1、第第 8 节节曲线与方程曲线与方程 考试要求1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系； 2.了解解析几何的基本思 想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲 线的轨迹方程. 知 识 梳 理 1.曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实 数解建立如下的对应关系： 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的基本步骤 常用结论与微点提醒 1.“曲线 C 是方程 f(x，y)0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y) 0 的解”的充分不必要条件. 2.曲线的交
2、点与方程组的关系： (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组 的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件.() (2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线.() (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.() (4)方程 y x与 xy2表示同一曲线.() 解析对于(2)，由方程得 x(xy1)0，即 x0 或 xy10，所以方程表示 两条直线，错误；对于(3)，
3、前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线 y x是曲线 xy2的一部分，错误. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材选修 21P37A2 改编)已知 M(1，0)，N(1，0)，|PM|PN|2，则动 点 P 的轨迹是() A.双曲线B.双曲线左支 C.一条射线D.双曲线右支 解析由于|PM|PN|MN|，所以 A，B，D 不正确，应为以 N 为端点，沿 x 轴 正向的一条射线. 答案C 3.(老教材选修 21P37A1 改编)已知 A(2，0)，B(1，0)两点，动点 P 不在 x 轴 上，且满足APOBPO，其中 O 为原点，则点 P 的轨迹方程是_. 解析由角的平分线性质
4、定理得|PA|2|PB|，设 P(x，y)，则 （x2）2y2 2 （x1）2y2，整理得(x2)2y24(y0). 答案(x2)2y24(y0) 4.(2019广州调研)方程(2x3y1)( x31)0 表示的曲线是() A.两条直线B.两条射线 C.两条线段D.一条直线和一条射线 解析原方程可化为 2x3y10， x30 或 x310， 即 2x3y10(x3)或 x 4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线. 答案D 5. (2020重庆一中月考)已知点 F 1 4，0，直线 l：x1 4，点 B 是 l 上的动点，若 过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M
5、，则点 M 的轨迹是 () A.双曲线B.椭圆 C.圆D.抛物线 解析由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点， 直线 l 为准线的抛物线. 答案D 6. (2020福州调研)已知点 P 在曲线 2x2y0 上移动， 则点 A(0， 1)与点 P 连线 的中点的轨迹方程是_. 解析设 AP 的中点坐标为(x，y)，则 P(2x，2y1)，由点 P 在曲线上，得 2(2x)2 (2y1)0，即 y4x21 2. 答案y4x21 2 考点一直接法求轨迹方程 【例 1】 (1)已知 A(1，0)，B(1，0)两点，过动点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N， 若 MN
6、 2ANNB，则当0 时，动点 M 的轨迹为( ) A.圆B.椭圆 C.双曲线D.抛物线 (2)(2020西安调研)在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(1，1)关于原点 O 对 称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于1 3.则动点 P 的轨迹方程为 _. 解析(1)设 M(x，y)，则 N(x，0)，所以 MN 2y2，AN NB (x1，0)(1x， 0)(1x2)，所以 y2(1x2)，即x2y2，变形为 x2y 2 1，所以当0)，则半径长为|x|，因为圆 x2y26x0 的圆心为(3，0)，所以 （x3）2y2|x|3，则 y212x(x0)， 若动圆在 y
7、 轴左侧，则 y0，即圆心的轨迹方程为 y212x(x0)或 y0(x0)或 y0(x0) 考点二定义法求轨迹方程典例迁移 【例 2】 (经典母题)已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与 圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程. 解由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1，0)，半 径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24|MN|2. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N
