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2、如您遇到有关课件技术方面的问题，请打开网页 或致电010-58818058；有关内容方面的问题，请致电010-58818084。 新高考2 课前双基巩固课堂考点探究教师备用习题 第九单元 统计、统计案例 第 56 讲用样本估计总体 考试说明 1.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频 率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点. 2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合 理的解释. 4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总 体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想. 5.
3、会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实 际问题. 1.作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中与的差); (2)决定与; (3)将数据; (4)列; (5)画. 最大值 最小值 组距 组数 分组 频率分布表 频率分布直方图 2.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的,就得到 频率分布折线图. (2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时增加,减小,相 应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体 密度曲线. 3.茎叶图的优点 茎叶图的优点是不但可以保留所有信息,而且可以记录,这对数据的记
4、录和表示都能带来方便. 中点 所分的组数组距 随时 数字特征定义与求法优点与缺点 众数 一组数据中重复出现次 数的数 众数通常用于描述变量的值出现次数最 多的数,但它对其他数据信息的忽视比较 明显,使它无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按的 顺序排列,处在位置 的一个数据(或两个数据的 平均数) 中位数等分样本数据所占频率,它不受少 数几个极端值的影响,这在某些情况下是 优点,但它对极端值的不敏感有时也会成 为缺点 4.样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 最多 从小到大 中间 4.样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征定义与求法优点与缺点 平均数 平均数与每一个样
5、本数据有关,可以反映出 更多的关于样本数据全体的信息,但平均数 受数据中的极端值的影响较大,使平均数在 估计总体时可靠性降低 样本数据 样本平均数样本容量 1.教材改编已知某班级部分同学 一次测验的成绩如图9-56-1所示, 则其中位数为,众数为 . 题组一常识题 解析由茎叶图可知,此组数据由小到 大排列依次为 76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98, 99,101,103,114,故中位数为92,众数为 86. 92 86 图9-56-1 2.教材改编若k1,k2,k6的方差为3,则2(k1-3), 2(k2-3),2(k6-3)的方差为. 解析所求方差
6、为 223=12. 12 3.教材改编一所中学共有4000名学生,为了 引导学生树立正确的消费观,抽样调查学生 每天使用零花钱(取整数)的情况,分层抽取容 量为300的样本,作出频率分布直方图如图所 示,则在全校所有学生中,一天使用零花钱在 614元内的学生大约有人. 解析根据频率分布直方图得, 一天使用零花钱在614元内的 学生的频率是1- (0.02+0.03+0.03)4=1- 0.32=0.68,所以估计全校学生中, 一天使用零花钱在614元内的 大约有40000.68=2720(人). 2720 成绩/分12345 人数2010401020 4.教材改编从某项综合能力测试中抽取100
7、 人的成绩,统计如下,则这100个成绩的平均 数为. 3 题组二常错题 索引:频率分布直方图中识图不清致误;中位数、平均数、众数的概念混淆不清致误;标 准差、平均数的统计意义不清楚致误,分层抽样的均值和方差公式较为繁琐,计算过程中 要保证准确性. 5.对一批产品的质量(单位:克)进行抽样检测,样本容量为1600, 检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准,单件产品质 量在区间25,30)内为一等品,在区间15,20),20,25)和30,35) 内为二等品,其余为三等品,则样本中三等品的件数为. 解析由题意可知,单件产 品质量在10,15)和35,40) 内的为三等品,三等品对 应的频率为0
