1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 3 节两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知 识 梳 理 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()sin_cos_cos_sin_ cos()cos_cos_sin_sin_ tan() tan tan 1tantan 2有关公式的逆用、变形等 (1)tan tantan()(1tantan) (2)tan tan 1 tan tan tan（） tan tan tan（）1. 3式子 f()asin bcos
2、(a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2sin( ) 其中 tanb a 或 f() a2b2cos() 其中 tan a b .特别地，sin cos 2sin 4 . 1重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式” (1)变角： 对角的分拆要尽可能化成同角、 特殊角； (2)变名： 尽可能减少函数名称； (3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等 2 运用公式时要注意审查公式成立的条件， 要注意和、 差角的相对性， 要注意“1” 的各种变通如 tan 41，sin 2cos21 等 3在(0，)范围内，sin 2 2 所对应的角不是唯一的 4在三角求值时，
3、常需要确定角的范围 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的() (2)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)在两角和、 差的正切公式中， 使两端分别有意义的角的范围不完全相同 () (4)公式 tan() tan tan 1tantan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立() 答案(1)(2)(3)(4)
4、解析(4)变形可以，但不是对任意的，都成立， 2k，kZ. 2(2019全国卷)tan 255() A2 3B2 3 C2 3D2 3 答案D 解析tan 255tan(18075)tan 75tan(4530) tan 45tan 30 1tan 45tan 30 1 3 3 1 3 3 2 3.故选 D. 3若 tan 1 3，tan() 1 2，则 tan ( ) A.1 7 B.1 6 C.5 7 D.5 6 答案A 解析tan tan() tan（）tan 1tan（）tan 1 2 1 3 11 2 1 3 1 7，故选 A. 4(一题多解)(2018全国卷)已知 tan 5 4
5、1 5，则 tan _ 答案 3 2 解析法一因为 tan 5 4 1 5， 所以 tan tan5 4 1tan tan5 4 1 5， 即 tan 1 1tan 1 5， 解得 tan 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3 2. 法二因为 tan 5 4 1 5， 所以 tan tan 5 4 5 4 tan 5 4 tan5 4 1tan 5 4 tan5 4 1 51 11 51 3 2. 5(2021南京、盐城一模)已知锐角，满足(tan 1)
6、(tan 1)2，则的 值为_ 答案 3 4 解析因为(tan 1)(tan 1)2，所以 tan tan tan tan 1，因此 tan( ) tan tan 1tan tan 1， 因为(0，)，3 4 . 6(2021宁波调研)已知 sin 3 5， 2，且 sin()cos ，则 tan() _ 答案2 解析因为 sin 3 5， 2，所以 cos 4 5，由 sin()cos cos( )cos()cos sin()sin 4 5cos() 3 5sin()得 2 5sin() 4 5cos()，所以 tan()2. 考点一两角和、差公式的正用 【例 1】(1)已知， (0， )，
7、 且 tan()1 2， tan 1 7， 则 2的值为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案3 4 解析tan tan() tan（）tan 1tan（）tan 1 2 1 7 11 2 1 7 1 30，又(0， )， 00，02 2， tan(2) tan 2tan 1tan 2tan 3 4 1 7 13 4 1 7 1. tan 1 70， 2，20， 23 4 . (2)若 sin()1 2，sin() 1 3，求 tan tan 的值
8、解由条件得 sin （）sin cos cos sin 1 2， sin（）sin cos cos sin 1 3， 所以 sin cos 5 12， cos sin 1 12， 相除得tan tan 5. 感悟升华(1)熟练掌握两角和、差的公式；(2)求角的值或三角函数值尽量用特殊 角或已知角表示 【训练 1】 (1)sin 75_ (2)(2021杭州二中模拟)设，都是锐角，且 cos 5 5 ，sin()3 5，则 cos 的值为() A.2 5 25 B. 5 25 C. 5 5 D.2 5 5 答案(1) 6 2 4 (2)A 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 3230
9、31380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)sin 75sin(4530) sin 45cos 30cos 45sin 30 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 . (2)因为 0， 2， 所以 0.因为 cos 5 5 ， 所以 sin 2 5 5 ， 因为 sin( )3 5，0，sin sin()，所以 2，所以 cos() 4 5.所以 cos cos()cos()cos sin()sin 4 5 5 5 3 5 2 5 5 2 5 25 ，故选 A. 考点二两角和、差公式的逆用 【例 2】