8、为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长 为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为 x2 4 y 2 3 1(x2). 【迁移 1】 将本例的条件“动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切”改为“动圆 P 与圆 M、圆 N 都外切”，则圆心 P 的轨迹方程为_. 解析由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1，0)， 半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R，因为圆 P 与圆 M，N 都外切，所 以|PM|PN|(Rr1)(Rr2)r1r22，即|PN|PM|2，又|MN|2，所 以点 P 的轨迹方程为 y0(x2). 答案y0(x2) 【迁移
9、 2】 在本例中，若动圆 P 过圆 N 的圆心，并且与直线 x1 相切，则圆 心 P 的轨迹方程为_. 解析由于点 P 到定点 N(1，0)和定直线 x1 的距离相等，所以根据抛物线的 定义可知，点 P 的轨迹是以 N(1，0)为焦点，以 x 轴为对称轴、开口向右的抛物 线，故其方程为 y24x. 答案y24x 规律方法定义法求曲线方程的两种策略 (1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线 定义出发建立关系式，从而求出方程. (2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出 来，使问题得解. 【训练 2】 (2020豫北名校联盟联考)已知
10、ABC 中，AB2，且 sin A(12cos B) sin B(12cos A)0，以边 AB 的中垂线为 x 轴，以 AB 所在的直线为 y 轴，建 立平面直角坐标系，则动点 C 的轨迹方程为_. 解析在ABC 中，由 sin A(12cos B)sin B(12cos A)0 得 sin Asin B 2sin(AB)2sin C，由正弦定理得|BC| 2R |AC| 2R 2|AB| 2R (R 为ABC 外接圆半径)， 可得|CB|CA|2|AB|AB|.点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆(除 y 轴上的 点)，其中 2a4，2c2，即 a2，c1，b2a2c23，故点 C 的
11、轨迹方程 为y 2 4 x 2 3 1(x0). 答案 y2 4 x 2 3 1(x0) 考点三相关点(代入)法求轨迹方程 【例 3】 (1)(2020银川模拟)动点 A 在圆 x2y21 上移动时，它与定点 B(3，0) 连线的中点的轨迹方程是_. (2)设 F(1，0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN 2MP ，PM PF ，当点 P 在 y 轴上运动时，点 N 的轨迹方程为_. 解析(1)设中点 M(x，y)，由中点坐标公式，可得 A(2x3，2y)，因为点 A 在圆 上，将点 A 的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x3)24y21. (2)设 M(x0，0)，P(0
12、，y0)，N(x，y)，PM PF ，PM (x0，y0)，PF (1，y0)， 所以(x0，y0)(1，y0)0，所以 x0y200.由MN 2 MP 得(xx0，y)2(x0， y0)，所以 xx02x0， y2y0， 即 x0 x， y01 2y， 所以xy 2 4 0，即 y24x.故所求点 N 的 轨迹方程是 y24x. 答案(1)(2x3)24y21(2)y24x 规律方法“相关点法”的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0). (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 x0f（x，y）， y0g（x，y）. (3)代换：将上述关系式代入主动点
13、满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹 方程. 【训练 3】 (2020长沙月考)如图所示，动圆 C1：x2y2t2，1t3 与椭圆 C2：x 2 9 y21 相交于 A，B，C，D 四点.点 A1，A2分别为 C2的左、右顶点，求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程. 解由椭圆 C2：x 2 9 y21，知 A1(3，0)，A2(3，0)， 设点 A 的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性， 得 B(x0，y0)，设点 M 的坐标为(x，y)， 直线 AA1的方程为 y y0 x03(x3). 直线 A2B 的方程为 y y0 x03(x3). 由相乘得 y2 y20 x20
14、9(x 29). 又点 A(x0，y0)在椭圆 C2上，故 y201x 2 0 9 . 将代入得x 2 9 y21(x3，y0). 因此点 M 的轨迹方程为x 2 9 y21(x3，y0). A 级基础巩固 一、选择题 1.方程(xy)2(xy1)20 表示的曲线是() A.一条直线和一条双曲线B.两条双曲线 C.两个点D.以上答案都不对 解析(xy)2(xy1)20 xy0， xy10. 故 x1， y1 或 x1， y1. 答案C 2.已知两定点 A(2，0)，B(1，0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，则动点 P 的轨 迹是() A.直线B.圆 C.椭圆D.双曲线 解析设 P(x
