1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 8 节直线与抛物线的位置关系 知 识 梳 理 1直线与抛物线的位置关系(1)直线 xa 与抛物线 y22px(p0)，当 a0 时相交 (2)直线 yb 与抛物线 y22px(p0)相交(只有一个公共点是交点) (3)直线 ykxb(k0)时，由 ykxb， y22px（p0） ，消去 x 整理得 ky 22py2bp0， 4p(p2bk)，当 p2bk 时，相交 2抛物线的切线 (1)过抛物线外一点的直线中，有两条
2、直线与抛物线相切 (2)过抛物线上一点的直线中，只有一条直线与抛物线相切 (3)过抛物线内一点的直线与抛物线均相交 3若直线与抛物线有两个交点，其弦长公式与椭圆的弦长公式相同 抛物线的焦点弦及通径 AB 是抛物线 y22px(p0)过焦点 F 的一条弦设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)|AF|x1p 2，|BF|x 2p 2，|AB|x 1x2p； (2)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2p 2 4 ，y1y2p2； (3)若直线 AB 的倾斜角为，则|AF| p 1cos ，|BF| p 1cos ，|AB| 2p sin2， 1 |AF| 1 |BF
3、| 2 p，S OAB p2 2sin . 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线不一定是抛物线的切线() (2)过抛物线内部一点的所有直线都与抛物线相交() (3)直线与抛物线相交，则一定有弦长() (4)抛物线 y24x 在点(1，2)处的切线方程为 xy10.() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案(1)(2)(3)(4) 解析(3)当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，只有一个交点，弦长不存在 2 过抛
4、物线 x28y 的焦点的直线 l 与圆 x2y21 相切， 则直线 l 的斜率是() A. 3B 3 3 C 3 3 D 3 答案D 解析由题可知抛物线的焦点坐标为(0，2)，设直线 l：ykx2，则 |2| 1k21， 解得 k 3，故选 D. 3过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1x26，则|PQ|() A9B8C7D6 答案B 解析抛物线 y24x 的焦点为 F(1，0)，准线方程为 x1.根据题意可得，|PQ| |PF|QF|x11x21x1x228.故选 B. 4(2021金华一中月考)过抛物线 y22px(p0)焦点的
5、直线与抛物线交于 A，B 两 点，|AB|3，且 AB 中点的纵坐标为1 2，则 p 的值为_ 答案 3 5 4 解析由题可得，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y21.因为直线 AB 过焦点，所 以设 AB：xmyp 2.所以由 xmyp 2， y22px， 可得 y22pmyp20，所以 y1y22pm 1，所以 m 1 2p.所以|AB|x 1x2pm(y1y2)2p 1 2p2p3，即 4p 26p 10，解得 p3 5 4 . 5(2018北京卷)已知直线 l 过点(1，0)且垂直于 x 轴若 l 被抛物线 y24ax 截得 的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_ 答案
6、(1，0) 解析由题意知，a0，对于 y24ax，当 x1 时，y2 a，由于 l 被抛物线 y2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4ax 截得的线段长为 4，所以 4 a4，所以 a1，所以抛物线的焦点坐标为(1， 0) 6若线段 AB 是抛物线 y2x 的一条焦点弦且|AB|4，则线段 AB 的中点 C 到直 线 x1 20 的距离为_ 答案 9 4 解析抛物线 y2x 的焦点 F 1 4，0，准线 x1 4，设 A(x 1，y1)，B(x2，y2
7、)，由题 意|AB|x11 4x 21 4x 1x21 24，x 1x27 2，中点 C 的横坐标为 7 4， 点 C 到直线 x1 20 的距离为 7 4 1 2 9 4. 考点一直线与抛物线位置关系的判断 【例 1】 已知抛物线 y24x，直线 l 过点 P(2，1) (1)当直线 l 的斜率 k 为何值时，直线 l 与抛物线分别有一个公共点，两个公共点， 没有公共点？ (2)写出过点 P 的抛物线的切线方程 解(1)当 k0 时，直线 y1 与 x 轴平行，此时直线与抛物线只有一个公共点； 当 k0 时，设直线 l 的方程为 y1k(x2)， 联立 y1k（x2） ， y24x， 得 k
