1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 7 节函数的图象与变换 知 识 梳 理 1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、 单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小 值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x)的图象 关于 x 轴对称yf(x)的图象； yf(x)的图象 关于 y 轴对
2、称yf(x)的图象； yf(x)的图象 关于原点对称yf(x)的图象； yax(a0，且 a1)的图象 关于直线 yx 对称ylog ax(a0，且 a1)的图象. (3)伸缩变换 yf(x) 纵坐标不变 各点横坐标变为原来的1 a（a0）倍 yf(ax). yf(x) 横坐标不变 各点纵坐标变为原来的 A(A0)倍yAf(x). (4)翻转变换 yf(x)的图象 x 轴下方部分翻折到上方 x 轴及上方部分不变 y|f(x)|的图象； yf(x)的图象 y 轴右侧部分翻折到左侧 原 y 轴左侧部分去掉，右侧不变yf(|x|)的图象. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031
3、380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1.记住几个重要结论 (1)函数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线 xa 对称. (2)函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称. (3)若函数 yf(x)对定义域内任意自变量 x 满足：f(ax)f(ax)，则函数 yf(x) 的图象关于直线 xa 对称. 2.明确一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称的不同，前 者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系. 3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的
4、精确，注重数形结合思想的运 用. 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. (1)函数 yf(1x)的图象，可由 yf(x)的图象向左平移 1 个单位得到.() (2)函数 yf(x)的图象关于 y 轴对称即函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对 称.() (3)当 x(0，)时，函数 yf(|x|)的图象与 y|f(x)|的图象相同.() (4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对 称.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)yf(x)的图象向左平移 1 个单位得到 yf(1x)的图象，故(1)错. (2)两种说法有本质不同
5、，前者为函数的图象自身关于 y 轴对称，后者是两个函数 的图象关于 y 轴对称，故(2)错. (3)令 f(x)x，当 x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两函数图象不同， 故(3)错. 2.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 yex关于 y 轴对称， 则 f(x)的解析式为() A.f(x)ex 1 B.f(x)ex 1 C.f(x)e x1 D.f(x)e x1 答案D 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析依
6、题意，与曲线 yex关于 y 轴对称的曲线是 ye x，于是 f(x)相当于 y e x 向左平移 1 个单位的结果，f(x)e (x1)ex1. 3.(2021浙江五校联考)函数 f(x) 1 2 |x| x22 的图象可能是() 答案D 解析由函数解析式 f(x) 1 2 |x| x22 知， 函数 f(x)在定义域 R 上为偶函数.因为 yx22 的对称轴为 y 轴，且当 x0 时，yx22 为减函数，所以 f(x)为减 函数，故选 D. 4.函数 y1xsin x x2 的部分图象大致为() 答案D 解析法一易知 g(x)xsin x x2 为奇函数，故 y1xsin x x2 的图象
7、关于点(0，1) 对称，排除 C；当 x(0，1)时，y0，排除 A；当 x时，y1，排除 B，选 项 D 满足. 法二当 x1 时，f(1)11sin 12sin 12，排除 A，C；又当 x时， y，排除 B，而 D 满足. 5.若关于 x 的方程|x|ax 只有一个解，则实数 a 的取值范围是_. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案(0，) 解析在同一个坐标系中画出函数 y|x|与 yax 的图象，如 图所示.由图象知当 a0 时，方程|x|a
