1、1.6基本不等式基本不等式 考试要求1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基 本不等式在生活实际问题中的应用 1基本不等式： abab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号 (3)其中ab 2 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数 2几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR) (2)b a a b2(a，b 同号) (3)ab ab 2 2(a，bR) (4)a 2b2 2 ab 2 2(a，bR) 以上不等式等号成立的条件均为 ab. 3利用基本不等式求最值
2、已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，和 xy 有最小值 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，积 xy 有最大值p 2 4 .(简记：和定积最大) 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等” 微思考 1若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示不一定若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等， 则这两个正数的积无最大值 2函数 yx1 x的最小值是 2 吗？ 提示不是因为函数yx1 x的定义域是x|x0，当x0 时，y0 且 y0”是“x y
3、 y x2”的充要条件( ) (4)函数 ysin x 4 sin x，x 0， 2 的最小值为 4.() 题组二教材改编 2已知 x2，则 x 1 x2的最小值是( ) A1B2C2 2D4 答案D 解析x2， x 1 x2x2 1 x222 x2 1 x224， 当且仅当 x2 1 x2，即 x3 时，等号成立 3已知函数 f(x)x1 x，若方程 f(x)a 有实数根，则实数 a 的取值范围为( ) A(，2B2，) C(，11，)D(，22，) 答案D 解析f(x)x1 x， 当 x0 时，f(x)x1 x2 12， 当且仅当 x1 x，即 x1 时，等号成立 当 x0 时，f(x)
4、x 1 x 2x 1 x 2， 当且仅当x 1 x，即 x1 时，等号成立 综上，f(x)的值域为(，22，)， 故 a 的取值范围是(，22，) 4若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2. 答案25 解析设矩形的一边为 x m，面积为 y m2， 则另一边为1 2(202x)(10 x)m，其中 0 x0)的最大值为_ 答案 1 2 解析y x x21 1 x1 x 1 2. 当且仅当 x1 x，即 x1 时，等号成立 6函数 y x2 x1(x1)的最小值为_ 答案4 解析x1，x10， y x2 x1 x211 x1 x1 1 x1 (x1) 1 x
5、124. 当且仅当 x1 1 x1，即 x2 时，等号成立. 题型一 利用基本不等式求最值 命题点 1配凑法 例 1 (1)已知 0 x5 4，则 f(x)4x2 1 4x5的最小值为_ 答案5 解析x5 4，4x50， f(x)4x2 1 4x54x5 1 4x532 135. 当且仅当 4x5 1 4x5，即 x 3 2时取等号 (3)已知函数 f(x)x 2 x1(x1)，则( ) Af(x)有最小值 4Bf(x)有最小值4 Cf(x)有最大值 4Df(x)有最大值4 答案A 解析f(x)x 2 x1 x211 x1 x1 1 x1 x1 1 x12 (x1) 1 x12. 因为 x1，
6、所以 x10， 所以 f(x)2 124， 当且仅当(x1) 1 x1，即 x2 时，等号成立 故 f(x)有最小值 4. 命题点 2常数代换法 例 2 若正数 m，n 满足 2mn1，则1 m 1 n的最小值为( ) A32 2B3 2 C22 2D3 答案A 解析因为 2mn1， 则1 m 1 n 1 m 1 n (2mn)3n m 2m n 32 n m 2m n 32 2， 当且仅当 n 2m，即 m2 2 2 ，n 21 时等号成立， 所以1 m 1 n的最小值为 32 2，故选 A. 命题点 3消元法 例 3 已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为_ 答案6 解析方
7、法一(换元消元法) 由已知得 9(x3y)1 3x3y 1 3 x3y 2 2，当且仅当 x3y，即 x3，y1 时取等号 即(x3y)212(x3y)1080， 令 x3yt，则 t0 且 t212t1080， 得 t6，即 x3y 的最小值为 6. 方法二(代入消元法) 由 x3yxy9，得 x93y 1y ， 所以 x3y93y 1y 3y93y3y1y 1y 93y 2 1y 31y 261y12 1y 3(1y) 12 1y62 31y 12 1y6 1266， 当且仅当 3(1y) 12 1y，即 y1，x3 时取等号， 所以 x3y 的最小值为 6. 本例条件不变，求 xy 的最