8、2x2(4k22k4)x(2k1)20， (4k22k4)24k2(2k1)216(2k2k1)， 当0 时，k1 或1 2，直线 l 与抛物线有一个公共点； 当0 时，1k1 2且 k0，直线 l 与抛物线有两个公共点； 当1 2或 k1，直线 l 与抛物线没有公共点 综上，当 k0 或 k1 或 k1 2时直线 l 与抛物线有一个公共点；当1k1 2或 k0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1：yx 的一个交点的横坐标为 8. (1)求抛物线 C 的方程； (2)不过原点的直线 l2与 l1垂直，且与抛物线交于不同的两点 A，B，若线段 AB 的 中点为 P，且|OP|PB|，求FAB
9、 的面积 解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)， (8)22p8，2p8， 抛物线方程为 y28x. (2)直线 l2与 l1垂直，故可设直线 l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2 与 x 轴的交点为 M. 由 y28x， xym，得 y 28y8m0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 6432m0，m2.y1y28，y1y28m， x1x2y 2 1y22 64 m2. 由题意可知 OAOB，即 x1x2y1y2m
10、28m0， m8 或 m0(舍)， 直线 l2：xy8，M(8，0) 故 SFABSFMBSFMA1 2|FM|y 1y2| 3 （y1y2）24y1y224 5. 感悟升华(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点， 若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一 般弦长公式 (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “设而不求”“整体代入”等解法 (3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解 【训练 2】 (2019全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为
11、A，B，与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|BF|4，求 l 的方程； (2)若AP 3PB，求|AB|. 解设直线 l：y3 2xt，A(x 1，y1)，B(x2，y2) (1)由题设得 F 3 4，0，故|AF|BF|x1x23 2. 又|AF|BF|4，所以 x1x25 2. 由 y3 2xt， y23x 可得 9x212(t1)x4t20， 由144(12t)0，得 t0) 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8. (2)由AP 3 PB可得 y13y2. 由 y3 2xt， y23x 可得 y22y2t0，其48t0， 所以 y1y22，从而3y2y22，故 y21，y13.
12、代入 C 的方程得 x13，x21 3. 所以 A(3，3)，B 1 3，1， 故|AB|4 13 3 . 考点三直线与抛物线位置关系的应用 【例 3】 (2015浙江卷)如图，已知抛物线 C1：y1 4x 2，圆 C2：x2(y1)21， 过点 P(t，0)(t0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1和圆 C2相切，A， B 为切点 (1)求点 A，B 的坐标； (2)求PAB 的面积 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直 线与抛物线相切，称该公共点为切点 解(1)由题意知直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程为 yk(xt) 由
13、 yk（xt） ， y1 4x 2 消去 y ，整理得 x24kx4kt0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由于直线 PA 与抛物线相切，得 kt， 因此点 A 的坐标为(2t，t2) 设圆 C2的圆心为 D(0，1)，点 B 的坐标为(x0，y0)， 由题意知点 B，O 关于直线 PD 对称，故 y0 2 x0 2t1， x0ty00， 解得 x0 2t 1t2， y0 2t2 1t2. 因此点 B 的坐标为 2t 1t2， 2t2 1t2. (2
14、)由(1)知|AP|t 1t2和直线 PA 的方程 txyt20， 点 B 到直线 PA 的距离是 d t2 1t2， 设PAB 的面积为 S(t)， 所以 S(t)1 2|AP|d t3 2. 感悟升华研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆 锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含 x2项的系数是否为零 的情况，以及判别式的应用但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形 结合的方法求解 【训练 3】 (2021绍兴适应性考试)如图，直线 l：xty10 和抛物线 C：y2 4x 相交于不同两点 A，B. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 32
