1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 3 节二项式定理 知 识 梳 理 1二项式定理 (1)二项式定理：(ab)nC0nanC1nan 1bCr nan rbrCn nbn(nN*)； (2)通项公式：Tr1Crnan rbr，它表示第 r1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C0n，C1n，Cnn. 2二项式系数的性质 性质性质描述 对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即 CknCn k n 增减性 二项式 系数 Ckn 当 kn1
2、2 (nN*)时，是递增的 当 kn1 2 (nN*)时，是递减的 二项式系数 最大值 当 n 为偶数时，中间的一项 C n 2n取得最大值 当 n 为奇数时，中间的两项 C n1 2 n与 C n1 2 n取得最大值 3.各二项式系数和 (1)(ab)n展开式的各二项式系数和：C0nC1nC2nCnn2n (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和， 即 C0nC2nC4n C1nC3nC5n2n 1 1二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指 C0n，C1n， Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量 外的常数部分，它不仅与
3、各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关 2 因为二项式定理中的字母可取任意数或式， 所以在解题时根据题意给字母赋值 是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法赋值法求展开式中的系数和或部 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 分系数和，常赋的值为 0，1. 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)Cknan kbk 是二项展开式的第 k 项() (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项() (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a
4、，b 无关() (4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系 数不同() 答案(1)(2)(3)(4) 解析二项式展开式中 Cknan kbk 是第 k1 项， 二项式系数最大的项为中间一项或 中间两项，故(1)(2)均不正确 2(2020北京卷)在( x2)5的展开式中，x2的系数为() A5B5C10D10 答案C 解析Tr1Cr5( x)5 r(2)rCr 5x5r 2 (2)r， 令5r 2 2，r1.x2的系数为 C15(2)110.故选 C. 3(选修 23P35 练习 T1(3)改编) C02 019C12 019C22 019C2 019 2
5、019 C02 018C22 018C42 018C2 018 2 018的值为( ) A2B4 C2 019D2 0182 019 答案B 解析原式 22 019 22 018 12 24. 4(1x)n的二项展开式中，仅第 6 项的系数最大，则 n _ 答案10 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1x)n的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n 216， n10. 5(2020全国卷) x22 x 6 的展开式中常数项是_(用数字作
6、答) 答案240 解析 x22 x 6 的展开式的通项公式为 Tr1Cr6(x2)6 r 2 x r Cr62rx12 3r，令 123r 0，解得 r4，得常数项为 C4624240. 6(2021嘉兴测试)已知(2x2)(1ax)3的展开式的所有项系数之和为 27，则实数 a_，展开式中含 x2的项的系数是_ 答案223 解析由已知可得(212)(1a)327， 则 a2， (2x2)(1ax)3(2x2)(12x)3 (2x2)(16x12x28x3)，展开式中含 x2的项的系数是 212123. 考点一求展开式中的特定项或特定项的系数 【例 1】 (1)(2020全国卷) xy 2 x
7、 (xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A5B10C15D20 (2)(2019浙江卷)在二项式( 2x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理 数的项的个数是_(3)(2021湖州适应性考试)在(1x)5(1x)6(1 x)18(1x)19的展开式中，含 x3的项的系数是() A4 840B4 840C3 871D3 871 答案(1)A(2)16 25(3)B 解析(1)法一 xy 2 x (xy)5 xy 2 x (x55x4y10 x3y210 x2y35xy4y5)， x3y3的系数为 10515. 法二当 xy 2 x 中取 x 时，x3y3的系数为 C35， 当 xy 2
8、x 中取y 2 x 时，x3y3的系数为 C15， x3y3的系数为 C35C1510515.故选 C. (2)由二项展开式的通项公式可知 Tr1Cr9( 2)9 rxr，rN，0r9， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当为常数项时，r0，T1C09( 2)9x0( 2)916 2. 当项的系数为有理数时，9r 为偶数， 可得 r1，3，5，7，9，即系数为有理数的项的个数是 5. (3)由题意得含 x3的项的系数为C35C36C318C319(C45