8、大值 解方法一9xyx3y2 3xy， 9xy2 3xy， 令 xyt，t0， 9t22 3t，即 t22 3t90， 解得 0t 3， xy 3，xy3， 当且仅当 x3y，即 x3，y1 时取等号， xy 的最大值为 3. 方法二x93y 1y ， xy93y 1y y9y3y 2 1y 3y1 215y112 y1 3(y1) 12 y1152 3y1 12 y1153. 当且仅当 3(y1) 12 y1，即 y1，x3 时取等号 xy 的最大值为 3. 思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等” (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 (3
9、)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代 换的方法；三是消元法 跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x) 2 2x1x x1 2 ，则() Af(x)有最小值5 2 Bf(x)有最小值3 2 Cf(x)有最大值1 2 Df(x)有最大值3 2 答案D 解析x0，f(x) 2 2x1x 1 x1 2 x1 2 1 2 1 1 2x 1 2x 1 22 1 2 3 2， 当且仅当 1 1 2x 1 2x，即 x 1 2时取等号，故 f(x)有最大值 3 2. (2)已知 x0，y0 且 xy5，则 1 x1 1 y2的最小值为_ 答案 1 2 解析令 x1m，
10、y2n， x0，y0，m0，n0， 则 mnx1y28， 1 x1 1 y2 1 m 1 n 1 m 1 n 1 8(mn) 1 8 n m m n21 8(2 12) 1 2. 当且仅当n m m n ，即 mn4 时等号成立 1 x1 1 y2的最小值为 1 2. 题型二 基本不等式的综合应用 命题点 1基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例 4 设等差数列an的公差为 d， 其前 n 项和是 Sn， 若 a1d1， 则Sn8 an 的最小值是_ 答案 9 2 解析ana1(n1)dn，Snn1n 2 ， 所以Sn8 an n1n 2 8 n 1 2 n16 n 1 1 2 2n16 n
11、1 9 2， 当且仅当 n16 n ，即 n4 时取等号， 所以Sn8 an 的最小值是9 2. 命题点 2求参数值或取值范围 例 5 (2021厦门联考)对任意 m，n(0，)，都有 m2amn2n20，则实数 a 的最大值为 () A. 2B2 2C4D.9 2 答案B 解析对任意 m，n(0，)，都有 m2amn2n20， m22n2amn，即 am 22n2 mn m n 2n m 恒成立， m n 2n m 2 m n 2n m 2 2，当且仅当m n 2n m ，即 m 2n 时取等号，a2 2，故实数 a 的 最大值为 2 2，故选 B. 思维升华 (1)当基本不等式与其他知识相
12、结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件， 然后利用常数代换法求最值 (2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得 到参数的值或范围 跟踪训练 2 (1)已知不等式(xy) 1 x a y 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值 为() A2B4C6D8 答案B 解析已知不等式(xy) 1 x a y 9 对任意正实数 x，y 恒成立，只要求(xy) 1 x a y 的最小值 大于或等于 9， (xy) 1 x a y 1ay x ax y a2 a1， 当且仅当 y ax 时，等号成立， a2 a19， a2 或 a4(舍去)，a4
13、， 即正实数 a 的最小值为 4，故选 B. (2)若ABC 的内角满足 3sin Asin Bsin C，则 cos A 的最小值是() A.2 3 B.7 9 C.1 3 D.5 9 答案B 解析由题意结合正弦定理有 3abc，结合余弦定理可得： cos Ab 2c2a2 2bc b 2c2 bc 3 2 2bc 8 9b 28 9c 22 9bc 2bc 8 9b 28 9c 2 2bc 1 9 2 8 9b 8 9c 2bc 1 9 7 9. 当且仅当 bc 时等号成立 综上可得，cos A 的最小值是7 9. 题型三 基本不等式的实际应用 例 6 小王于年初用 50 万元购买一辆大货
14、车，第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元，从第二 年起，每年都比上一年增加支出 2 万元，假定该车每年的运输收入均为 25 万元小王在该车 运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x 年年底出售，其 销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年) (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ (2)在第几年年底将大货车出售， 能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收 入总支出) 解(1)设大货车运输到第 x 年年底， 该车运输累计收入与总支出的差为 y 万元， 则 y25x6xx(x1)50 x220 x50(00， 可得 1