15、3031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求实数 t 的取值范围； (2)(一题多解)设 AB 的中点为 M，抛物线 C 的焦点为 F.以 MF 为直径的圆与直线 l 相交于另一点 N，且满足|MN| |MF| 2 2 3 ，求直线 l 的方程 解(1)由 xty10， y24x， 消去 x 得 y24ty40，(4t)2160， 解得 t1 或 t1， 即 t(，1)(1，) (2)法一 |MN| |MF| 2 2 3 等价于|NM|2 2|NF|. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0
16、)， 由(1)得 y1y24t，x1x24t22， 所以 x0 x1x2 2 2t21，y0y1y2 2 2t， 即 M(2t21，2t) 又直线 FN：ytxt，与 xty10 联立， 解得 N t21 t21， 2t t21 ， 所以|NM|2 t21 t212t 212 2t t212t 2 t21（t21） （2t21） t21 2 2t3 t21 2 4t84t6 （t21）2 4t6 t21.又|NF| 2 4 1t2， 则由|NM|2 2|NF|，得 4t6 t21 32 t21， 解得 t 2. 所以直线 l 的方程为 x 2y10. 法二 |MN| |MF| 2 2 3 等价
17、于|MF|3|NF|， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由法一中 M(2t21，2t)，|NF|2 4 1t2， |MF|2(2t22)2(2t)24t44t24， 所以 t4t21 9 1t2， 即(1t2)(t4t21)9， 化简得 t619，得 t68，t 2. 所以直线 l 的方程为 x 2y10. 法三设直线 l 的方向向量为 l(t，1)， 由(1)得FM FA FB 2 x1x2 2 1，y1y2 2(2t22，2t)， 则|NM|FM
18、l| |l| |（2t 22）t2t| 1t2 2|t|3 1t2， 又|NF|2 4 1t2， 由|NM|2 2|NF|，得|t|32 2，t 2， 所以直线 l 的方程为 x 2y10. 基础巩固题组 一、选择题 1 (2020全国卷)设 O 为坐标原点， 直线 x2 与抛物线 C： y22px(p0)交于 D， E 两点，若 ODOE，则 C 的焦点坐标为() A. 1 4，0B. 1 2，0C(1，0)D(2，0) 答案B 解析将 x2 与抛物线方程 y22px 联立， 可得 y2 p， 不妨设 D(2，2 p)，E(2，2 p)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 32
19、3031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由 ODOE，可得OD OE 44p0，解得 p1， 所以抛物线 C 的方程为 y22x.其焦点坐标为 1 2，0.故选 B. 2已知斜率为1 2的直线经过抛物线 x 28y 的焦点，且与抛物线相交于 A，B 两点， 则线段 AB 的长是() A6B8C10D12 答案C 解析抛物线 x28y 的焦点为(0，2)，直线 AB 的方程为 y21 2x，设 A(x 1，y1)， B(x2，y2)，由 x2y40， x28y 消去 x 整理得 y26y40，y1y26，|AB|
20、y1 y2p6410. 3(2021云南统检一)已知 M 是抛物线 C：y22px 上的任意一点，以 M 为圆心 的圆与直线 x1 相切且经过点 N(1， 0)， 设斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 P， Q 两点，则线段 PQ 的中点的纵坐标为() A2B4C6D8 答案A 解析由于 M 为 y22px 上任意一点且以 M 为圆心的圆与直线 x1 相切且经 过点 N(1，0)，根据抛物线的定义可知 N 为抛物线的焦点，故p 21，p2，所以 抛物线方程为 y24x.设斜率为 1 的直线的方程为 yxb， 则 xyb， 代入抛物 线方程得 y24(yb)，即 y24y4b0，所以 y1y2
21、4， y1y2 2 4 22.即 PQ 中 点的纵坐标为 2，故选 A. 4(一题多解)(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2，0)且 斜率为2 3的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN ( ) A5B6C7D8 答案D 解析法一过点(2，0)且斜率为 2 3 的直线的方程为 y 2 3 (x2)，由 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 y2 3（x2） ， y24x 得 x25x40，解得 x1 或 x4，所以 x1，
