1、强化训练强化训练 9直线与圆中的综合问题直线与圆中的综合问题 1(2020潜山模拟)过点 A( 3， 2)与点 B( 2， 3)的直线的倾斜角为() A45B135 C45或 135D60 答案A 解析kAB 3 2 2 3 3 2 3 21，故直线的倾斜角为 45. 2若直线 l 过点(1,3)，且在两条坐标轴上的截距相等，则直线 l 的斜率 k 等于() Ak1 或 k3Bk1 或 k3 Ck1Dk1 或 k3 答案A 解析当直线 l 经过原点时，可得斜率 k3. 当直线 l 不经过原点时， 直线 l 过点(1,3)，且在两条坐标轴上的截距相等， 直线 l 经过点(a,0)，(0，a)(a
2、0) k1. 综上可得，直线 l 的斜率 k1 或 3. 3半径为 1 的圆 C 的圆心在第四象限，且与直线 y0 和3xy60 均相切，则该圆的 标准方程为() A(x1)2(y 3)21 B(x 3)2(y1)21 C(x1)2(y 3)21 D(x 3)2(y1)21 答案D 解析由题意，可设圆心坐标为(a，1)，r1. 则 d | 3a16| 32121， 即| 3a5|2， 解得 a 3或7 3 3 . 结合选项可得，所求圆的方程为(x 3)2(y1)21. 4(2020重庆期中)已知圆 O：x2y29 上到直线 l：xya 的距离等于 1 的点有 3 个，则 a 等于() A2 2
3、B2C 2D1 答案A 解析由题意，圆 O：x2y29 的圆心为(0,0)，半径为 3，因为圆 O 上到直线 l：xya 的 距离等于 1 的点有 3 个，所以点(0,0)到直线 l 的距离 d |a| 112，所以 a2 2. 5直线 xy40 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x1)2(y1)22 上，则 ABP 面积的取值范围是() A 2，3 2B2 2，4 2 C4,8D8,16 答案D 解析由题意，得圆(x1)2(y1)22 的圆心为点(1,1)，半径为 2， 圆心到直线 xy40 的距离为|114| 2 3 2， 点 P 到直线距离的取值范围为3 2 2，3
4、 2 2即2 2，4 2， A，B 两点是直线 xy40 分别与 x 轴，y 轴的交点， A(4,0)，B(0，4)，|AB|4 2， (SABP)min1 24 22 28， (SABP)max1 24 24 216. 6(多选)(2020上海进才中学模拟)两内切圆的半径长是方程 x2pxq0 的两根，已知两圆 的圆心距为 1，其中一圆的半径为 3，则 pq 等于() A1B2C4D5 答案AD 解析设方程的两根为 x1，x2， 由 x2pxq0，得 x1x2p， x1x2q. 有一圆半径为 3，不妨设 x23， 因为两圆内切，所以|x13|1，所以 x14 或 x12. 当 x14 时，p
5、7，q12，pq5； 当 x12 时，p5，q6，pq1. 7以 A(1,3)，B(5,2)为端点的线段的垂直平分线的方程是_ 答案12x2y190 解析因为 A(1,3)，B(5,2)，所以线段 AB 的中点坐标为 2，5 2 ，直线 AB 的斜率为 23 51 1 6， 所以线段 AB 的垂直平分线的斜率为6， 所以以 A(1,3)，B(5,2)为端点的线段的垂直平分线的方程是 y5 26(x2)，即 12x2y 190. 8(2020北京汇文中学模拟)已知直线 xay10 与直线 yax 平行，则实数 a_. 答案1 或1 解析当 a0 时，不符合题意； 当 a0 时，由直线 xay10
6、 与直线 yax 平行可得直线斜率相等，即1 aaa1. 9若过点 P(2,2)可以向圆 x2y22kx2yk2k0 作两条切线，则实数 k 的取值范围是 _ 答案(1,1)(4，) 解析由题意，得圆的一般方程 x2y22kx2yk2k0， 可化为(xk)2(y1)2k1， 方程 x2y22kx2yk2k0 表示圆， k10，解得 k1， 又过点 P(2,2)可以向圆 x2y22kx2yk2k0 作两条切线， 点 P(2,2)在圆外，可得(2k)2(21)2k1， 解得 k4， 综上所述，可得 k 的取值范围是(1,1)(4，) 10已知圆 O：x2y21，圆 N：(xa2)2(ya)21.若
7、圆 N 上存在点 Q，过点 Q 作圆 O 的两条切线切点为 A，B，使得AQB60，则实数 a 的取值范围是_ 答案 1 14 2 ，1 14 2 解析已知有|QO|2，即点 Q 的轨迹方程为圆 T：x2y24， 问题转化为圆 N 和圆 T 有公共点， 则 1 a2a223，故 1 14 2 a1 14 2 . 11(1)已知圆经过 A(2，3)和 B(2，5)两点，若圆心在直线 x2y30 上，求圆 M 的 标准方程； (2)求过点 A(1,0)，B(3,0)和 C(0,1)的圆 N 的一般方程 解(1)由点 A(2，3)和点 B(2，5)可得 AB 的中点 C(0，4)，kAB53 22
8、1 2， 线段 AB 的中垂线方程为 y42(x0)， 即 2xy40， 由 2xy40， x2y30 得 x1， y2， 即所求圆的圆心 M(1，2)， 半径 r 232122 10， 圆 M 的标准方程为(x1)2(y2)210. (2)设圆 N 的一般方程为 x2y2DxEyF0， 圆 N 过点 A(1,0)，B(3,0)和 C(0,1)， 1DF0， 93DF0， 1EF0， 解得 D2， E2， F3， 圆 N 的一般方程为 x2y22x2y30. 12(2021洪洞新英学校模拟)已知点 M(3,1)，圆 O1：(x1)2(y2)24. (1)若直线 axy40 与圆 O1相交于 A