15、05 2x10. 因为 2105 23， 所以大货车运输到第 3 年年底该车运输累计收入超过总支出 (2)因为利润累计收入销售收入总支出， 所以二手车出售后， 小王的年平均利润为y25x x 19 x25 x 192 259， 当且仅当 x25 x ，即 x5 时，等号成立， 所以小王应当在第 5 年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大 素养提升(1)利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满 足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值 (2)构建数学模型，提升数学建模核心素养 跟踪训练 3 网店和实体店各有利弊，两者的
16、结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要 发展方向 某品牌行车记录仪支架销售公司从 2019 年 1 月起开展网络销售与实体店体验安装 结合的销售模式根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足函数关系式 x3 2 t1.已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元， 产品 每 1 万件进货价格为 32 万元，若每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品 的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是_万元 答案37.5 解析由题意知 t 2 3x1(1x3)，设该公司的月利润为 y 万元，则 y 32150% t 2x x 3
17、2x3t16xt 2316x 1 3x 1 2345.5 163x 1 3x 45.52 1637.5， 当且仅当 x11 4 时取等号，即最大月利润为 37.5 万元 柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,17891857)发现的， 故命名为柯西不等式柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证 明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的 技巧可以达到事半功倍的效果 1(柯西不等式的代数形式)设 a，b，c，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2， 当且仅当 adbc 时，等号成立 推广一般情
18、形： 设 a1， a2， ， an， b1， b2， ， bnR， 则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1 a2b2anbn)2 (当且仅当 bi0i1，2，n或存在一个实数 k，使得 aikbii1，2，n时，等号成立) 2(柯西不等式的向量形式)设，为平面上的两个向量，则|，其中当且仅当是零 向量，或存在实数 k，使k时等号成立 3(柯西不等式的三角不等式)设 x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则： x1x22y1y22 x2x32y2y32 x1x32y1y32. 一、利用柯西不等式求最值 例 1 已知 2x2y21，则 2xy 的最大值为_ 答案3 解析2
19、xy 2 2x1y 2212 2x2y2 3 2x2y2 3. 当且仅当 xy 3 3 时取等号 所以 2xy 的最大值为 3. 例 2 已知 x，y 满足 x3y4，则 4x2y2的最小值为_ 答案 64 37 解析(x3y)2(4x2y2) 1 49， 所以 4x2y216 4 37 64 37， 当且仅当 y12x 时，等号成立， 所以 4x2y2的最小值为64 37. 例 3 函数 y5 x1 102x的最大值为_ 答案6 3 解析y2(5 x1 102x)2(5 x1 2 5x)2(522)(x15x)108，当且仅 当 x127 27 时等号成立， y6 3. 二、利用柯西不等式证
20、明不等式 例 4 已知 a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1a2b2) a1 b1 a2 b2(a1a2)2. 证明(a1b1a2b2) a1 b1 a2 b2 ( a1b1)2( a2b2)2 a1 b1 2 a2 b2 2 a1b1 a1 b1 a 2b2 a2 b2 2 (a1a2)2. 当且仅当 b1b2时，等号成立 例 5 已知 a1，a2，an都是实数，求证：1 n(a 1a2an)2a21a22a2n. 证明根据柯西不等式， 有 222 (111 ) n 个 (a21a22a2n)(1a11a21an)2， 所以1 n(a 1a2an)2a21a22a2n. 课时精练
21、课时精练 1下列函数中，最小值为 2 的是() Ayx2 x By x23 x22 Cyexe-x Dylog3xlogx3(0 x0，且 b0，若 2ab4，则 ab 的最大值为() A.1 4 B4C.1 2 D2 答案D 解析42ab2 2ab， 即 2 2ab，两边平方得 42ab， ab2，当且仅当 a1，b2 时，等号成立， ab 的最大值为 2. 3若 a0，b0，lg alg blg(ab)，则 ab 的最小值为() A8B6 C4D2 答案C 解析依题意 abab， abab ab 2 2， 即 abab 2 4 ， ab4，当且仅当 ab 时取等号， ab 的最小值为 4.