22、y2 或 x4， y4. 不妨 设 M(1，2)，N(4，4)，易知 F(1，0)，所以FM (0，2)，FN (3，4)，所以FM FN 8.故选 D. 法二过点(2，0)且斜率为2 3的直线的方程为 y 2 3(x2)，由 y2 3（x2） ， y24x， 得 x25x40.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y10，y20，根据根与系数的关系，得 x1x25， x1x24.易知 F(1， 0)， 所以FM (x11， y1)， FN (x21， y2)， 所以FM FN (x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)14 x1x245188.故选 D. 5(2021大庆二模)已
23、知 F 是抛物线 C：y22px(p0)的焦点，过点 R(2，1)的直 线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，R 为线段 AB 的中点，若|FA|FB|5，则直线 l 的斜率为() A3B1C2D.1 2 答案B 解析由于 R(2，1)为 AB 中点，根据抛物线的定义|FA|FB|xAxBp22 p5，解得 p1，抛物线方程为 y22x.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y212x1， y222x2，两式相减并化简得y2y1 x2x1 2 y1y2 2 211，即直线 l 的斜率为 1，故选 B. 6设抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 P(5，0)的直线与抛物线相交于 A，B
24、 两点， 与抛物线的准线相交于点 C，若|BF|5，则BCF 与ACF 的面积之比S BCF SACF () A.5 6 B.20 33 C.15 31 D.20 29 答案D 解析由题意直线 AB 的斜率存在，则由抛物线的对称性不妨设其方程为 yk(x 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 5)，k0，与抛物线的准线 x1 联立得点 C 的坐标为(1，6k)，与抛物线 的方程 y24x 联立，消去 y 得 k2x2(10k24)x25k20，则 xAxB1
25、0k 24 k2 ， xAxB25，又因为|BF|xB15，所以 xB4，代入解得 xA25 4 ，k4，则 yA5， yB4，yC24，则 SACF1 2|PF|y AyC|58，SABF 1 2|PF|y AyB|18，则S BCF SACF1 SABF SACF 20 29，故选 D. 二、填空题 7已知抛物线方程为 y28x，若过点 Q(2，0)的直线 l 与抛物线有公共点，则 直线 l 的斜率的取值范围是_ 答案1，1 解析设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2(4k2 8)x4k20，当 k0 时，显然满足题意；当 k0 时，(4k28)24
26、k24k2 64(1k2)0，解得1k0 或 0k1，因此 k 的取值范围是1，1 8(2021北仑中学模拟)已知抛物线 yx2上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 y x3 2对称，则 x 1x2_ 答案1 2 解析因为 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 yx3 2对称，不妨设 AB：xyt，与 抛物线 yx2联立，消元化简可得 x2xt0，所以 x1x21，x1x2t.所以 可知线段 AB 中点坐标为 1 2，1在直线 AB：xyt 上，所以1 21t 1 2，所 以 x1x2t1 2. 9设直线 l：ykx1 经过抛物线 x22py(p0)的焦点 F，则 p_；已
27、知 Q，M 分别是抛物线及其准线上的点，若MQ 2QF ，则|MF|_ 答案24 解析焦点 F 在 y 轴上， ykx1 经过焦点， 则 F(0， 1)， 即p 21， p2. |MQ| |MF| yQ1 yF1 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 yQ1 2 2 3，解得 y Q1 3，所以|QF|y Q14 3，|MQ|2|QF| 8 3，所以|MF|MQ| |QF|4. 10如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交
28、其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_ 答案y23x 解析设 A，B 在准线上的射影分别为 A1，B1， 由于|BC|2|BF|2|BB1|，则直线的斜率为 3， 故|AC|2|AA1|6，从而|BF|1，|AB|4， 故 p |AA1| |CF| |AC| 1 2，即 p 3 2，从而抛物线的方程为 y23x. 三、解答题 11 (一题多解)求抛物线x2y上到直线2xy40的距离最小时的点P的坐标 解法一设点 P(x， y)， 则 x2y， P 到直线 2xy40 的距离为 d|2xy4| 5 5 5 |2xx24| 5 5 (x1)23，所以当 x1
