1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 2 节导数与函数的单调性 知 识 梳 理 1函数的单调性与导数的关系 已知函数 f(x)在某个区间内可导， (1)如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增； (2)如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递减 2利用导数求函数单调区间的基本步骤是： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f(x)； (3)由 f(x)0(或0)解出相应的 x 的取值范围当 f(x)0 时，f
2、(x)在相应的区间 内是单调递增函数；当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数 一般需要通过列表，写出函数的单调区间 3已知单调性求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数 f(x)求导，得到 f(x)； (2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(x)0 恒成立；若函数 f(x)在a，b上单调 递减，则 f(x)0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有 f(x)0.若 f(x)0 恒成立，则函数 f(x)在 (a，b)上为常数函数，舍去此参数值 (1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数 (2)用函数单调性比较大小或
3、解不等式时常构造函数，常见的有： 对于 f(x)g(x)，构造 h(x)f(x)g(x) 对于 f(x)g(x)0，构造 h(x)f(x)g(x) 对于 f(x)f(x)0，构造 h(x)exf(x) 对于 f(x)f(x)，构造 h(x)f（x） ex . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 对于 xf(x)f(x)0，构造 h(x)xf(x) 对于 xf(x)f(x)0，构造 h(x)f（x） x . (3)根据单调性求参数常用导数不等式 f(x)0
4、或 f(x)0 求解，注意检验等号 (4)注意函数、导函数的定义域 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)若可导函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f(x)0.() (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f(x)0， 则 f(x)在此区间内没有单调性 () (3)f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件() 答案(1)(2)(3) 解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有 f(x)0. (3)f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件 2函数 f(x)exx 的单调递增区间是() A(，1B1，) C(，0D(0，) 答案D 解析令 f(x)ex10 得
5、x0，所以 f(x)的递增区间为(0，) 3(2021浙江“超级全能生”联考)已知函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图 所示，则函数 yf(x)的图象可以是() 答案C 解析根据导函数的正负与原函数的单调性的关系， 结合导函数 f(x)的图象可知， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 原函数 f(x)先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项 C 符合题意，故 选 C. 4若 f(x)ln x x ，0abe，则 f(a)与 f(b)的大小关
6、系为_ 答案f(a)f(b) 解析f(x)1ln x x2 ，当 0 xe 时，1ln x0， 即 f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递增， f(a)f(b) 5函数 f(x)e x x 的单调递增区间为_；单调递减区间为_ 答案(1，)(，0)和(0，1) 解析函数的定义域为x|x0，且 f(x)e x（x1） x2 ，令 f(x)0 得 x1，f(x)的单 调递增区间为(1，)，令 f(x)0，得 x0，a0，即 a 的取值范围是(，0 考点一求不含参数的函数的单调性 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资
7、源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 【例 1】 已知 f(x) 1 2x 3x2 ex，讨论 f(x)的单调性 解由题意得 f(x) 3 2x 22x ex 1 2x 3x2 ex 1 2x 35 2x 22x ex 1 2x(x1)(x4)e x. 令 f(x)0，解得 x0，x1 或 x4. 当 x4 时，f(x)0，故 f(x)为减函数； 当4x0，故 f(x)为增函数； 当1x0 时，f(x)0 时，f(x)0，故 f(x)为增函数 综上知，f(x)在(，4)和(1，0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为 增函数 感悟升华确定函数单调区间的步骤： (1)确定函
8、数 f(x)的定义域； (2)求 f(x)； (3)解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式 f(x)0) 令 y0， 得 00，则其在区间(，)上 的解集为 ， 2 和 0， 2 ，即 f(x)的单调递增区间为 ， 2 ， 0， 2 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 考点二求含参函数的单调性 【例 2】 设函数 f(x)aln xx1 x1，其中 a 为常数 讨论函数 f(x)的单调性 解函数 f(x)的定义域为(
9、0，) f(x)a x 2 （x1）2 ax2（2a2）xa x（x1）2 . 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增 当 a0 时，令 g(x)ax2(2a2)xa， 由于(2a2)24a24(2a1) (1)当 a1 2时，0，f(x) 1 2（x1） 2 x（x1）2 0，函数 f(x)在(0，)上单调递减 (2)当 a1 2时，0，g(x)0， f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减 (3)当1 2a0 时，0. 设 x1，x2(x1x2)是函数 g(x)的两个零点， 则 x1（a1） 2a1 a ，x2（a1） 2a1 a . 由 x1a1 2a1 a