22、 4某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为 800 元若每批生产 x 件，则平均 仓储时间为x 8天， 且每件产品每天的仓储费用为 1 元， 为使平均到每件产品的生产准备费用与 仓储费用之和最小，每批应生产产品() A60 件B80 件 C100 件D120 件 答案B 解析若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800 x 元，仓储费用是x 8元，总的费 用是800 x x 82 800 x x 820，当且仅当 800 x x 8，即 x80 时取等号 5(多选)(2020新高考全国 )已知 a0，b0，且 ab1，则() Aa2b21 2 B2a-b1 2 Clog2
23、alog2b2D. a b 2 答案ABD 解析因为 a0，b0，ab1， 所以 ab2 ab， 当且仅当 ab1 2时，等号成立，即有 ab 1 4. 对于 A，a2b2(ab)22ab12ab121 4 1 2，故 A 正确； 对于 B,2a b22a11 22 2a， 因为 a0，所以 22a1，即 2a b1 2，故 B 正确； 对于 C，log2alog2blog2ablog21 42，故 C 错误； 对于 D，由( a b)2ab2 ab12 ab2， 得 a b 2，故 D 正确 6(多选)设 a0，b0，则下列不等式中一定成立的是() Aab 1 ab2 2 B. 2ab ab
24、 ab C.a 2b2 ab abD(ab) 1 a 1 b 4 答案ACD 解析a0，b0， ab 1 ab2 ab 1 ab2 2， 当且仅当 ab 且 2 ab 1 ab，即 ab 2 2 时取等号， 故 A 一定成立； ab2 ab0， 2ab ab 2ab 2 ab ab，当且仅当 ab 时取等号， 2ab ab ab不一定成立，故 B 不一定成立； 2ab ab 2ab 2 ab ab，当且仅当 ab 时取等号， a2b2 ab ab 22ab ab ab 2ab ab2 ab ab ab， 当且仅当 ab 时取等号， a 2b2 ab ab，a 2b2 ab ab，故 C 一定成
25、立； (ab) 1 a 1 b 2b a a b4， 当且仅当 ab 时取等号，故 D 一定成立 7已知 a，bR，且 a3b60，则 2a 1 8b的最小值为_ 答案 1 4 解析由题设知 a3b6，又 2a0,8b0，所以 2a 1 8b2 2a 1 8b2 3 2 2 ab 1 4，当且仅当 2a 1 8b， 即 a3，b1 时取等号故 2a 1 8b的最小值为 1 4. 8已知实数 a，b 满足|ln a|ln b|，ab，则1 a 4 b的最小值为_ 答案4 解析因为|ln a|ln b|且 ab， 所以 ln aln b， 即 ln aln b0， 所以 ln(ab)0， 所以 a
26、b1，a0，b0， 所以1 a 4 b2 4 ab4，当且仅当 a 1 2，b2 时，等号成立 9若 a，b 都是正数，且 ab1，则(a1)(b1)的最大值为_ 答案 9 4 解析(a1)(b1) a1b1 2 29 4， 当且仅当 a1b1，即 ab1 2时取等号， 故(a1)(b1)的最大值为9 4. 10命题“x(1，)，x2axa20”为真命题，则实数 a 的取值范围是_ 答案(，2 32) 解析依题意x(1，)，x2axa20 恒成立， 即 a(x1)x22，即 ax 22 x1 恒成立， x 22 x1 x 22x12x23 x1 x1 22x13 x1 (x1) 3 x122
27、32. 当且仅当 x1 3 x1，即 x 31 时，等号成立 a0，y0，且 2x8yxy，求： (1)xy 的最小值； (2)xy 的最小值 解(1)xy2x8y2 2x8y， 即 xy8 xy，即 xy64， 当且仅当 2x8y，即 x16，y4 时，等号成立， xy 的最小值为 64. (2)由 2x8yxy，得8 x 2 y1， 则 xy 8 x 2 y (xy) 102x y 8y x 102 2x y 8y x 18. 当且仅当2x y 8y x ，即 x12，y6 时等号成立， 所以 xy 的最小值为 18. 12运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规