8、.012525= 0.125,三等品的件数为 16000.125=200. 200 6.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中 抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分 布直方图如图9-56-4所示,则这次测试数学成绩 的众数为,这次测试数学成绩的中位数 为(精确到0.1),这次测试数学成绩的平 均数为. 图9-56-4 甲127138130137135131 乙133129138134128136 探究点一频率分布直方图 例1 (1)(多选题)2020武汉模拟某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创 建文明城”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随
9、机抽取一个 容量为120的样本,发现所给数据均在40,100内.现将这些分数分成以下6组并画出样本的 频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图9-56-5所示.观察图形,则下列说法中正确 的是() A.第3组的频数为18 B.根据频率分布直方图估计众数为75分 C.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分 D.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 ABD 图9-56-5 思路点拨对于A,频率分布直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率,而频率 的和等于1,可求出第3组的频率;对于B,根据众数是频率分布直方图中最高矩形 的底边中点的横坐标即可得解;对于C,同一组数据常用该组区间的中点值
10、作为 代表,将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即可求出平均数;对于D,由 中位数将所有的小长方形的面积均分即可求解. 解析对于A,因为各组的频率之和等于1,所以第3组的频率为1- 10(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)=0.15,所以第3组的频数为1200.15=18, 故A中说法正确;对于B,因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的底 边中点的横坐标,所以从图中可看出众数的估计值为75分,故B中说法正确; (2)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水 龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头50天的
11、日用水量频数分布表 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量0, 0.1)0.1, 0.2)0.2, 0.3)0.3, 0.4)0.4, 0.5)0.5, 0.6)0.6, 0.7) 频数13249265 日用水量0, 0.1)0.1, 0.2)0.2, 0.3)0.3, 0.4)0.4, 0.5)0.5, 0.6) 频数151310165 作出使用了节水龙头50天的 日用水量数据的频率分布直方 图. 解: 估计该家庭使用节水龙头后, 日用水量小于0.35m3的概率. 解:根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50 天日用水量小于0.35m3的频率为 0.20.1+10.1+2.60.1
12、+20.05=0.48, 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3的概率的估计值为0.48. 思路点拨求出日用水量小于0.35m3对应的 频率,即为其对应的概率. 估计该家庭使用节 水龙头后,一年能节省 多少水?(一年按365天 计算,同一组中的数据 以这组数据所在区间 中点的值作代表) 思路点拨分别计算使用了节水龙头后和未使用节水 龙头的50天的日用水量的平均值,从而可以得出一年可 以节省多少水. 变式题 (1)2020广东实验中学月考某公司针对新购买的50000个手机配件的 重量随机抽出1000个进行检测,根据抽样检测后的重量(单位:克)数据绘制的频 率分布直方图如图9-56-7
13、所示,其中配件重量的范围是96,106,样本数据分组 为96,98),98,100),100,102),102,104),104,106.用样本估计总体,则下列说法 错误的是() A.这批配件重量的平均数约是101.3克 B.这批配件重量的中位数在100,101之间 C.a=0.125 D.这批配件重量在96,100)内的有15000个 B 图9-56-7 解析由图可知,(0.05+0.075+0.1+a+0.15)2=1,解得a=0.125,故C中说法正确; 估计手机配件的重量的平均数为970.1+990.2+1010.3+1030.25+ 1050.15=101.3(克),故A中说法正确;