10、a22a1 2a1 a 0， 所以 x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减； x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增； x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减 综上可得： 当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增； 当 a1 2时，函数 f(x)在(0，)上单调递减； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当1 2a0 时，f(x)在 0，（a1） 2a1 a， （a1）
11、2a1 a ， 上单调递减， 在 （a1） 2a1 a ，（a1） 2a1 a上单调递增 感悟升华利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当 f(x) 含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论分类讨论时，要 做到不重不漏 【训练 2】 已知函数 f(x)x2e ax1(a 是常数)，求函数 yf(x)的单调区间 解根据题意可得，当 a0 时，f(x)x21，函数在(0，)上单调递增， 在(，0)上单调递减 当 a0 时，f(x)2xe axx2(a)eaxeax(ax22x) 因为 e ax0， 所以令 g(x)ax22x0，解得 x0 或 x2 a. (1)当 a
12、0 时， 函数 g(x)ax22x 在(， 0)和 2 a，上有 g(x)0， 即 f(x)0， 函数 yf(x)单调递减； 函数 g(x)ax22x 在 0，2 a 上有 g(x)0， 即 f(x)0，函数 yf(x)单调递增 (2)当 a0， 即 f(x)0， 函数 yf(x)单调递增； 函数 g(x)ax22x 在 2 a，0上有 g(x)0， 即 f(x)0，函数 yf(x)单调递减 综上所述，当 a0 时，函数 yf(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间 为(，0)； 当 a0 时，函数 yf(x)的单调递减区间为(，0)， 2 a，单调递增区间为 0，2 a ； 本资料分享自
13、新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 a0 在 1 2，2上有解，所以 b0(0(0)， f(x)x34 x， 函数 f(x)1 2x 23x4ln x 在(t，t1)上不单调， f(x)x34 x在(t，t1)上有变号零点， x 23x4 x 0 在(t，t1)上有解， x23x40 在(t，t1)上有解， 由 x23x40 得 x1 或 x4(舍去)， 1(t，t1)，t(0，1)， 故实数 t 的取值范围是(0，1) 基础巩固题组 一、选择题 1函数 yf(x
14、)的导函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的图象可能是 () 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案D 解析设导函数 yf(x)与 x 轴交点的横坐标从左往右依次为 x1，x2，x3，由导函 数 yf(x)的图象易得当 x(，x1)(x2，x3)时，f(x)0(其中 x10 x20”是“f(x)在(0， )上为增函数”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析f(x)的定义域是(0，)，f(
15、x)1 x2ax 2ax21 x ，a0 时，f(x)0，f(x) 在(0，)递增， 故 a0f(x)递增，是充分条件， 由 f(x)递增，得 a0 或 a0，不是必要条件 3设函数 f(x)1 2x 29ln x 在区间a1，a1上单调递减，则实数 a 的取值范围 是() A(1，2B4，) C(，2D(0，3 答案A 解析f(x)1 2x 29ln x，f(x)x9 x(x0)， 当 x9 x0 时，有 00 且 a13，解得 10时， xf(x)f(x)0， 若 af（e） e ，bf（ln 2） ln 2 ，cf（3） 3 ，则 a，b，c 的大小关系正确的是() AabcBbca C
16、acbDca0 时，xf(x)f(x)0， 所以 g(x)0. 所以 g(x)在(0，)上是减函数 由 f(x)为奇函数，知 g(x)为偶函数，则 g(3)g(3)， 又 ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)g(3)， 所以 g(3)g(e)g(ln 2)， 即f（3） 3 f（e） e f（ln 2） ln 2 ，故 cab. 二、填空题 7函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x4 的 解集为_ 答案(1，) 解析f(x)2 转化为 f(x)20，构造函数 F(x)f(x)2x， 得 F(x)在 R 上是增函数 又 F(1)f(1)2(1)4
17、，f(x)2x4， 即 F(x)4F(1)，所以 x1. 8已知函数 f(x)x3ax2bxc，g(x)为 f(x)的导函数若 f(x)在(0，1)上单调递 减，则下列结论正确的是_(填序号) ab10；b0；32ab0. 答案 解析因为 f(x)在(0，1)上单调递减，所以 f(0)f(1)，即 ab10；由题意可 得 g(x)f(x)3x22axb.因为 f(x)在(0，1)上单调递减，所以 g(x)0 在(0，1) 上恒成立，即 g(0)0，g(1)0，所以 b0，32ab0. 9(2021北京怀柔区一模)若函数 f(x)ex(cos xa)在区间 2， 2 上单调递减， 则实数 a 的
18、取值范围是_ 答案 2，) 解析由题可知： 函数f(x)ex(cos xa)在区间 2， 2 上单调递减等价于f(x)0 在 2， 2 恒成立， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即 f(x)ex(cos xsin xa)0 在 2， 2 恒成立， 则 acos xsin x 2cos x 4 在 2， 2 恒成立， 所以 a2cos x 4 max ， 由 x 2， 2 ，所以 x 4 4， 3 4 ， 故 cos x 4 2 2 ，1 ，则2cos
