1、2.2函数的基本性质函数的基本性质 考试要求1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.了 解函数奇偶性的含义.3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数 当 x1f(x2)，那么 就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的
2、定义 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格 的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间 2函数的最值 前提一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意的 xI，都有 f(x)M； (2)存在 x0I，使得 f(x0)M (1)对于任意的 xI，都有 f(x)M； (2)存在 x0I，使得 f(x0)M 结论M 为最大值M 为最小值 3.函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意 一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫 关于 y
3、 轴对称 做偶函数 奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意 一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数 关于原点对称 4.周期性 (1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时， 都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，非零常数 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期 微思考 1函数 yf(x)满足x1，x2D，x1x2，fx1fx2 x1x2 0(0(0)f(x)在 D 上单调递增
4、(单调递减) 2奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？ 提示奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上 具有相反的单调性 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 y1 x的单调递减区间是(，0)(0，)( ) (2)若函数 f(x)为奇函数，则 f(0)0.() (3)若yf(x)在区间D上单调递增， 则函数ykf(x)(k0)， y 1 fx在区间D上单调递减 ( ) (4)若函数 f(x)满足 f(4x)f(x)，则 f(x)的图象关于 x2 对称() 题组二教材改编 2下列函数为奇函数且在定义域内为增函
5、数的是() Af(x)x1Bf(x)x2x Cf(x)2x2 x Df(x)2x2 x 答案C 解析f(x)x1 为非奇非偶函数，f(x)x2x 为非奇非偶函数，f(x)2x2 x为偶函数 3函数 y x x1在区间2,3上的最大值是_ 答案2 解析函数 y x x11 1 x1在2,3上为减函数， 当 x2 时，y x x1取得最大值 2 212. 4.设奇函数 f(x)的定义域为5,5，若当 x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)0 的 解集为_ 答案(2,0)(2,5 解析由图象可知， 当 0 x0； 当 2x5 时， f(x)0， 又 f(x)是奇函数， 当2x0 时，
6、f(x)0，当5x0. 综上，f(x)0 的解集为(2,0)(2,5 题组三易错自纠 5函数 f(x)(x1) x1 x1是_函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案非奇非偶 解析f(x)的定义域为(，1)1，)不关于原点对称 故 f(x)为非奇非偶函数 6 函数 yf(x)是定义在2,2上的减函数， 且 f(a1)2a， 解得1a0，得2x0， 0，x0， 1，x1， 0，x1， x2，x1， 该函数图象如图所示，其单调递减区间是0,1) 命题点 2判断或证明函数的单调性 例 2 试讨论函数 f(x) ax x1(a0)在(1,1)上的单调性 解方法一设1x1x21， f(x)a x11
7、x1a 1 1 x1 ， f(x1)f(x2)a 1 1 x11 a 1 1 x21 ax2x1 x11x21， 由于1x1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上单调递减； 当 a0 时，f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1,1)上单调递减； 当 a0，函数 f(x)在(1,1)上单调递增 思维升华 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断 (2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数 (3)图象法： 由图象确定函数的单调区间需注意两点： 一是单调区间必须是
8、函数定义域的子集； 二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接 (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定 简单函数的单调性 跟踪训练 1 (1)函数 f(x)|x2|x 的单调递减区间是_ 答案1,2 解析f(x) x22x，x2， x22x，x0，函数 f(x)xa x(x0)，证明：函数 f(x)在(0， a上单调递减，在 a，)上单 调递增 证明方法一(定义法)设 x1x20， f(x1)f(x2)x1a x1x 2 a x2 (x1x2)ax2x1 x1x2 x1x2x1x2a x1x2 ， x1x20，x1x20
9、，x1x20， 当 x1，x2(0， a时，0 x1x2a，x1x2a0， f(x1)f(x2)0，f(x1)a， x1x2a0，f(x1)f(x2)0， f(x1)f(x2)， f(x)在 a，)上单调递增 方法二(导数法)f(x)1a x2 x2a x2 (x0)， 令 f(x)0 x2a0 x a， 令 f(x)0 x2a00 x1, 23 32 2102 ， 23 32 3 (log2()4)2fff ， 即 23 32 3 (2)(2) 1 log 4 fff . (2)(2020全国)若 2alog2a4b2log4b，则() Aa2bBab2Dab2 答案B 解析由指数和对数的运
10、算性质可得 2alog2a4b2log4b22blog2b. 令 f(x)2xlog2x， 则 f(x)在(0，)上单调递增， 又22blog2b22blog2b122blog22b， 2alog2a22blog22b， 即 f(a)f(2b)，a4b2log4b1，则() Aa2bBa2b Cab2 答案A 解析4b2log4b122b 2 2 2logb122blog2b122blog22b， 2alog2a22blog22b， 函数 f(x)2xlog2x 在(0，)上为增函数， a2b. 命题点 2求函数的最值 例 4 (2021深圳模拟)函数 y x24 x25 的最大值为_ 答案