10、计算 cos 20 sin 20cos 10 3sin 10tan 702cos 40. 解原式cos 20cos 10 sin 20 3sin 10sin 70 cos 70 2cos 40 cos 20（cos 10 3sin 10） sin 20 2cos 40 2cos 20（cos 10sin 30cos 30sin 10） sin 20 2cos 40 2cos 20sin 40 sin 20 2cos 40 2cos 20sin 402cos 40sin 20 sin 20 2sin（4020） sin 20 2. 感悟升华(1)熟悉两角和、差公式展开式的结构特征； (2)对 a
11、sin bcos 的式子注意化为一个角的一种三角函数(辅助角公式)； (3)注意切化弦技巧 【训练 2】 (1) 1 sin 10 3 cos 10_ (2)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin()_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案(1)4(2)1 2 解析(1)原式cos 10 3sin 10 sin 10cos 10 2（sin 30cos 10cos 30sin 10） 1 2sin 20 4sin 20 sin 20
12、4. (2)sin cos 1，cos sin 0， sin2cos22sin cos 1， cos2sin22cos sin 0， 两式相加可得 sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1， sin()1 2. 考点三两角和、差公式的灵活应用 【例 3】 求 tan 10tan 70 tan 70tan 10tan 120的值 解因为 tan 60tan(7010) tan 70tan 10 1tan 70tan 10， 所以 tan 70tan 10tan 60tan 60tan 70tan 10， 即 tan 70tan 10tan 120tan 60tan
13、 70tan 10， 所以 tan 10tan 70 tan 70tan 10tan 120 tan 10tan 70 tan 70tan 10tan 60 3 3 . 感悟升华(1)两角和、差正切公式的变形 tan tan tan()(1tantan)，特别地，若 4，则 tan tan 1tan tan ； (2)当条件或式子中出现正切的和、 差式及乘积式的情况， 应注意利用(1)中的变形； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)已知三角函数的值求
14、其他三角函数值时，注意用已知函数值的角表示要求函数 值的角 【训练 3】 (1)已知 A，B 为锐角，且满足 tan Atan Btan Atan B1，则 cos(A B)_ (2)若，都是锐角，且 sin 2 5 5 ，sin() 10 10 ，则 cos _ 答案(1) 2 2 (2) 2 2 解析(1)由 tan Atan Btan Atan B1， 得 tan Atan B 1tan Atan B1，即 tan(AB)1. A，B 0， 2 ，0AB0， 0 2，cos() 1sin 2（） 1 10 10 2 3 10 10 . cos cos()cos cos()sin sin(
15、) 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 . 基础巩固题组 一、选择题 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1sin 20cos 10cos 160sin 10() A 3 2 B. 3 2 C1 2 D.1 2 答案D 解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30 1 2. 2化简 cos 4xsin 4x cos 4xsin 4x 的结果是() Atan x 2 B
16、tan 2x Ctan xD. 1 tan x 答案C 解析原式 1tan 4x 1tan 4x tan 4 4x tan(x)tan x. 3(1tan 17)(1tan 28)的值是() A1B0C1D2 答案D 解析原式1tan 17tan 28tan 17tan 28 1tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28 112. 4函数 f(x)sin xcos x 6 的值域为() A2，2B 3， 3 C1，1D. 3 2 ， 3 2 答案B 解析f(x)sin x cos xcos 6sin xsin 6 sin x 3 2 cos x1 2sin x 本资料分
17、享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3 2sin x 3 2 cos x 3 3 2 sin x1 2cos x 3sin x 6 3， 3 5(2021浙江名师预测卷一)已知R，则“tan 2”是“sin 2 4 2 10”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案A 解析当 tan 2 时，若为第一象限角，则 sin 2 5，cos 1 5，此时 sin 2 4 2 2 (sin 2cos 2) 2 2 (2sin co
18、s cos2sin2) 2 10；若为第 三象限角，则 sin 2 5，cos 1 5，此时 sin 2 4 2 2 (sin 2cos 2) 2 2 (2sin cos cos2 sin2) 2 10 ； 反之 ，当 sin 2 4 2 10 时 ，易 知 2sin cos cos2sin2 cos2sin2 1 5，即 2tan 1tan2 1tan2 1 5，解得 tan 2 或 tan 1 3，所以“tan 2”是“sin 2 4 2 10”的充分不必要条件，故选 A. 6已知 sin 6 cos 3 3 ，则 cos 6() A2 2 3 B.2 2 3 C1 3 D.1 3 答案C
19、 解析sin 6 cos 3 3 ， 即 sin cos 6cos sin 6cos 3 3 ， 3 2 sin 3 2cos 3 3 ，1 2sin 3 2 cos 1 3，sin 3 1 3， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 cos 6cos 2 3 sin 3 1 3. 二、填空题 7若函数 f(x)4sin xacos x 的最大值为 5，则常数 a_ 答案3 解析f(x) 16a2sin(x)，其中 tan a 4，故函数 f(x)的最大值为