14、设中位数为x,则0.1+0.2+(x-100) 0.15=0.5,可得x101.33,故B中说法错误;这批配件重量在96,100)内的有 500000.152=15000(个),故D中说法正确.故选B. (2)2020皖南八校摸底某校高三年 级有400名学生,在一次数学测试中,成 绩(单位:分)都在80,130内,其频率分 布直方图如图9-56-8所示,则这次数学 测试的成绩不低于100分的人数为 . 解析根据频率分布直方图知 (2a+0.04+0.03+0.02)10=1,解得 a=0.005,这次数学测试的成绩不低 于100分的频率为 (0.03+0.02+0.005)10=0.55,所以
15、这 次数学测试的成绩不低于100分的人 数为0.55400=220. 200 图9-56-8 ABD 图9-56-9 思路点拨由茎叶图判断a,b两个品种的胡萝卜所含的-胡萝卜素含量的平均 数、方差、众数、中位数即可. 总结反思茎叶图通常用来记录两位数的数据,可以用来分析单组数据,也可以 用来比较两组数据.通过茎叶图可以确定数据的中位数,数据大致集中在哪个茎, 数据是否关于该茎对称,数据分布是否均匀等.使用茎叶图时的两个注意点: (1)观察所有的样本数据,弄清图中数字的特点,注意不要漏掉数据; (2)注意不要混淆茎叶图中茎与叶的含义. 变式题2020赤峰二中模拟某地的中小学办学条件在当地政府的教
16、育督导下, 迅速得到改变,督导一年后,分别随机抽查了高中(用A表示)与初中(用B表示)各 10所学校,得到相关指标的综合评价得分(百分制)的茎叶图如图9-56-10所示,则 从茎叶图中可得出的正确的信息为(80分及以上为优秀)() 高中得分与初中得分的优秀率相同; 高中得分与初中得分的中位数相同; 高中得分的方差比初中得分的方差大; 高中得分的平均数与初中得分的平均数相同. A. B. C. D. B 图9-56-10 例3 2020深圳高级中学月考某市为广泛开展垃圾分类的宣传、教育和倡导 工作,使市民树立垃圾分类的环保意识,学会垃圾分类的知识,特举办了“垃圾分 类知识竞赛”.据统计,在为期一
17、个月的活动中,共有两万人次参与了网络答题.市 文明实践中心随机抽取100名参与该活动的市民,以他们单次答题成绩(均在70 分以上)作为样本进行分析,由此得到如图所示的频率分布直方图. 探究点三样本与总体的数字特征 思路点拨由各组的频率之和为1求出a 的值;成绩的平均数等于各组数据的中间 值与其频率积的和. (1)求图中a的值及参与该活动的 市民单次答题成绩的平均数(同一 组中数据用该组区间中点值作代 表). 思路点拨由表中的数据直接求平 均数和方差即可. (3)为扩大本次“垃圾分类知识竞赛”活动的影 响力,市文明实践中心再次组织市民组队参加 现场有奖知识竞赛,竞赛共分五轮进行,已知 “光速队”
18、与“超能队”五轮的成绩如下表: (i)分别求“光速队”与“超能队”五轮成绩的平均 数和方差. 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 “光速队”9398949590 “超能队”9396979490 思路点拨比较两个方差的大 小,方差小的成绩更稳定. 解: 从(i)中方差数据来看,“超能 队”的现场有奖知识竞赛成绩更 稳定. (3)为扩大本次“垃圾分类知识竞赛”活动的影 响力,市文明实践中心再次组织市民组队参加 现场有奖知识竞赛,竞赛共分五轮进行,已知 “光速队”与“超能队”五轮的成绩如下表: (ii)以(i)中数据为依据,你认为“光速队”与“超能 队”的现场有奖知识竞赛成绩谁更稳定? 第一轮
19、第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 “光速队”9398949590 “超能队”9396979490 总结反思(1)利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法: 中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的矩形面积相等,由此可以 估计中位数. 平均数:平均数的估计值等于每个矩形的面积乘矩形底边中点横坐标之和. 众数:最高的矩形底边中点的横坐标. (2)方差(标准差)决定了样本数据的稳定性,方差越小数据针对平均水平的波动 就越小,越稳定;平均数决定了数据的平均水平.具体问题中往往通过方差和平 均数来决定样本数据的优劣态势. 变式题(1)2020临川二中模拟甲、乙、丙、 丁四名同学在某次军训射击测试中,