11、2 5 解析令 x24t，则 t2， x2t24， y t t21 1 t1 t ， 设 h(t)t1 t ，则 h(t)在2，)上为增函数， h(t)minh(2)5 2， y1 5 2 2 5(x0 时取等号) 即 y 的最大值为2 5. 命题点 3解函数不等式 例 5 已知函数 f(x) 1 3 xlog2(x2)，若 f(a2)3，则 a 的取值范围是_ 答案(0,1) 解析由 f(x) 1 3 xlog2(x2)知， f(x)在定义域(2，)上是减函数，且 f(1)3， 由 f(a2)3，得 f(a2)f(1)， 即2a21，即 0a1. 命题点 4求参数的取值范围 例 6 如果函数
12、 f(x) 2ax1，x0 成立，那么 实数 a 的取值范围是() A(0,2)B(1,2) C(1，)D. 3 2，2 答案D 解析因为对任意 x1x2，都有fx1fx2 x1x2 0， 所以 yf(x)在 R 上是增函数 所以 2a0， a1， 2a11a， 解得3 2a2. 故实数 a 的取值范围是 3 2，2. 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小 (2)求最值 (3)解不等式利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的 定义域 (4)利用单调性求参数 依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较 需注意若函数
13、在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值 跟踪训练 2 (1)已知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称， 当 x1x2且 x1， x2(1， )时， f(x2) f(x1)(x2x1)abBcba CacbDbac 答案D 解析依题意 f(x)在(1，)上单调递减，在(，1)上单调递增， 且 f(x)关于 x1 对称， af 1 2 f 5 2 ， f(e)f 5 2 f(2)， 即 ca0， 若 f(2x2)f(x)，则实数 x 的取值范围是_ 答案(2,1) 解析根据函数 f(x)的图象(图略)可知，f(x)
14、是定义在 R 上的增函数2x2x，2xf 7 4Bf(a2a2)1 的实数 x 的取值范围是() A(3，)B(，3) C2,3)D0,3) 答案C 解析f(x)在定义域0，)上是减函数，且 f(2)1， f(2x4)1 可化为 f(2x4)f(2)， 2x40， 2x42， 解得 2x0，所以 00， 2 1x，x0， 则下列结论正确的是() Af(x)在 R 上为增函数 Bf(e)f(2) C若 f(x)在(a，a1)上单调递增，则 a1 或 a0 D当 x1,1时，f(x)的值域为1,2 答案BC 解析易知 f(x)在(，0，(0，)上单调递增，A 错误，B 正确； 若 f(x)在(a，
15、a1)上单调递增，则 a0 或 a10，即 a1 或 a0，故 C 正确； 当 x1,0时，f(x)1,2，当 x(0,1时，f(x)(，2，故 x1,1时，f(x)(， 2，故 D 不正确 7函数 yx22|x|1 的单调递增区间为_，单调递减区间为_ 答案(，1和0,1(1,0)和(1，) 解析由于 y x22x1，x0， x22x1，x0， 即 y x122，x0， x122，x0 且 a1)满足 f loga3 4 1，则 a 的取值范围为_ 答案 0，3 4 (1，) 解析f(x)exxe，f(x)在 R 上为增函数且 f(1)1， f loga3 4 1，可化为 f loga3 4
16、 f(1)， loga3 41， 当 0a1 时，0a1 时，符合题意 a 的取值范围是 0，3 4 (1，) 10设函数 f(x) x24x，x4， log2x，x4. 若函数 f(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数 a 的 取值范围是_ 答案(，14，) 解析函数 f(x)的图象如图所示， 由图象可知 f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足 a4 或 a12，即 a1 或 a4. 11已知函数 f(x)ax 1 ax 2 a(a0)，且 f(x)在(0,1上的最大值为 g(a)，求 g(a)的最小值 解f(x)ax 1 ax 2 a(a0)， f(x)在(0,1上为增函数， f(x
17、)maxf(1)a1 a， g(a)a1 a2，当且仅当 a 1 a即 a1 时取等号， g(a)的最小值为 2. 12已知函数 f(x)a 2 2x1. (1)求 f(0)； (2)探究 f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)若 f(x)为奇函数，求满足 f(ax)f(2)的 x 的取值范围 解(1)f(0)a 2 201a1. (2)f(x)在 R 上单调递增证明如下： f(x)的定义域为 R，任取 x1，x2R 且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) 12 22 2121 xx aa 12 12 2 (22 ) , (1 2 )(1 2 ) xx xx y2x在 R 上单调递增且
18、x1x2， 12 202x x ， 1212 222100021 xxxx ，. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) f(x)在 R 上单调递增 (3)f(x)是奇函数，f(x)f(x)， 即 a 2 2 x1a 2 2x1，解得 a1. f(ax)f(2)即为 f(x)f(2)， 又f(x)在 R 上单调递增，x0， 当 xm，m1时，不等式 f(2mx)0 在 xR 上单调递减， 又 f(2mx)xm， 即 2xm 在 xm，m1上恒成立， 所以 2(m1)m， 解得 m0， 2a2， 所以 2a210， a1， 所以 a1. 15已知函数 yf(x)的定义域为 R，对任意
19、x1，x2且 x1x2，都有fx1fx2 x1x2 1，则下列说 法正确的是() Ayf(x)x 是增函数 Byf(x)x 是减函数 Cyf(x)是增函数 Dyf(x)是减函数 答案A 解析不妨令 x1x2，x1x21f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)x1f(x2)x2， 令 g(x)f(x)x，g(x1)g(x2)， 又 x10 时，f(x)1. (1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是增函数； (2)若 f(1)1，解关于 x 的不等式 f(x22x)f(1x)4. 解(1)令 xy0，得 f(0)1. 在 R 上任取 x1x2，则 x1x20， 所以 f(x1x2)1. 又 f(x1)f(x1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(x2)， 所以函数 f(x)在 R 上是增函数 (2)由 f(1)1，得 f(2)3，f(3)5. 由 f(x22x)f(1x)4，得 f(x2x1)f(3)， 因为函数 f(x)在 R 上是增函数， 所以 x2x13， 解得 x1， 故原不等式的解集为x|x1