15、，y)，则 （x2）2y22 （x1）2y2，整理得 x2y24x0， 所以动点 P 的轨迹是圆.故选 B. 答案B 3.(2019怀化调研)已知 F1，F2分别为椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点，点 P 是椭 圆 C 上的动点，则PF1F2的重心 G 的轨迹方程为() A.x 2 36 y2 271(y0) B.4x 2 9 y21(y0) C.9x 2 4 3y21(y0)D.x24 3y 21(y0) 解析依题意知 F1(1，0)，F2(1，0)，设 P(x0，y0)(y00)，G(x，y)，则由三角 形重心坐标公式可得 xx011 3 ， yy0 3 ， 即 x03x
16、， y03y，代入椭圆 C： x2 4 y 2 3 1， 得重心 G 的轨迹方程为9x 2 4 3y21(y0). 答案C 4.已知|AB |3，A，B 分别在 y 轴和 x 轴上运动，O 为原点，且OP 1 3OA 2 3OB ， 则动点 P 的轨迹方程是() A.x 2 4 y21B.x2y 2 4 1 C.x 2 9 y21D.x2y 2 9 1 解析设 A(0，a)，B(b，0)，则由|AB |3 得 a2b29，设 P(x，y)，由OP 1 3OA 2 3OB ，得(x，y)1 3(0，a) 2 3(b，0)，由此得 b 3 2x，a3y，代入 a 2b29，得 9y29 4x 29
17、，即x2 4 y21. 答案A 5.(2020广东七校联考)设圆(x2)2y236 的圆心为 C，A(2，0)是圆内一定点， Q 是圆周上任一点，AQ 的垂直平分线与 CQ 的交点为 R，则点 R 的轨迹方程为 () A.y 2 9 x 2 5 1B.y 2 9 x 2 5 1 C.x 2 9 y 2 5 1D.x 2 9 y 2 5 1 解析连接 AR，由题意可知|RQ|RA|，所以|RC|RA|RC|RQ|CQ|64 |AC|，所以点 R 的轨迹是以 A(2，0)，C(2，0)为焦点的椭圆，其中 2a6，2c 4，所以 b2a2c232225，所以点 R 的轨迹方程为x 2 9 y 2 5
18、 1.故选 C. 答案C 二、填空题 6.已知两点 M(2， 0)， N(2， 0)， 点 P 为坐标平面内的动点， 满足|MN |MP |MN NP 0，则动点 P(x，y)的轨迹方程为_. 解析设点 P 的坐标为(x，y)，则MN (4，0)，MP (x2，y)，NP (x2，y)， |MN |4，|MP |（x2）2y2，MN NP 4(x2).根据已知条件得 4 （x2）2y24(2x).整理得 y28x.点 P 的轨迹方程为 y28x. 答案y28x 7.ABC 的顶点 A(5，0)，B(5，0)，ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶 点 C 的轨迹方程是_. 解析如图，|AD
19、|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|， 所以|CA|CB|826，|AB|10.即|CA|CB|3). 答案 x2 9 y 2 161(x3) 8.直线x a y 2a1 与 x，y 轴交点的中点的轨迹方程是_. 解析直线x a y 2a1 与 x，y 轴的交点为 A(a，0)，B(0，2a)，设 AB 的中点 为 M(x，y)，则 xa 2，y1 a 2，消去 a，得 xy1.因为 a0 且 a2，所以 x0 且 x1. 答案xy1(x0 且 x1) 三、解答题 9.已知坐标平面上动点 M(x，y)与两个定点 P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|5|MQ|. (1)求点 M 的轨
20、迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中轨迹为 C，过点 N(2，3)的直线 l 被 C 所截得的线段长度为 8，求直 线 l 的方程. 解(1)由题意，得|MP| |MQ|5，即 （x26）2（y1）2 （x2）2（y1）2 5， 化简，得 x2y22x2y230， 所以点 M 的轨迹方程是(x1)2(y1)225. 轨迹是以(1，1)为圆心，以 5 为半径的圆. (2)当直线 l 的斜率不存在时，l：x2， 此时所截得的线段长度为 2 52328， 所以 l：x2 符合题意. 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y3k(x2)， 即 kxy2k30，圆心(1，1)到直线 l
21、 的距离 d|3k2| k21， 由题意，得 |3k2| k21 2 4252，解得 k 5 12. 所以直线 l 的方程为 5 12xy 23 6 0，即 5x12y460. 综上，直线 l 的方程为 x2 或 5x12y460. 10.在平面直角坐标系中，已知 A1( 2，0)，A2( 2，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x， 2)，若实数使得2OM ON A1P A2P (O 为坐标原点). 求 P 点的轨迹方程，并讨论 P 点的轨迹类型. 解OM (x，1)，ON (x，2)， A1P (x 2，y)，A2P (x 2，y). 因为2OM ON A1P A2P ， 所以(x22)