8、x 只有一个解. 6.已知函数 f(x)2x， 若函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于 x 轴对 称，则 g(x)_；若把函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位后，所得函数的解析式为 h(x)_. 答案2x2x 14 解析g(x)的图象与函数 f(x)2x的图象关于 x 轴对称， g(x)2x.把 f(x)2x 的图象向左平移 1 个单位，得 m(x)2x 1 的图象，再向下平移 4 个单位，得 h(x) 2x 14 的图象. 考点一作函数的图象 【例 1】 作出下列函数的图象： (1)y 1 2 |x| ；(2)y|log2(x1)|； (3)y2x1 x1
9、；(4)yx22|x|1. 解(1)先作出 y 1 2 x 的图象， 保留 y 1 2 x 图象中 x0 的部分， 再作出 y 1 2 x 的 图象中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y 1 2 |x| 的图象，如图实线部分. (2)将函数 ylog2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上 去，即可得到函数 y|log2(x1)|的图象，如图. (3)y2 1 x1，故函数图象可由 y 1 x图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个 单位即得，如图. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人
10、教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (4)y x22x1，x0， x22x1，x0， 且函数为偶函数， 先用描点法作出0， )上的图象， 再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图. 感悟升华画函数图象的一般方法 (1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些 函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到， 可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式 的影响. 【训练 1】 分别画出下列函数的图象： (1)y|lg x|；(2)y
11、sin |x|. 解(1)y|lg x| lg x，x1， lg x，0 x1 或 0a1 时，g(x)logax1 a单调递增，且 f(x)(xa) 3a1 的图象的对称中心在直 线 x1 的右侧，故 A 正确，B 错误；当 0a1 时，g(x)logax1 a单调递减，f(x) (xa)3a1 的图象的对称中心在直线 x1 的左侧，所以 C，D 均错. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 感悟升华(1)抓住函数的性质，定性分析 从函数的定义域， 判断图
12、象的左右位置； 从函数的值域， 判断图象的上下位置. 从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从周期性，判断图象的循环往复.从 函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)抓住函数的特征，定量计算 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. (3)对于两个函数的图象问题，要注意图象变换的灵活使用. 【训练 2】 (1)(2021衢州、湖州、丽水质检)函数 f(x)(exe x)ln |x|的图象大致 为() (2)函数 y2x2e|x|在2，2的图象大致为() 答案(1)D(2)D 解析(1)因为函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，其图象
13、关于 y 轴对称，故排除 B；因为 f(1)0，故排除 C；因为当 x0 时，f(x)，故排除 A，故选 D. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数，又 f(2)8e2(0，1)，排除 A，B.设 g(x)2x2ex，x0，则 g(x)4xex.又 g(0)0，g(2)0，g(x)在(0，2)内至 少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除 C，故 选 D. 考点三函数图象的
14、应用 角度 1判定函数中的参数 【例 31】 (2021北京丰台区模拟)如图，点 O 为坐标原点，点 A(1，1)，若函数 yax及 ylogbx 的图象与线段 OA 分别交于点 M，N，且 M，N 恰好是线段 OA 的两个三等分点，则 a，b 满足 () A.ab1B.baa1D.ab1 答案A 解析由题意知 A(1， 1)， 且 M， N 恰好是线段 OA 的两个三等分点， 所以 M 1 3， 1 3 ， N 2 3， 2 3 ，把 M 1 3， 1 3 代入函数 yax，即1 3a 1 3，解得 a 1 27，把 N 2 3， 2 3 代入函 数 ylogbx，即2 3log b2 3，
15、即得 b 2 3 3 22 6 9 ，所以 ab1. 角度 2研究函数的性质 【例 32】 (一题多解)设函数 f(x)min|x2|，x2，|x2|，其中 minx，y，z 表示 x，y，z 中的最小者.则下列说法错误的是() A.函数 f(x)为偶函数 B.若 x1，)时，有 f(x2)f(x) C.若 xR 时，f(f(x)f(x) D.若 x4，4时，|f(x)2|f(x) 答案D 解析法一如图，函数 f(x)为偶函数；作出函数 f(x)的图象，将 f(x)的图象向右 平移 2 个单位长度知 f(x2)的图象在1，)上的部分位于 f(x)的图象的下方， 则有 f(x2)f(x)；令 f