9、C35C36 C318C319C45)(C46C36C318C319C45)(C420C45)4 840， 故选 B. 感悟升华(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第 一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意 二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数 为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项 (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解 (3)多项式的展开式可化为二项式展开 【训练 1】 (1)(一题多解)(x2xy)5的展开式中，x5y2
10、的系数为() A10B20C30D60 (2)(2021台州期末评估)在 x32x1 x 4 的展开式中，常数项为() A28B28C56D56 (3)若(2x1)5a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5，则 a4 () A32B32C80D80 答案(1)C(2)A(3)C 解析(1)法一(x2xy)5(x2x)y5， 含 y2的项为 T3C25(x2x)3y2. 其中(x2x)3中含 x5的项为 C13x4xC13x5. 所以 x5y2的系数为 C25C1330. 法二(x2xy)5表示 5 个 x2xy 之积 x5y2可从其中 5 个因式中选两个因式取
11、y，两个取 x2，一个取 x.因此 x5y2的系数 为 C25C23C1130. (2) x32x1 x 4 的展开式的通项为 Tr1Cr4x r(x32x)4r.而(x32x)4r 的通项为 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 Tk1Ck4r(x3)4 rk(2x)k(2)kCk 4rx12 3r2k(k4r)，则 x32x1 x 4 的展开 式的通项为(2)kCr4Ck4rx12 4r2k.令 124r2k0，可得 k0，r3 或 k2，r 2. x3
12、2x1 x 4 的展开式中常数项为 C34C014C24C2228，故选 A. (3)因为(2x1)512(x1)5的展开式的通项为 Tr1Cr5(1)5 r2(x1)r (1)5 r2rCr 5(x1)r，所以 a4(1)124C4580，故选 C. 考点二二项式系数的和与各项的系数和问题 【例 2】 (1)(2021金华十校模拟)已知 aR，若二项式(a x1)n的展开式中二项 式系数和是 16， 所有项系数和是 81， 则 n_； 含 x 项的系数是_ (2)(2021温州适应性考试)若 x6a0a1(x1)a5(x1)5a6(x1)6，则 a0 a1a2a3a4a5a6_，a5_ (3
13、)若(32x)10a0a1xa2x2a3x3a10 x10， 则a12a23a34a410a10 _ 答案(1)424 或 96(2)06(3)20 解析(1)二项式(a x1)n的二项式系数为 2n16，解得 n4，则二项式的展开 式的通项 Tr1Cr4(a x)4 r1ra4rCr 4x 4r 2 .令4r 2 1， 解得 r2.令 x1 得所有项 的系数和为(a1)481， 解得 a2 或 a4， 则展开式中含 x 项的系数为 22C24 24 或(4)2C2496. (2)令 x0 得 a0a1a2a3a4a5a6060，x6(x1)16的展开式的通 项为(1)rCr6(x1)6 r，
14、则 a5(1)1C1 66. (3)对原等式两边求导，得20(32x)9a12a2x3a3x210a10 x9，令 x1， 得 a12a23a34a410a1020. 感悟升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式， 是一种重要的方法， 对形如(axb)n、 (ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y1 即可 (2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 32303138
15、0 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 系数之和为 a0a2a4f（1）f（1） 2 ，偶数项系数之和为 a1a3a5 f（1）f（1） 2 . 【训练2】(1)若(x22x3)n的展开式中所有项的系数之和为256， 则n_， 含 x2项的系数是_(用数字作答) (2)设(x2)5a0a1(x1)a2(x1)2a5(x1)5，则 a0_，a12a2 3a34a45a5_ (3)若 3 x 3 x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和大于 100，则 n 的最小值为 _；当 n 取最小值时，该展开式中的常数项是_ 答案(1
16、)4108(2)24380(3)412 解析(1)令 x1，则有(4)n256，解得 n4，所以(x22x3)n(x22x3)4 (x3)4(x1)4，所以 x2项的系数是 C24(3)2C24(3)4C34(3)3C14108. (2)令 x1 得 a0(12)5243.二项式(x2)5可以写为(x1)35，则 a1 C45(3)4405，a2C35(3)3270，a3C25(3)290，a4C15(3)115， a5C05(3)01，则 a12a23a34a45a54052(270)3904 (15)5180. (3)二项式 3 x 3 x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和等于二项式
