解决椭圆离心率的最值或范围问题， 注意应用椭圆的性质建立不等关 系，同时注意椭圆的离心率 e(0，1). 【训练 4】 (1)(角度 1)设 F1，F2分别是椭圆x 2 25 y2 161 的左、右焦点，P 为椭圆 上任意一点，点 M 的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最
25、小值为_. (2)(角度 2)设 A，B 是椭圆 C：x 2 3 y 2 m1 长轴的两个端点.若 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 m 的取值范围是() A.(0，19，)B.(0， 39，) C.(0，14，)D.(0， 34，) (3)(角度 3)(2019豫南九校联考)已知两定点 A(1，0)和 B(1，0)，动点 P(x，y) 在直线 l：yx3 上移动，椭圆 C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心 率的最大值为() A. 5 5 B. 10 5 C.2 5 5 D.2 10 5 解析(1)由椭圆的方程可知 F2(3， 0)， 由椭圆的定义可得|PF1|2a|
26、PF2|， |PM| |PF1|PM|(2a|PF2|)|PM|PF2|2a|MF2|2a，当且仅当 M，P，F2 三点共线且 P 在线段 MF2上时取得等号， 又|MF2| （63）2（40）25，2a10， |PM|PF1|5105，即|PM|PF1|的最小值为5. (2)当焦点在 x 轴上，依题意得 0m3，且 3 mtan AMB 2 3. 0m3 且 m1，则 03，且 m 3 tanAMB 2 3，m9， 综上，m 的取值范围是(0，19，). (3)不妨设椭圆方程为x 2 a2 y2 a211(a1)， 与直线 l 的方程联立 x2 a2 y2 a211， yx3， 消去 y 得
27、(2a21)x26a2x10a2a40， 由题意易知36a44(2a21)(10a2a4)0， 解得 a 5， 所以 ec a 1 a 5 5 ， 所以 e 的最大值为 5 5 . 答案(1)5(2)A(3)A A 级基础巩固 一、选择题 1.(2019张家口调研)椭圆x 2 16 y2 251 的焦点坐标为( ) A.(3，0)B.(0，3)C.(9，0)D.(0，9) 解析根据椭圆方程可得焦点在 y 轴上，且 c2a2b225169，c3，故 焦点坐标为(0，3). 答案B 2.(2020德州一中月考)若方程 x2 5m y2 m31 表示椭圆，则 m 的取值范围是 () A.(3，5)B
28、.(5，3) C.(3，1)(1，5)D.(5，1)(1，3) 解析由方程表示椭圆知 5m0， m30， 5mm3， 解得3m8|C1C2|， 所以 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆， 且 2a16，2c8，所以 a8，c4，b a2c24 3， 故所求的轨迹方程为x 2 64 y2 481. 答案D 4.(2019湖北重点中学联考)已知椭圆x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且垂直于长轴的直线交椭圆于 A，B 两点，则ABF1内切圆的半径为() A.4 3 B.1C.4 5 D.3 4 解析不妨设 A 点在 B 点上方，由题意知：F2(1，0)，将 F2
29、的横坐标代入椭圆 方程x 2 4 y 2 3 1 中，可得 A 点纵坐标为3 2，故|AB|3，所以由 S 1 2Cr 得内切圆半 径 r2S C 6 8 3 4(其中 S 为ABF 1的面积，C 为ABF1的周长). 答案D 5.(2019全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1，0)，F2(1，0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点.若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为() A.x 2 2 y21B.x 2 3 y 2 2 1 C.x 2 4 y 2 3 1D.x 2 5 y 2 4 1 解析设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0).连接 F
30、1A，令|F2B| m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得 m a 2，故|F 2A|a|F1A|，则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点.如 图.不妨设 A(0，b)，由 F2(1，0)，AF2 2F2B ，得 B 3 2， b 2 . 由点 B 在椭圆上，得 9 4 a2 b2 4 b2 1， 得 a23，b2a2c22，椭圆 C 的方程为x 2 3 y 2 2 1. 答案B 二、填空题 6.若椭圆 x2 k8 y2 9 1 的离心率 e1 2，则 k 的值为_. 解析(1)若焦点在 x 轴上，即 k890 时，a2k8，b29，e2c 2 a2 a2b2 a2
31、 k1 k8 1 4，解得 k4. (2)若焦点在 y 轴上，即 0k8|MF2|，|F1F2|2c 2 36208， 因为MF1F2是等腰三角形， |MF1|MF2|，且|MF1|MF2|2a12， 所以|MF1|6，|MF2|0)的离心率 e 3 2 ，求 m 的值及椭圆的长轴和短 轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 解椭圆方程可化为x 2 m y2 m m3 1，m0. m m m3 m（m2） m3 0，m m m3， a2m，b2 m m3，c a 2b2 m（m2） m3 . 由 e 3 2 ，得 m2 m3 3 2 ，m1. 椭圆的标准方程为 x2y 2 1 4 1，a1，b1 2，c