16、(x)u0，则由图象知 f(u)u，由排除法知 D 错误，故 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 选 D. 法二若 x4， 4， 则 0f(x)2， 故|f(x)2|2f(x)f(x)等价于 0f(x)1， 所以当 x4，4时，|f(x)2|f(x)不恒成立.否定一个结论，只需给出一个反例 即可.取 x4，则|f(4)2|0f(4)，D 错误，故选 D. 角度 3研究方程的根 【例 33】 (1)(2020杭州三校三联)若函数 f(x)|2x2|b 有两个
17、零点，则实数 b 的取值范围是_. (2)若 x1满足 2x2x5，x2满足 2x2log2(x1)5，则 x1x2() A.5 2 B.3C.7 2 D.4 答案(1)(0，2)(2)C 解析(1)在同一平面直角坐标系中画出 y|2x2|与 yb 的图象，如图所示. 当 0b2 时，两函数图象有两个交点，从而函数 f(x)|2x 2|b 有两个零点. b 的取值范围是(0，2). (2)2x52x，2log2(x1)52x，即 2x 15 2x，log 2(x1)5 2x，作出 y2 x 1， y5 2x，ylog 2(x1)的图象(如图). 由图知 y2x 1 与 ylog2(x1)的图象
18、关于 yx1 对称，它们与 y5 2x 的交点 A，B 的中点为 y5 2x 与 yx1 的交点 C，x Cx 1x2 2 7 4， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 x1x27 2. 角度 4求不等式的解集 【例 34】 (2020北京卷)已知函数 f(x)2xx1，则不等式 f(x)0 的解集是 () A.(1，1)B.(，1)(1，) C.(0，1)D.(，0)(1，) 答案D 解析在同一平面直角坐标系中画出 h(x)2x，g(x)x1 的图象如图
19、.由图象得 交点坐标为(0，1)和(1，2). 又 f(x)0 等价于 2xx1， 结合图象，可得 x0 或 x1. 故 f(x)0 的解集为(，0)(1，).故选 D. 感悟升华(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如图象 的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称 性对应奇偶性. (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为 两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合 求解. (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作 出时，常将不等式问题转化为两函数
20、图象的上、下关系问题，从而利用数形结合 求解. 【训练 3】(1)(角度 1)已知函数 f(x)|log3x|， 实数 m， n 满足 0mn， 且 f(m)f(n)， 若 f(x)在m2，n上的最大值为 2，则 m_，n_. (2)(角度 3)已知当 x0，1时，函数 y(mx1)2的图象与 y xm 的图象有且 只有一个交点， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则正实数 m 的取值范围是_. (3)(角度 4)函数 f(x)是定义在4，4上的偶函数，
21、其在0，4上的图象如图所示， 那么不等式f（x） cos x 0 的解集为_. 答案(1)1 3 3(2)(0，13，) (3) 2，1 1， 2 解析(1) 如图，作出函数 f(x)|log3x|的图象，观察可知 0m10. 当 x 2，4时，ycos x0. 结合 yf(x)，x0，4上的图象知，当 1x 2时， f（x） cos x 0. 又函数 yf（x） cos x 为偶函数， 所以在4，0上，f（x） cos x 0 的解集为 2，1， 所以f（x） cos x 1， 若 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc 的取值范围是() A.(1，2017)B.(1
22、，2018)C.2，2 018D.(2，2018) 答案D 解析设 f(a)f(b)f(c)m，作出函数 f(x)的图象与直线 ym，如图所示，不妨 设 abc，当 0 x1 时，函数 f(x)的图象与直线 ym 的交点分别为 A，B，由 正弦曲线的对称性，可得 A(a，m)与 B(b，m)关于直线 x1 2对称，因此 ab1， 令 log2 017x1，解得 x2 017，结合图象可得 1c2 017，因此可得 2abc0 解析当1x0 时，设解析式为 ykxb(k0). 则 kb0， b1， 得 k1， b1，yx1. 当 x0 时，设解析式为 ya(x2)21(a0). 图象过点(4，0
23、)，0a(42)21，得 a1 4. 8.(2021绍兴适应性考试)已知函数 f(x) 2x3，x0， x2，x0. 若 a0，b0，且 f(a) f(b)，则 f(ab)的取值范围是_. 答案1，) 解析在平面直角坐标系内画出函数 f(x)的图象如图所示，由 图易得要使 a0，b0，f(a)f(b)，则 a0，b3 2，且 2b3a2，则 b3a 2 2 ，则 aba3a 2 2 1 2(a 1)21，当 a0 时，ab1 2(a1) 21(，1，所 以 f(ab)2(ab)31，). 9.函数 y2 x1 2x1为_函数(填“奇”或“偶”)，函数 f(x) 2 2x11 的对称 中心为_.