17、 3 x 3 x n 的展开式中的所有项的系数之和， 令 x1 得二项式 3 x 3 x n 的展开式中的所有项 的系数之和，即二项式 3 x 3 x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 4n，由 4n100 得 n4(nN*)，所以 n 的最小值为 4，当 n4 时，二项式 3 x 3 x 4 的展 开式的通项为 Tr1Cr4 3 x 4r (3x)r(1)r34 rCr 4x4r 3 4，令4r 3 40 得 r3， 则该展开式中的常数项为(1)334 3C3 412. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数
18、学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 考点三“杨辉三角”与“莱布尼兹三角” 【例 3】 在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了 如图所示的数表，表中除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和利用 这一性质，C36_，C47_(用数字作答) 答案2035 解析C36101020，C47201535. 感悟升华(1)要注意“杨辉三角”每行中不为1的数等于它上一行它的“肩上” 两数之和 (2)“莱布尼兹三角”每个数等于它的“腋下”两数之和 【训练 3】 德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形(单位分数是 指分子为 1，分母为正整数的分
19、数)，称为莱布尼兹三角形根据前 5 行的规律， 则第 6 行的左起第 3 个数为_ 答案 1 60 解析由图中规律可知，第六行的第一个数和最后一个数都是1 6，第二个数加 1 6等 于1 5，所以第二个数为 1 5 1 6 1 30，同理第三个数加上 1 30等于 1 20，所以第三个数为 1 20 1 30 1 60. 基础巩固题组 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 一、选择题 1(2021衢州质检)二项式(12x)4展开式的各项系数的和为() A81
20、B80C27D26 答案A 解析令 x1 得二项式(12x)4的展开式的各项系数之和为(12)481， 故选 A. 2 (2021柯桥区调研)若 3 x 1 x n 的展开式中存在常数项， 则 n 的值可以是() A8B9C10D12 答案C 解析二项式 3 x 1 x n 的展开式的通项为 Crn(3x)n r 1 x r Crnx2n5r 6 ， 当 n10， r4 时，为常数项，故选 C. 3 已知 ax1 x 5 的展开式中各项系数的和为32， 则展开式中系数最大的项为() A270 x 1 B270 xC405x3D243x5 答案B 解析令 x1，则(a1)532，解得 a3，即
21、3x1 x 5 的展开式中共有 6 项，其 中奇数项为正数， 偶数项为负数， 所以比较奇数项的系数， 分别为 C05(3x)5243x5， C25(3x)3 1 x 2 270 x，C45(3x) 1 x 4 15 x3 ，所以系数最大的项为 270 x，故选 B. 4(2021杭州市质检)在我国古代数学著作详解九章算法中，记载着如图所示 的一张数表，表中除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和如：63 3，则这个表格中第 8 行第 6 个数是() 1 11 121 1331 14641 15101051 A21B28C35D56 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323
22、031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案A 解析由表易得表的第 n1 行的各数依次是二项式(ab)n的展开式的二项式系 数，则第 8 行第 6 个数为 C5721，故选 A. 5(2021绍兴一中适考)若(1x)2 019a0a1(x1)a2 019(x1)2 019，xR， 则 a13a232a2 01932 019的值为() A122 019B122 019 C122 019D122 019 答案A 解析由(1x)2 019a0a1(x1)a2 019(x1)2 019，令 x1 得 a022 019；
23、令 x2 得 a0a13a232a2 01932 0191，即 a13a232a2 01932 019 122 019，故选 A. 6(2021宁波期末)已知二项式 x a 3 x n 展开式中二项式系数之和为 32，常数项 为 80，则 a 的值为() A1B1C2D2 答案C 解析二项式 x a 3 x n 的展开式中二项式系数之和为 2n32，解得 n5，则二 项式 x a 3 x 5 的展开式的通项为 Cr5( x)5 r a 3 x r arCr5x155r 6 .令155r 6 0，解 得 r3，则展开式的常数项为 a3C3580，解得 a2，故选 C. 7设(2x)5a0a1xa
24、2x2a5x5，那么(a1a3a5)2(a0a2a4)2的值为 () A32B32C243D243 答案D 解析(2x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 令 x1，有 a0a1a51， 再令 x1，有 a0a1a535243， (a1a3a5)2(a0a2a4)2(a0a2a4a1a3a5)(a0a2a4a1a3 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a5)243. 8(x2x1)10展开式中 x3项的系数为() A210B210C30D30