29、 时，d 最小，所以 P(1，1) 法二设与 2xy40 平行的直线与抛物线切于(x0，y0)，y2x，则 y|xx0 2x02，x01，y01，切点(1，1)到直线 2xy40 的距离最小，P 的坐 标为(1，1) 12在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2 2px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求|OH| |ON|； (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由 解(1)由已知得 M(0，t)，P t2 2p，t， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
30、群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N t2 p，t， 故 ON 的方程为 yp t x， 将其代入 y22px 整理得 px22t2x0，解得 x10，x22t 2 p ，因此 H 2t2 p ，2t .所以 N 为 OH 的中点，即|OH| |ON|2. (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线 MH 的方程为 yt p 2tx，即 x 2t p (yt) 代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t， 即直
31、线 MH 与 C 只有一个公共点， 所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它公共点 能力提升题组) 13斜率为 k 的直线 l 过抛物线 y22px(p0)焦点 F，交抛物线于 A，B 两点，点 P(x0，y0)为 AB 的中点，作 OQAB，垂足为 Q，则下列结论中不正确的是() Aky0为定值 B.OA OB 为定值 C点 P 的轨迹为圆的一部分 D点 Q 的轨迹为圆的一部分 答案C 解析由题意得直线 l 的方程为 yk xp 2 ，与抛物线方程联立，消去 y 得 k2x2 (k22)pxp 2k2 4 0，则 xAxB（k 22）p k2 ，xAxBp 2 4 ，则 yAyBk xA
32、p 2 k xBp 2 2p k ，yAyBk xAp 2 k xBp 2 p2，则 ky0kyAyB 2 p 为定值，A 正 确；OA OB xAxByAyBp 2 4 p23p 2 4 为定值，B 正确；因为 x0 xAxB 2 （k22）p 2k2 ，y0yAyB 2 p k，联立两式消去 k 化简得 2y 2 02px0p20，易得此时 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 点 P 的轨迹不是圆的一部分，C 错误；因为 OQAB，所以 OQQF，则点
33、 Q 在 以 OF 为直径的圆上，D 正确综上所述，故选 C. 14(2021杭州四中仿真)已知 a，b 为实常数，ci(iN*)是公比不为 1 的等比数 列，直线 axbyci0 与抛物线 y22px(p0)均相交，所成弦的中点为 Mi(xi， yi)，则下列说法错误的是() A数列xi可能是等比数列 B数列yi是常数列 C数列xi可能是等差数列 D数列xiyi可能是等比数列 答案C 解析当 a0，b0 时，直线 axbyci0 为 byci0，其与抛物线 y22px 只有一个交点， 不符合题意；当 a0， b0 时， 直线 axbyci0 为 axci0， 易得此时 xici a，y i0
34、，则 xiyici a，则由数列c i是公比不为 1 的等比数列 得数列xi是等比数列，数列yi是常数数列，数列xiyi是等比数列；当 a0， b0，直线 axbyci0 与抛物线方程 y22px 联立易得 xipb 2 a2 ci a，y ipb a ， 此时数列xi既不是等比数列，也不是等差数列，数列yi是常数数列，数列xi yi既不是等比数列，也不是等差数列综上所述，数列xi不可能为等差数列， 故选 C. 15(一题多解)(2018全国卷)已知点 M(1，1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦 点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB90，则 k_ 答案2 解析法一由题
35、意知抛物线的焦点为(1，0)，则过 C 的焦点且斜率为 k 的直线 方程为 yk(x1)(k0)，由 yk（x1） ， y24x， 消去 y 得 k2(x1)24x，即 k2x2(2k2 4)xk20， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1x22k 24 k2 ， x1x21.由 yk（x1） ， y24x， 消去 x 得 y24 1 ky1，即 y24 ky40，则 y 1y24 k，y 1y24，则AMB 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加