9、，B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，求 a 的值； (2)求过点 M 的圆 O1的切线方程 解(1)根据题意，圆 O1：(x1)2(y2)24，圆心为(1,2)，半径 r2， 若弦 AB 的长为 2 3，则圆心到直线 axy40 的距离 d 22 321， 又由圆心为(1,2)，直线 axy40， 则有 d |a2| a211，解得 a 3 4. (2)根据题意，分两种情况讨论： 当切线斜率不存在时，其方程为 x3，与圆相切，符合条件； 当切线斜率存在时，设其方程为 y1k(x3)， 圆心到切线的距离 d|2k1| k212，解得 k 3 4， 切线方程为 3x4y50， 所以过点 M 的
10、圆 O1的切线方程为 x3 或 3x4y50. 13(2020哈尔滨模拟)已知点 P(3，a)，若圆 O：x2y24 上存在点 A，使得线段 PA 的中点 也在圆 O 上，则 a 的取值范围是() A(3 3，3 3) B3 3，3 3 C(，3 3)(3 3，) D(，3 33 3，) 答案B 解析设 A(x0，y0)，PA 的中点 M(x，y)， 由已知有 x20y204， xx03 2 ， yy0a 2 ， 解得 x3 2 2 ya 2 21， 即 PA 的中点的轨迹为圆 x3 2 2 ya 2 21， 又线段 PA 的中点也在圆 O 上， 两圆有公共点，1 3 2 2 a 2 23，解
11、得3 3a3 3. 14已知圆 C：(x1)2(y1)216，过点 P(2,3)的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB| 2 11，则 l 的方程为_ 答案x2y80 解析由题意，得圆 C：(x1)2(y1)216 的圆心为(1,1)，半径为 r4， 又由题意可知，|AB|为弦长， 所以圆心到直线 l 的距离为 dr2 |AB| 2 2 1611 5， 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y3k(x2)， 即 kxy2k30， 所以 d|k12k3| k21 5，即 d |k2| k21 5， 整理得 4k24k10，解得 k1 2. 故直线 l 的方程为 x2y80.
12、 当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意 15(2021四川石室中学模拟)已知圆 C：(x2)2y22，直线 l：ykx2，若直线 l 上存在 点 P，过点 P 引圆的两条切线 l1，l2，使得 l1l2，则实数 k 的取值范围是() A0,2 3)(2 3，)B2 3，2 3 C(，0)D0，) 答案D 解析由题意得，圆 C 的圆心为(2,0)，半径 r 2， 设 P(x，y)， 因为两条切线 l1l2，如图， PAPB，由切线性质定理，知 PAAC，PBBC，PAPB， 所以四边形 PACB 为正方形，所以|PC|2， 则(x2)2y24，即点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2 为半径的
13、圆 直线 l：ykx2 过定点(0，2)，直线方程即 kxy20， 只要直线与 P 点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径， 即 d|2k2| k212，解得 k0， 即实数 k 的取值范围是0，) 16.有一块以点 O 为圆心，半径为 2 百米的圆形草坪，草坪内距离 O 点 2百米的 D 点有一用 于灌溉的水笼头，现准备过点 D 修一条笔直的小路交草坪圆周于 A，B 两点，为了方便居民 散步，同时修建小路 OA，OB，其中小路的宽度忽略不计 (1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度； (2)若要在ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场
14、舞，试求这块圆形 广场的最大面积(结果保留根号和) 解建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(0， 2) (1)小路的长度为|OA|OB|AB|，因为 OA，OB 的长为定值，故只需要 AB 最小即可 作 OMAB 于 M(图略)，记|OM|d， 则|AB|2 |OA|2|OM|22 4d2， 又 d|OD| 2，故|AB|2 422 2， 此时点 D 为|AB|的中点 故小路的最短长度为(42 2)百米 (2)显然，当广场所在的圆与ABO 内切时， 面积最大，设ABO 的内切圆的半径为 r， 则 SABO1 2(|AB|AO|BO|)r 1 2|AB|d， 由弦长公式|AB|24d2可得 d24|AB| 2 4 ， 所以 r2|AB| 216|AB|2 4|AB|42 ， 设|AB|x，则 r2f(x)x 216x2 4x42 x 24x 4x4 ， 所以 f(x)2x 38x232x 4x42 2xx 24x16 4x42 ， 又因为 0d|OD|，即 0d 2， 所以 x|AB|2 4d22 2，4)， 所以 f(x)2xx 24x16 4x42 0， 所以 f(x)maxf(2 2)64 2， 即ABO 的内切圆的面积最大值为(64 2).