25、答案A 解析(x2x1)10(x2x)110的展开式的通项公式为 Tr1Cr10(x2x)10 r， 对 于(x2x)10 r 的通项公式为 Tr1(1)rCr10rx20 2rr.令 202rr3，根据 0r10r，r，rN，解得 r8， r1 或 r7， r3，(x 2x1)10展开式中 x3项的系 数为 C810C12(1)C710C33(1)90120210. 二、填空题 9(2020浙江卷)二项展开式(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则 a4 _，a1a3a5_ 答案80122 解析由题意，得 a4C452451680. 当 x1 时，(12)5a0a1a2a3
26、a4a535243， 当 x1 时，(12)5a0a1a2a3a4a51. ，得 2(a1a3a5)243(1)244， 可得 a1a3a5122. 10 (2021温州适应性测试)若 ax2 1 x 5 展开式中的常数项为 5， 则 a_， 含 x5的项的系数为_ 答案110 解析二项式 ax2 1 x 5 的展开式的通项为 Tr1Cr5(ax2)5 r 1 x r a5 rCr 5x 205r 2 ， 令205r 2 0，得 r4，则二项式 ax2 1 x 5 的展开式的常数项为 a5 4C4 55，解得 a1，令205r 2 5，得 r2，则二项式 x2 1 x 5 的展开式中含 x5的
27、项的系数为 C2510. 11若将函数 f(x)x5表示为 f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a0，a1，a2，a5为实数，则 a3_(用数字作答) 答案10 解析f(x)x5(1x1)5，展开式的通项为 Tk1Ck5(1x)5 k(1)k，令 5k 3，则 k2，T3C25(1x)3(1)210(1x)3，a310. 12若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则 a0_；a2a4a1
28、2 _(用数字作答) 答案1364 解析令 x1，得 a0a1a2a1236，令 x1，得 a0a1a2a12 1，a0a2a4a123 61 2 .令 x0，得 a01，a2a4a123 61 2 1364. 13(2017浙江卷)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则 a4_，a5_ 答案164 解析令 x0，得 a5(01)3(02)24， 而(x1)3(x2)2(x1)3(x1)22(x1)1 (x1)52(x1)4(x1)3； 则 a4C452C34C2358316. 14C127C227C 27 27除以 9 的余数为_ 答案7 解析C127C22
29、7C27272271891 (91)91C0999C1998C899C991 9(C0998C1997C89)2. C0998C1997C 8 9是整数， 余数为 7. 能力提升题组 15已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列 a1，a2，a3，ak(1k11， kN*)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A5B6C7D8 答案B 解析由二项式定理知 anCn 1 10(n1，2，3，n)又(x1
30、)10展开式中二项式 系数最大项是第 6 项a6C510，则 k 的最大值为 6. 16设 aZ，且 0a13，若 512 020a 能被 13 整除，则 a() A0B1C11D12 答案D 解析512 020a(521)2 020aC02 020522 020C12 020522 019C22 020522 018 C2 019 2 020521a 能被 13 整除，且 0a13，1a 能被 13 整除，故 a12. 17在(1x)6(1y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m，n)，则 f(3，0)f(2，1) f(1，2)f(0，3)() A45B60C120D210 答案C
31、解析在(1x)6的展开式中，xm的系数为 Cm6，在(1y)4的展开式中，yn的系数 为 Cn4，故 f(m，n)Cm6Cn4.所以 f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)C36C04C26C14 C16C24C06C34120. 18(2021嘉、丽、衢模拟)若(2x1)6a0a1(x1)a2(x1)2a6(x1)6， 则 a0a12a23a34a45a56a6_ 答案13 解析在(2x1)6a0a1(x1)a2(x1)2a6(x1)6中，令 x1 得 a0 (21)61，对(2x1)6a0a1(x1)a2(x1)2a6(x1)6两边求导得 12(2x1)5a12a2(x1)3a3
32、(x1)26a6(x1)5，令 x0 得 a12a23a3 4a45a56a612，则 a0a12a23a34a45a56a613. 19设(2x1)6x6(x1)(a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5)，其中 a0，a1，a2， a3，a4，a5为实数，则 a0_，a0a1a2a3a4a5_ 答案16 解析令 x0，得 a01；(2x1)6(xx1)6C06x6C16x5(x1)C66(x 1)6，所以(2x1)6x6C16x5(x1)C66(x1)6(x1)C16x5C26x4(x1) C66(x1)5， 则 C16x5C26x4(x1)C66(x1)5a0a1xa2x2a3x3a4
33、x4 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a5x5，令 x1，得 a0a1a2a3a4a56. 20已知（2x） 7 1x a6x6a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0 a 1x，那么 a 0a _；a4_ 答案12899 解析取 x0，则 27a0a，a0a128. 由已知可得(2x)7(1x) 错误错误!， 则 C07x7a6x7， C17x62（a5a6）x6， C27x522（a4a5）x5， a61， a5a614， a4a584， a61， a515， a499.