36、入与分享 90，得MA MB (x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2) 10，将 x1x22k 24 k2 ，x1x21 与 y1y24 k，y 1y24 代入，得 k2. 法二设抛物线的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y214x1， y224x2，所以 y 2 1y224(x1 x2)，则 ky1y2 x1x2 4 y1y2，取 AB 的中点 M(x 0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x 1 的垂线，垂足分别为 A，B，又AMB90，点 M 在准线 x1 上，所 以|MM|1 2|AB| 1 2(|AF|BF|) 1 2(|AA|BB
37、|)又 M为 AB 的中点，所以 MM平 行于 x 轴，且 y01，所以 y1y22，所以 k2. 16已知直线 l：yk(x2)与抛物线 C：y28x 交于 A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若|AF|3|BF|，则直线 l 的倾斜角为_，|AB|_. 答案 3或 2 3 32 3 解析由已知直线 l 过抛物线的焦点 F，如图，设 A，B 两点在抛物线的准线上的 射影分别为 E，F.过 B 作 AE 的垂线 BC，在ABC 中，BAC 等于直线 AB 的倾 斜角，其正切值即为 k 值设|BF|n，则|AF|3n.根据抛物线的定义得：|AE| 3n，|BF|n，|AC|2n.在 RtAB
38、C 中，tanBAC 16n24n2 2n 3，kAB kAF 3. 直线 l 的倾斜角为 3.根据对称性，直线 l 的倾斜角为 2 3 时也满足题意设直线 l 交准线于点 P，则 |AE|1 2|PA|，故 F 是 PA 中点，|AE|8， |AB|AF|BF|4 3|AF| 4 3|AE| 32 3 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 17(2021北京顺义区二模)已知 M，N 为抛物线 C：y24x 上两点，M，N 的纵 坐标之和为 4，O 为坐
39、标原点 (1)求直线 MN 的斜率； (2)若点 B(2，0)满足OBMOBN，求此时直线 MN 的方程 解(1)设 M(x1，y2)，N(x2，y2)，则依题意可知 y214x1，y224x2， 相减可得 y21y224x14x2，即(y1y2)(y1y2)4(x1x2)， 又 y1y24，所以 ky1y2 x1x21， 即直线 MN 的斜率为 1. (2)由(1)知直线 MN 的斜率为 1，所以可设直线 MN 的方程为 yxa. 当 M(x1，y1)，N(x2，y2)在 x 轴异侧时， 由OBMOBN 知 kBMkBN0， 又 kBM y1 x12，k BN y2 x22， 所以 y1 x
40、12 y2 x220， 即y1（x22）y2（x12） （x12） （x22） 0， 又 y1x1a，y2x2a，所以(x1a)(x22)(x2a)(x12)0， 化简得 2x1x2(a2)(x1x2)4a0， 联立方程组 yxa， y24x， 消去 y 得 x2(2a4)xa20， 所以 x1x242a，x1x2a2， 代入式可得 a2， 所以直线 MN 的方程为 yx2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 M(x1，y1)，N(x2，y2)在 x
41、 轴同侧时 由OBMOBN 知 kBMkBN， 即直线 MN 过点 B，所以此时直线方程为 yx2， 经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去， 综上可知，直线 MN 的方程为 yx2. 18(2021浙江“超级全能生”联考)已知点 F 1 4，0，点 M 在 y 轴上，点 N 在 x 轴上，且NM MP ，NMMF.当点 M 在 y 轴上运动时，点 P 的轨迹记为曲线 C. (1)求曲线 C 的轨迹方程； (2)过曲线 C 上一点 E 作圆 Q：(x5)2y21 的两条切线，交曲线 C 于 A，B 两 点，若直线 EQ 垂直于直线 AB，求 EFQ 的面积 解(1)设点 P(x，y)，则 M
42、0，y 2 ，N(x，0)， 所以FM 1 4， y 2 ，NM x，y 2 ， 因为 NMMF，所以x 4 y2 4 0，即 y2x(x0)， 所以曲线 C 的轨迹方程为 y2x(x0) (2)由题知直线 EQ 的斜率不为 0，当直线 EQ 的斜率不存在时，由抛物线的特征 易知此时 EQ 不垂直 AB，故不合题意； 当直线 EQ 的斜率存在时，记 E(y20，y0)，A(y21，y1)，B(y22，y2)，Q(5，0)，则 kEA y0y1 y20y21 1 y0y1， 所以直线 EA 的方程为 yy1 1 y0y1(xy 2 1)， 即(y1y0)yxy1y00，由直线 EA 和圆 Q 相
43、切， 得 1 |5y1y0| （y1y0）21(1y 2 0)y218y0y1y20240， 同理可得(1y20)y228y0y2y20240， 所以 y1，y2是方程(1y20)y28y0yy20240 的两根， 故 y1y2 8y0 1y20， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以直线 AB 的斜率 kAB 1 y1y2 1y20 8y0 ， 又 kEQ y0 y205，由 EQAB 得 k ABkEQ1， 即 y2039 7 ， 所以 SEFQ1 2 51 4 39 7 19 273 56 .
