1、大一轮复习讲义 第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 10.3二项式定理 考试要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.二项式定理二项式定理 知识梳理 二项式定理 (ab)n_ (nN*) 二项展开式的通项Tk1 ，它表示第 项 二项式系数 (k0,1,2,3，n) k1 2.二项式系数的性质二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数
2、相等. (2)增减性与最大值 当n是偶数时，中间一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于 . 2 C n n 1 2 C n n 1 2 C n n 2n 微思考 1.总结(ab)n的展开式的特点. 提示(1)项数为n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按 升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 2.(ab)n的展开式的二项式系数和系数相同吗？ (2)(ab)n的展开式中某一项的二项式
3、系数与a，b无关.() (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.() (4)(ab)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等， 与该项的二项式系数不同.() 题组一思考题组一思考辨析辨析 基础自测 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) 题组二教材题组二教材改编改编 2.(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是 解析(xy)n二项展开式第m项的通项为 3.(八省联考)(1x)2(1x)3(1x)9的展开式中x2的系数是 A.60B.80C.84D.120 210 题组三易错自题组三易错自纠纠 5.已知 (a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项
4、为80， 则a的值为 A.1 B.1 C.2 D.2 解析根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 则有2n32，可得n5， 15 5 6 k x 6.在 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系 数的和为_. 1 解析因为所有二项式系数的和是32，所以2n32，解得n5. TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一多项展开式的特定项 多维探究 命题点1二项展开式问题 例1(1)(2020北京)在( 2)5的展开式中，x2的系数为 A.5 B.5 C.10 D.10 5 2 k x (2)(2019浙江)在二项式( x)9的展开式中，常数项
5、是_，系数为有 理数的项的个数是_. 5 当k0时，第1项为常数项， 当k1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数， 所以系数为有理数的项的个数为5. 命题点2两个多项式积的展开式问题 例2(1)(2020全国) (xy)5的展开式中x3y3的系数为 A.5 B.10 C.15 D.20 x3y3的系数为10515. (2)(2019全国)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为 A.12 B.16 C.20 D.24 解析展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成， 命题点3三项展开式问题 例3(1)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为 A.10 B.20
6、C.30 D.60 解析方法一利用二项展开式的通项公式求解. (x2xy)5(x2x)y5， 方法二利用排列组合知识求解. (x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中 两个取x2，一个取x即可， (2)(2020合肥检测) 的展开式中的常数项为 A.1 B.11 C.19 D.51 综上所述，常数项为1203011. (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要 求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k 1，代回通项即可. (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连 乘的规律，结合组合思想求解，但
7、要注意适当地运用分类方法，以免重 复或遗漏. (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决. 思维升华 跟踪训练1(1)(xa)10的展开式中，x7项的系数为15，则a_.(用数字 填写答案) 令10k7， (2)(x2x1)(x1)4的展开式中，x3的系数为 A.3 B.2 C.1 D.4 (x2x1)(x1)4的展开式中， (3)(12x3x2)5的展开式中x5的系数为_.92 解析方法一(12x3x2)5(1x)5(13x)5， 所以x5的系数为 方法二(12x3x2)5(12x)3x25 题型二二项式系数与各项的系数问题 多维探究 命题点1二项式系数和与各项系数和 例4(1)若二项式
8、 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式 每一项的系数之和为 A.1 B.1 C.27 D.27 解析依题意得2n8，解得n3. 取x1，得该二项展开式每一项的系数之和为(12)31. (2)若(2x)7a0a1(1x)a2(1x)2a7(1x)7，则a0a1a2 a6的值为 A.1 B.2C.129 D.2 188 解析令x0，得a0a1a2a727128， 又(2x)73(x1)7， 故a0a1a2a6128a71281129. 例5二项式 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则 展开式中x的指数为整数的项的个数为 A.3 B.5 C.6 D.7 命题点2二项式系数的最值问题 解析根
9、据 的展开式中只有第11项的二项式系数最大， 得n20， 4 20 3 k x 要使x的指数是整数，需k是3的倍数， k0,3,6,9,12,15,18，x的指数是整数的项共有7项. (1)求展开式中各项系数和可用“赋值法”. (2)二项式系数最大项在中间一项或中间两项取得. 思维升华 跟踪训练2(1)(2021随州调研)在 的展开式中，只有第5项的二 项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为 A.126 B.70 C.56 D.28 解析只有第5项的二项式系数最大， 3 8 2 k x 展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的 二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项 式系数最大， 即82n0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对 模m同余，记为ab(modm).若a a b(mod10)，则b的值可以是 A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021 12345678910 11 12 13 14 15 16 它被10除所得余数为1， 又ab(mod10)，所以b的值可以是2 021. 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