32、 3 2 . 椭圆的长轴长和短轴长分别为 2a2 和 2b1，焦点坐标为 F1 3 2 ，0 ， F2 3 2 ，0 ，四个顶点的坐标分别为 A1(1，0)，A2(1，0)，B1 0，1 2 ，B2 0，1 2 . 10.(2020福建四地七校调研)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)，若椭圆上一点 P 与 其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形. (1)求椭圆 E 的离心率； (2)如图，若直线 l 与椭圆相交于 A，B，且 AB 是圆(x 1)2(y1)25 的一条直径，求椭圆 E 的标准方程. 解(1)由题意不妨设椭圆上的点 P 的坐标为 a 2， a 2 ，代 入椭圆方程
33、可得1 4 a2 4b21，即 a 23b2，a23b23(a2c2)，2a23c2，e 6 3 . (2)由(1)得椭圆 E 的方程为 x2 3b2 y2 b21，易知直线 l 的斜率存在，设其方程为 y k(x1)1，A(x1，y1)，B(x2，y2). yk（x1）1， x23y23b2 (3k21)x26k(k1)x3(k1)23b20. x1x26k（k1） 3k21 ，x1x23（k1） 23b2 3k21 . 又 x1x22，k1 3，x 1x2169b 2 4 ， 则|AB| 1k2（x1x2）24x1x2 10 3 44169b 2 4 2 5， b210 3 ，则 a210
34、， 椭圆 E 的标准方程为x 2 10 y2 10 3 1. B 级能力提升 11.(2019德阳诊断)设 P 为椭圆 C： x2 49 y2 241 上一点，F 1，F2分别是椭圆 C 的 左、右焦点，且PF1F2的重心为点 G，若|PF1|PF2|34，那么GPF1的面 积为() A.24B.12C.8D.6 解析P 为椭圆 C： x2 49 y2 241 上一点，|PF 1|PF2|34，|PF1|PF2|2a 14， |PF1|6，|PF2|8， 又|F1F2|2c2 492410， 易知PF1F2是直角三角形，SPF1F21 2|PF 1|PF2|24， PF1F2的重心为点 G，S
35、PF1F23SGPF1， GPF1的面积为 8. 答案C 12.(2020济宁模拟)椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在椭圆 C 上，且直线 PA2斜率的取值范围是2，1，则直线 PA1斜率的取值范围是 () A. 3 8， 3 4B. 1 2， 3 4 C. 1 2，1D. 3 4，1 解析设 P(x，y)，由x 2 4 y 2 3 1 知 A1(2，0)，A2(2，0)，kPA1 y x2，kPA 2 y x2.k PA1kPA2 y2 x24 33 4x 2 x24 3 11 4x 2 4 x2 4 1 3 4.kPA 1 3 4kPA2.k
36、PA22，1，kPA1 3 8， 3 4 . 答案A 13.(2020石家庄模拟)已知椭圆 x2 tan y2 tan211，其中 0， 2 ，则椭圆形状 最圆时的焦距为_. 解析因为 0， 2 ，所以 tan 0，且 tan b0)，|PF 1|m，|PF2|n，则 mn2a. 在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60(mn)23mn4a2 3mn4a23 mn 2 2 4a23a2a2(当且仅当 mn 时取等号)，c 2 a2 1 4，即 e1 2.又 0e1，e 的取值范围是 1 2，1. (2)证明由(1)知 mn4 3b 2， S PF1F21 2mnsin
37、60 3 3 b2， 即PF1F2的面积只与 短轴长有关. C 级创新猜想 15.(多选题) (2020山东新高考模拟)如图，记椭圆 x2 25 y2 9 1， y2 25 x2 9 1 内部重叠区域的边界为曲线 C，P 是曲线 C 上的任 意一点，则下列四个命题中正确的是() A.P 到 F1(4，0)，F2(4，0)，E1(0，4)，E2(0，4)四点的距 离之和必为定值 B.曲线 C 关于直线 yx，yx 均对称 C.曲线 C 所围区域的面积必小于 36 D.曲线 C 的总长度必大于 6 解析对于 A，若点 P 在椭圆x 2 25 y2 9 1 上，P 到 F1(4，0)，F2(4，0)
38、两点的距 离之和为定值，到 E1(0，4)，E2(0，4)两点的距离之和不为定值，故 A 错； 对于 B，联立两个椭圆的方程 x2 25 y2 9 1， y2 25 x2 9 1，得 y 2x2，结合椭圆的对称性知，曲 线 C 关于直线 yx，yx 均对称，故 B 正确； 对于 C，曲线 C 所围区域在边长为 6 的正方形内部，所以其面积必小于 36，故 C 正确； 对于 D，曲线 C 所围区域的内切圆为半径为 3 的圆，所以曲线 C 的总长度必大 于圆的周长 6，故 D 正确. 答案BCD 16.(多填题)已知点 A(2，0)，B(0，1)在椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)上，则椭圆 C 的方程为_；若直线 y1 2x 交椭圆 C 于 M，N 两点，则|MN|_. 解析由题意可知，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，由点 A(2，0)，B(0，1)在椭 圆上，焦点在 x 轴上，则 a2，b1，所以椭圆的标准方程为x 2 4 y21.设 M(x1， y1)，N(x2，y2)，则 x2 4 y21， y1 2x， 消去 y，整理得 2x24，则 x1 2，x2 2，y1 2 2 ，y2 2 2 ，则|MN|（ 2 2）2 2 2 2 2 2 10. 答案 x2 4 y2110