24、 答案奇(0，2) 解析y2 x1 2x1的定义域为 R， 记 g(x) 2x1 2x1， 则 g(x) 2 x1 2 x1 12x 2x1g(x)， g(x)即 y2 x1 2x1是奇函数；函数 f(x)的定义域为 R，f(x)f(x) 2 2 x11 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2 2x11 2（2x1） 2x1 24，故 f(x)的对称中心为(0，2). 10.(2021台州评估)若函数 f(x) lg x，x0， |x22x|，x0，则 f
25、 f 10 10_； 不等式 f(x1)f(x)的解集为_. 答案 3 4 3 3 2 ，3 2 0，) 解析f 10 10 lg 10 10 1 2，所以 f f 10 10f 1 2 3 4.作出函数 yf(x)与 yf(x 1)的图象如图所示，易得两图象的交点横坐标分别为3 3 2 ，3 2，则不等式 f(x1)f(x)的解集为 3 3 2 ，3 2 0，). 三、解答题 11.已知函数 f(x) 3x2，x1，2， x3，x（2，5. (1)在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象； (2)写出 f(x)的单调递增区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时 f(x)有最值. 解
26、(1)函数 f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 函数 f(x)的单调递增区间为1，0，2，5. (3)由图象知当 x2 时，f(x)minf(2)1， 当 x0 时，f(x)maxf(0)3. 12.已知 f(x)|x24x3|. (1)作出函数 f(x)的图象； (2)求函数 f(x)的单调区间，并指出其单调性； (3)求集合 Mm|使方程 f(x)m 有四个不相等的实根. 解(1)当 x24x30 时，x1
27、 或 x3， f(x) x24x3，x1 或 x3， x24x3，1x3， f(x)的图象为： (2)由函数的图象可知 f(x)的单调区间是(，1，(2，3)，(1，2，3，)，其 中(，1，(2，3)是减区间；(1，2，3，)是增区间. (3)由 f(x)的图象知，当 0m1 时，f(x)m 有四个不相等的实根，所以 M m|0m1. 能力提升题组 13.已知 yf(x)定义域为实数集 R，则函数 yf(1x)与 yf(x1)的图象关于 () A.直线 y0 对称B.直线 x0 对称 C.直线 y1 对称D.直线 x1 对称 答案D 解析假设 f(x)x2，则 f(x1)(x1)2，f(1x
28、)(1x)2(x1)2， 它们是同一个函数，此函数图象关于直线 x1 对称. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 14.已知函数 f(x) x22x1，x0， x22x1，x0， 则对任意 x1，x2R，若 0|x1|x2|，下列不 等式成立的是() A.f(x1)f(x2)0 C.f(x1)f(x2)0D.f(x1)f(x2)0 答案D 解析函数 f(x)的图象如图所示： 且 f(x)f(x)，从而函数 f(x)是偶函数且在0，)上是增函数. 又 0|x
29、1|f(x1)， 即 f(x1)f(x2)0. 15.已知函数 f(x) |x|2，x0，需满足 a2，所以2a2. 16.(2021龙湾中学检测)设函数 f(x) x3x，xa， x，xa， 若 f(x)无最大值，则实数 a 的 取值范围为_. 答案 ，2 3 9 解析一平面直角坐标系中画出 yx3x 与 yx 的大致图象如图所示，两个 图象相切于坐标原点， 且坐标原点是两函数图象的唯一交点.由图易得当直线 xa 处于点 2 3 9 ，2 3 9的右侧时，函数 f(x)存在最大值2 3 9 ；当直线 xa 处于点 2 3 9 ，2 3 9的左侧时，函数 f(x)无最大值，所以实数 a 的取值
30、范围为 ，2 3 9. 17.(2021嘉兴测试)已知函数 f(x) x2x，x1， log1 3x，x1， (1)若对任意的 xR，都有 f(x)|k1|成立，则实数 k 的取值范围为_； (2)若存在 xR，使|f(x)|k，则实数 k 的取值范围是_. 答案(1) ，3 4 5 4，(2)0，) 解析(1)对任意 xR，都有 f(x)|k1|成立， 即 f(x)max|k1|. 因为 f(x)的草图如图所示， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 观察
31、 f(x) x2x，x1， log1 3x，x1 的图象可知，当 x1 2时，f(x) max1 4， 所以|k1|1 4，解得 k 3 4或 k 5 4. (2)|f(x)|的图象如图所示，且|f(x)|0，)，存在 xR，使|f(x)|k，故 k 的取 值范围是0，). 18.已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)x1 x2 的图象关于点 A(0，1)对称. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若 g(x)f(x)a x，g(x)在区间(0，2上的值不小于 6，求实数 a 的取值范围. 解(1)设 f(x)图象上任一点坐标为(x，y)， 点(x，y)关于点 A(0，1)的对称点(x，2y)在 h(x)的图象上， 2yx 1 x2，yx 1 x，即 f(x)x 1 x. (2)由题意 g(x)xa1 x ， 且 g(x)xa1 x 6，x(0，2. x(0，2，a1x(6x)， 即 ax26x1. 令 q(x)x26x1，x(0，2， q(x)x26x1(x3)28， 当 x(0，2时，q(x)是增函数，q(x)maxq(2)7. 故实数 a 的取值范围是7，).