28、限制 50 x100(单位： 千米/时)假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 2 x2 360 升，司机的工资是每小时 14 元 (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式； (2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用 解(1)所用时间为 t130 x (h)， y130 x 2 2 x2 360 14130 x ，x50,100 所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y13018 x 2130 360 x，x50,100 (或 y2 340 x 13 18x，x50,100) (2)y13018 x 2130 360 x26 10， 当且仅当1301
29、8 x 2130 360 x， 即 x1810时等号成立 故当 x1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为 2610元 13.几何原本卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题 的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为 无字证明现有如图所示图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OFAB，设 AC a，BCb，则该图形可以完成的无字证明为() A.ab 2 ab(a0，b0) Ba2b22 ab(a0，b0) C. 2ab ab ab(a0，b0) D.ab 2 a2b2 2 (a0，b0) 答案D
30、解析由 ACa，BCb，可得圆 O 的半径 rab 2 ， 又 OCOBBCab 2 bab 2 ， 则 FC2OC2OF2ab 2 4 ab 2 4 a 2b2 2 ， 再根据题图知 FOFC，即ab 2 a2b2 2 ，当且仅当 ab 时取等号故选 D. 14 正实数 x， y 满足 4x2y2xy1， 则 xy 的最大值为_； 2xy 的最大值为_ 答案 1 5 2 10 5 解析1xy4x2y24xy， 5xy1，xy1 5，当且仅当 y2x 时取等号， 4x2y2xy1， (2xy)23xy1， (2xy)213xy3 22xy 3 2 2xy 2 2， 即(2xy)213 8(2x
31、y) 2， (2xy)28 5，2xy 2 10 5 ， 当且仅当 2xy 时，取等号 15设 ab0，则 a2 1 ab 1 aab的最小值是( ) A1B2 C3D4 答案D 解析ab0， ab0， a(ab)0，a2 1 ab 1 aab a2abab 1 ab 1 aab a2ab 1 aabab 1 ab a(ab) 1 aabab 1 ab224， 当且仅当 aab 1 aab， ab 1 ab， 即 a 2，b 2 2 时等号成立 a2 1 ab 1 aab的最小值是 4. 16已知 abc3，且 a，b，c 都是正数 (1)求证： 1 ab 1 bc 1 ca 3 2； (2)
32、是否存在实数 m，使得关于 x 的不等式x2mx2a2b2c2对所有满足题设条件的正 实数 a，b，c 恒成立？如果存在，求出 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由 (1)证明因为 abc3，且 a，b，c 都是正数， 所以 1 ab 1 bc 1 ca 1 6(ab)(bc)(ca) 1 ab 1 bc 1 ca 1 6 3 bc ab ab bc bc ca ca bc ab ca ac ab1 6(3222) 3 2， 当且仅当 abc1 时，取等号， 所以 1 ab 1 bc 1 ca 3 2得证 (2)解因为 abc3， 所以(abc)2a2b2c22ab2bc2ca3(a2b2c2)， 因此 a2b2c23(当且仅当 abc1 时，取等号)， 所以(a2b2c2)min3， 由题意得x2mx23 恒成立， 即得 x2mx10 恒成立， 因此m240 2m2. 故存在实数 m2,2使不等式x2mx2a2b2c2成立