20、 16a 2， 由已知得 16a25，解得 a3. 8(一题多解)化简 sin x 3 2sin x 3 3cos 2 3 x _ 答案0 解 析法 一原 式 sin x1 2cos x 3 2 2 sin x1 2cos x 3 2 3 1 2cos x 3 2 sin x 1 21 3 2 sin x 3 2 3 3 2 cos x 0. 法二原式 sin x 3 3cos 2 3 x 2sin x 3 2 sin x 3 1 2cos x 3 3 22sin x 3 2sin x 3 3 2sin x 3 2sin x2 3 2sin x 3 2sin x 3 2sin x 3 0. 9
21、 已知是第四象限角， 且sin 4 3 5， 则sin _； tan 4 _ 答案 2 10 4 3 解析由题意，sin 4 3 5，cos 4 4 5， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 sin cos 4cos sin 4 3 5， cos cos 4sin sin 4 4 5， 解得 sin 1 5 2， cos 7 5 2， tan 1 7，tan 4 tan tan 4 1tan tan 4 1 71 11 71 4 3. 10(2020柯桥区
22、调研)已知角的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重 合，它的终边经过点 P 4 5， 3 5 ，则 tan()_，若角满足 tan() 1 2，则 tan _ 答案 3 4 2 11 解析由题意得 tan()tan 3 5 4 5 3 4 ，tan() tan tan 1tan tan tan 3 4 13 4tan 1 2，解得 tan 2 11. 三、解答题 11(1)求2sin 50sin 80（1 3tan 10） 12sin 50cos 50 的值； (2)已知 cos 41 3，cos 4 2 3 3 ， 0， 2 ， 2，0，求 cos 2 的 值 解(1)原式2si
23、n 50cos 10（1 3tan 10） （sin 50cos 50）2 2sin 50（cos 10 3sin 10） sin 50cos 50 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2sin 502（cos 60cos 10sin 60sin 10） sin 50cos 50 2sin 502cos 50 sin 50cos 50 2. (2)因为 0 2，则 4 4 3 4 ， 所以 sin 42 2 3 ， 又因为 20，则 4 4 20， 所以，
24、 0， 2 ，(0，)，从而有3 4 . (2)由上可得 cos()cos cos sin sin 2 2 . 由 tan tan 6，得 sin sin 6cos cos ， 解得 sin sin 3 2 5 ，cos cos 2 10， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故 cos()cos cos sin sin 7 2 10 . 能力提升题组 13(2020全国卷)已知 sin sin 3 1，则 sin 6 () A.1 2 B. 3 3 C.
25、2 3 D. 2 2 答案B 解析sin sin 3 3 2sin 3 2 cos 3sin 6 1，sin 6 3 3 ，故选 B. 14设，0，且满足 sin cos cos sin 1，则 sin(2)sin(2)的取值范围为() A 2，1B1， 2 C1，1D1， 2 答案C 解析sin cos cos sin 1，sin()1， ，0， 2，由 0， 0 2 2， sin(2)sin(2)sin 2 2 sin(2)cos sin 2sin 4 ， 2， 3 4 4 5 4 ，1 2sin 4 1，即所求的取值范围是1，1，故选 C. 15已知 cos 1 7，cos() 13 1
26、4，且 0 2，则_ 答案 3 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析由 cos 1 7，0 2， 得 sin 1cos21 1 7 2 4 3 7 ， 由 0 2，得 0 2， 又cos()13 14， sin() 1cos2（）1 13 14 2 3 3 14 . 由()，得 cos cos() cos cos()sin sin() 1 7 13 14 4 3 7 3 3 14 1 2. 3. 16已知 sin 3 sin 4 3 5 ， 20，则
27、cos 的值为_ 答案 3 34 10 解析由 sin 3 sin 4 3 5 ，得 3 2sin 3 2 cos 3sin 6 4 3 5 ， sin 6 4 5. 又 20，所以 3 6 6， 于是 cos 6 3 5. 所以 cos cos 6 6 cos 6 cos 6sin 6 sin 6 3 5 3 2 4 5 1 2 3 34 10 . 17(2021浙江名师预测卷一)函数 f(x)2cos2x2sin xcos x1. (1)求方程 f(x) 2 2 的解； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源
28、大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)若 x 4， 2 时，有 f(x) 2 4 ，求 sin 2x 的值 解(1)由题意得 f(x)cos 2xsin 2x 2sin 2x 4 2 2 ， 即 sin 2x 4 1 2， 所以 2x 4 62k或 2x 4 5 6 2k(kZ)， 所以 xk 24或 xk 7 24(kZ) (2)因为 f(x) 2 4 ，所以 sin 2x 4 1 4. 又因为 x 4， 2 ，所以3 4 2x 4 5 4 ， 则 cos 2x 4 15 4 ， 所以 sin 2xsin 2x 4 4 2 30 8 . 18已知向量 a(cos ，s
29、in )，b(2，1) (1)若 ab，求sin cos sin cos 的值； (2)若|ab|2， 0， 2 ，求 sin 4 的值 解(1)由 ab 可知，ab2cos sin 0， 所以 sin 2cos ， 所以sin cos sin cos 2cos cos 2cos cos 1 3. (2)由 ab(cos 2，sin 1)可得， |ab| （cos 2）2（sin 1）2 64cos 2sin 2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即 12cos sin 0. 又 cos2sin21，且 0， 2 ， 所以 sin 3 5，cos 4 5. 所以 sin 4 2 2 (sin cos ) 2 2 3 5 4 5 7 2 10 .