22、2x22y2， 整理得(12)x2y22(12)为点 P 的轨迹方程. (1)当1 时，方程为 y0，轨迹为一条直线； (2)当0 时，方程为 x2y22，轨迹为圆； (3)当(1，0)(0，1)时，方程为x 2 2 y2 2（12）1，轨迹为中心在原点，焦 点在 x 轴上的椭圆； (4)当(，1)(1，)时，方程为x 2 2 y2 2（21）1，轨迹为中心在原 点，焦点在 x 轴上的双曲线. B 级能力提升 11.如图，斜线段 AB 与平面所成的角为 60，B 为斜足，平面上的动点 P 满足 PAB30，则点 P 的轨迹是() A.直线B.抛物线 C.椭圆D.双曲线的一支 解析可构造如图所示
23、的圆锥.母线与中轴线夹角为 30， 然后用平面去截， 使直 线 AB 与平面的夹角为 60，则截口为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知， P 的轨迹为椭圆，故选 C. 答案C 12.(2019北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2y21 |x|y 就是其中之一(如图).给出下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是() A.B.C.D. 解析曲线的方程 x2y21|x|y 可看成关于 y 的一元二次方程 y2|x
24、|yx21 0，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，|x|24(x21)0，x24 3， 满足条件的整数 x 可取1，0，1.当 x1 时，y0 或 1，曲线 C 经过的整点 有(1，0)，(1，1)；当 x0 时，y1 或 1，曲线 C 经过的整点有(0， 1)，(0，1)；当 x1 时，y0 或 1，曲线 C 经过的整点有(1，0)，(1，1).故曲 线 C 恰好经过 6 个整点，正确；x2y21|x|y1x 2y2 2 ，x2y22， x2y2 2 ，当且仅当|x|y，即 x1， y1 或 x1， y1 时取等号，则曲线上的 点到原点的最大距离为 2，故正确；顺次连接(1，0)，(1，
25、1)，(0，1)，(1， 1)，(1，0)，(0，1)，(1，0)，所围成的区域如图中阴影部分所示，其面积为 3，显然曲线 C 所围成的“心形”区域的面积要大于 3，故不正确.故选 C. 答案C 13.已知过点 A(3，0)的直线与 x3 相交于点 C，过点 B(3，0)的直线与 x3 相交于点 D，若直线 CD 与圆 x2y29 相切，则直线 AC 与 BD 的交点 M 的轨迹 方程为_. 解析设点 M(x，y)，C(3，m)，D(3，n)，则直线 CD 的方程为(mn)x6y 3(mn)0，因为直线 CD 与圆 x2y29 相切，所以 3|mn| （mn）2363，所以 mn9，又直线 A
26、C 与 BD 的交点为 M， 所以 y x3 ym x3 ， y x3 yn x3， 解得 m 6y x3， n6y x3， 所以 36y2 x299， 所以点 M 的轨迹方程为x 2 9 y 2 9 4 1(y0). 答案 x2 9 y 2 9 4 1(y0) 14.如图，抛物线 E：y22px(p0)与圆 O：x2y28 相交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0， y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C， D 两点， 分别以 C，D 为切点作抛物线 E 的切线 l1，l2，l1与 l2相交于点 M. (1)求 p 的值； (2)求动点 M 的轨迹方
27、程. 解(1)由点 A 的横坐标为 2 及点 A 在第一象限，可得点 A 的坐标为(2，2)，代入 y22px，解得 p1. (2)设 C y21 2 ，y1 ，D y22 2 ，y2 ，y10，y20，切线 l1的斜率为 k，则切线 l1：yy1 k xy 2 1 2 ，代入 y22x， 得 ky22y2y1ky210， 由0 解得 k 1 y1， 所以 l1的方程为 y1 y1x y1 2 ， 同理 l2的方程为 y1 y2x y2 2 . 联立，得 y 1 y1x y1 2 ， y 1 y2x y2 2 ，解得 xy1y2 2 ， yy1y2 2 . 易知 CD 的方程为 x0 xy0y
28、8， 其中 x0，y0满足 x20y208，x02，2 2， 联立，得 y22x， x0 xy0y8，即 x 0y22y0y160， 则 y1y22y0 x0 ， y1y216 x0 ， 代入 xy1y2 2 ， yy1y2 2 ， 可得 M(x，y)满足 x8 x0， yy0 x0， 可得 x08 x， y08y x ， 代入 x20y208，并化简，得x 2 8 y21， 考虑到 x02，2 2，知 x4，2 2， 所以动点 M 的轨迹方程为x 2 8 y21，x4，2 2. C 级创新猜想 15.(多选题)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(2，0)和 F2(2，0)的距离的积等于常 数
29、 a2(a24)的点的轨迹，则下列结论正确的有() A.曲线 C 过坐标原点 B.曲线 C 关于 x 轴对称 C.曲线 C 关于坐标原点对称 D.若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2的面积不大于 1 2a 2 解析设动点坐标为(x，y)，由已知得 （x2）2y2 （x2）2y2a2，即(x 2)2y2(x2)2y2a4(a24)，代入原点验证，方程不成立，故 A 错；把方 程中的 y 被y 代换，方程不变，故 B 正确；把方程中的 x 被x 代换，y 被y 代换，方程也不变，故 C 正确；因为 SF1PF21 2|PF 1|PF2|sinF1PF21 2|PF 1|PF2| 1 2a 2，即F1PF2的面积不大于1 2a 2，故 D 正确. 答案BCD