19、x 4 (1， 2，所以 a 2，即 a 2， ) 10已知函数 f(x)x3mx2nx2 的图象过点(1，6)，函数 g(x)f(x)6x 的图象关于 y 轴对称则 m_，f(x)的单调递减区间为_ 答案3(0，2) 解析由函数 f(x)的图象过点(1，6)，得 mn3. 由 f(x)x3mx2nx2，得 f(x)3x22mxn， 所以 g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn. 因为 g(x)的图象关于 y 轴对称，所以2m6 23 0， 所以 m3，代入得 n0，所以 f(x)3x26x3x(x2) 由 f(x)0 得 0 x2，所以 f(x)的单调递减区间是(0，2) 三、解答题 11
20、已知函数 f(x)ln xk ex (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线与 x 轴平行 (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间 解(1)由题意得 f(x) 1 xln xk ex ， 又 f(1)1k e 0，故 k1. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)由(1)知，f(x) 1 xln x1 ex . 设 h(x)1 xln x1(x0)， 则 h(x)1 x2 1 x0， 即 h(x)在
21、(0，)上是减函数 由 h(1)0 知，当 0 x1 时，h(x)0，从而 f(x)0； 当 x1 时，h(x)0，从而 f(x)0. 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，) 12已知函数 f(x)exaxexa(aR) (1)若 f(x)在(0，)上单调递减，求 a 的取值范围； (2)求证：x 在(0，2)上任取一个值，不等式1 x 1 ex1 1 2恒成立(注：e 为自然对数的 底数) (1)解由已知得 f(x)ex(x1) 1 x1a. 由函数 f(x)在(0，)上单调递减得 f(x)0 恒成立 1 1xa0，即 a 1 1x，又 1 1x(0，1)， a
22、 的取值范围为1，) (2)证明要证原不等式恒成立， 即证 ex1x0 在 x(0，2)上恒成立 设 F(x)(x2)exx2，则 F(x)(x1)ex1. 在(1)中，令 a1，则 f(x)exxex1，f(x)在(0，2)上单调递减，F(x)f(x) 在(0，2)上单调递增， 而 F(0)0，在(0，2)上 F(x)0 恒成立， F(x)在(0，2)上单调递增，F(x)F(0)0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即当 x(0，2)时，1 x 1
23、ex10，则“ab”是“aabb”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案D 解析因为 a，b0，由 aabb可得 aln abln b设函数 f(x)xln x，则 f(x)ln x 1，由 f(x)0 可得 x1 e，所以函数 f(x)xln x 在 0，1 e 上单调递减，在 1 e， 上单调递增，所以 ab 不一定有 aln abln b，即 aabb，所以充分性不成立；当 aabb，即 aln abln b 时，不一定有 ab，所以必要性不成立，所以“ab”是“aabb” 的既不充分也不必要条件，故选 D. 15已知函数 f(x)1 3x 34
24、x2ex2ex，其中 e 为自然对数的底数，若 f(a1) f(2a2)0，则实数 a 的取值范围是() A(，1B. 1 2， C. 1，1 2D. 1，1 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案D 解析f(x)x242ex2e xx242 4exexx20， f(x)在 R 上是增函数 又 f(x)1 3x 34x2ex2exf(x)，知 f(x)为奇函数 故 f(a1)f(2a2)0f(a1)f(2a2)， a12a2，解之得1a1 2. 16
25、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(2)0，当 x0 时，有xf（x）f（x） x2 0 的解集是_ 答案(，2)(0，2) 解析当 x0 时， f（x） xxf（x）f（x） x2 0， (x)f（x） x 在(0，)上为减函数， 又 f(2)0，即(2)0， 在(0，)上，当且仅当 0 x0， 此时 x2f(x)0. 又 f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数， 由数形结合知 x(，2)时 f(x)0. 故 x2f(x)0 的解集为(，2)(0，2) 17设函数 f(x)xea xbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(e1)x 4. (1)求 a，b
26、的值； (2)求 f(x)的单调区间 解(1)f(x)xea xbx， f(x)(1x)ea xb. 由题意得 f（2）2e2， f（2）e1， 即 2ea 22b2e2， ea 2be1， 解得 a2，be. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)由(1)得 f(x)xe2 xex， 由 f(x)e2 x(1xex1)及 e2x0 知，f(x)与 1xex1 同号 令 g(x)1xex 1，则 g(x)1ex1. 当 x(，1)时，g(x)0，g(x
27、)在(1，)上递增， g(x)g(1)1 在 R 上恒成立， f(x)0 在 R 上恒成立 f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间 18已知函数 f(x)aln xax3(aR) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为 45，对于任意的 t1， 2，函数 g(x)x3x2 f（x）m 2 在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数 m 的 取值范围 解(1)函数 f(x)的定义域为(0，)， 且 f(x)a（1x） x ， 当 a0 时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)； 当 a0 时，f(x)的增区间为(1，
28、)，减区间为(0，1)； 当 a0 时，f(x)不是单调函数 (2)由(1)及题意得 f(2)a 21， 即 a2，f(x)2ln x2x3，f(x)2x2 x . g(x)x3 m 2 2 x22x， g(x)3x2(m4)x2. g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数， 即 g(x)0 在区间(t，3)上有变号零点 由于 g(0)2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 g（t）0. 当 g(t)0， 即 3t2(m4)t20 对任意 t1，2恒成立， 由于 g(0)0，故只要 g(1)0 且 g(2)0， 即 m5 且 m9，即 m0，即 m37 3 ， 所以37 3 m9， 即实数 m 的取值范围是 37 3 ，9 .