20、各射击10次. 四人测试成绩对应的条形图如图所示. 以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不 正确的是() A.平均数相同 B.中位数相同 C.众数不完全相同 D.甲的方差最小 解析由条形图知,甲射击成绩为 4,4,4,4,4,6,6,6,6,6,所以甲射击成绩的 平均数是5,中位数是5,众数是4和6,方 差是1;乙射击成绩为4,4,4,5,5,5,5,6,6,6, 所以乙射击成绩的平均数是5,中位数 是5,众数是5,方差是0.6;丙射击成绩为 3,3,3,4,5,5,6,7,7,7,所以丙射击成绩的 平均数是5,中位数是5,众数是3,7,方差 是2.6;丁射击成绩为2,4,4,4,5,5,6
21、,6,6,8, 所以丁射击成绩的平均数是5,中位数 是5,众数是4,6,方差是2.4.故选D. D C C (3)2020大庆模拟图是某品牌汽车2019年月销量统计图,图是该品牌汽车月销 量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图,则下列说法错误的是() A.该品牌汽车2019年全年销量中,1月份的月销量最多 B.该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份,下半年的销售淡季是10月份 C.2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多 D.该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年,波动性小,变化较平稳 C 解析由图可知该品牌汽车2019年全年销量中,1月份的月销量最多,所以A 中说法
22、正确;该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份,下半年的销售淡季 是10月份,所以B中说法正确;该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年, 波动性小,变化较平稳,所以D中说法正确;由图可知2019年该品牌汽车所属 公司7月份的该品牌汽车销量占所属汽车公司当月总销量的份额比8月份多, 不能说明2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多,所以C中说 法错误.故选C. 【备选理由】例1主要考查了由频率分布直方图求平均数;例2是以茎叶图为载 体研究数字特征的问题,其中涉及了极值,是对例2很好的补充;例3考查利用茎 叶图中的数据计算平均数,涉及开放性问题,贴合现在高考的考查角度. 例
23、1配合例1使用2020安徽皖江名校联考天然气已经进入了千家万户,某 市政府为了对天然气的使用进行科学管理,节约气资源,计划确定一个家庭年 用量的标准.为此,对全市家庭日常用气的情况进行抽样调查,获得了部分家庭 某年的用气量(单位:立方米).将统计结果绘制成下面的频率分布直方图(如图 所示).由于操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.若 以各组区间中点值代表该组的取值,则估计全市家庭年均用气量为() A.6.5立方米B.5立方米 C.4.5立方米D.2.5立方米 B 解析设各小长方形的宽为m,由频率分布直方图中各小长方形面积总和为1 可得,(0.08+0.10+0.14+0.
24、12+0.04+0.02)m=1,解得m=2.各小组依次是 0,2),2,4),4,6),6,8),8,10),10,12,其中点分别是1,3,5,7,9,11,对应的频率分别 为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04,故估计全市家庭年均用气量为 10.16+30.20+50.28+70.24+90.08+110.04=5(立方米).故选B. C 例3 配合例2、例3使用2020凉山州模 拟在某次数学考试中,从甲、乙两个班中 各抽取10名学生的数学成绩进行统计分 析,两个班样本数据的茎叶图如图所示. (1)用样本估计总体,若根据茎叶图计算得 甲、乙两个班级的平均分相同,求
25、x(x10,xN)的值. 例4 补充使用重庆市于2020年1月24日启动重 大突发公共卫生事件一级响应机制,要求市民少 出门、少聚集,于是快递业务得到迅猛发展.为满 足广大市民的日常生活所需,某快递公司以优厚 的条件招聘派送员,现给出了两种日薪薪酬方案: 甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元. 乙方案:底薪150元,每日前55单没有奖励,超过55 单的部分每单奖励10元. 请分别求出这两种薪酬方案中日薪y(单位:元) 与送货单数n的函数关系式; 根据该公司所有派送员10天的派 送记录,发现派送员的日均派送单 数与天数满足以下表格: 回答下列问题: (i)根据以上数据,试分别求出这10 天中甲、乙两种方案的日薪的平均 数及方差; 日均派送 单数 5054565860 频数(天)23221 根据该公司所有派送员10天的派送记录,发 现派送员的日均派送单数与天数满足以下表 格: 回答下列问题: (ii)结合(i)中的数据,根据统计学的思想,若你 去应聘派送员,选择哪种薪酬方案比较合适,并 说明你的理由.(参考数据:172=289,372=1369) 日均派送单 数 5054565860 频数(天)23221
