1、一轮复习大题专练一轮复习大题专练 31数列（恒成立问题）数列（恒成立问题） 1已知数列 n a中， 1 1a ， 1 (*) 3 n n n a anN a （1）求 n a的通项公式 n a； （2）数列 n b满足(31) 2 n nn n n ba，设 n T为数列 n b的前n项和，求使 n kT恒成立的最 小的整数k 解： （1）由 1 3 n n n a a a ，可得 1 13 1 nn aa ， 即有 1 1111 3() 22 nn aa ， 即数列 11 2 n a 是首项为 3 2 ，公比为 3 的等比数列， 则 1 1133 3 222 n n n a ， 则 2 31
2、 n n a ； （2） 1 2 (31)(31) 22312 nn nn nnnn nnn ba ， 则 1 1234 . 12482 n n n T ， 11234 . 2248162 n n n T ， 两式相减可得 1 1 1 11111 2 1. 1 2248222 1 2 n n nnn nn T 1 2(1) 22 nn n ， 所以 1 2 44 2 n n n T ， 由 n kT恒成立，可得4k， 则最小的整数k为 4 2若数列 n a的前n项和为 n S， 1 4a ， * 2(1)() nn n anS nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）已知数列 n b满足
3、68 n bn，其前n项和为 n T，若( 1)n nn ST对任意 * nN恒成 立，求实数的取值范围 解： （1）因为2(1) nn n anS，所以 2 1 n n n a S n ， 当2n，时 1 1 22(1) 1 nn nnn n ana aSS nn ， 所以 1 2 1 nn aa nn ， 所以数列 1 n a n 为等比数列，首项为 1 2 2 a ，公比为 2， 所以2(1)2 1 nnn n a an n ； （2）解：因为68 n bn，所以 ( 268) (35) 2 n nn Tnn ， 因 1 2 2( 1) 1 nn nnn n SanT n 恒成立， 所以
4、 1 2( 1)(35) nn n 恒成立， 当n为偶数时， 1 2(35) n n 恒成立，所以 1 2 () 35 n min n ， 设 1 2 35 n n c n ，由于 311 2 222(921) 3135(31)(35) nnn nn n cc nnnn ， 所以 42 cc，当4n时， 2nn cc ， 所以 4 32 7 c， 当n为奇数时， 1 2(53 ) n n ，若1n ，则有2， 若3n，则有 1 2 () 53 n max n ， 令 1 2 53 n n d n ，由于 1 2 2(219 ) 0 (31)(35) n nn n dd nn ， 所以 3 4d
5、 ， 综上，42 ，即实数的取值范围是 4，2 3已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1，且 4Sn+13Sn9（nN*） （）求数列an的通项公式； （）设数列bn满足 3bn+（n4）an0（nN*） ，记bn的前 n 项和为 Tn，若 Tnbn 对任意 nN*恒成立， 求实数的取值范围 解： （）由 4Sn+13Sn9 可得 4Sn3Sn19（n2） ， 两式作差，可得：4an+13an， ， 很明显， 所以数列an 是以为首项，为公比的等比数列， 其通项公式为： （）由 3bn+（n4）an0，得， ， ， 两式作差可得： ， 则 据此可得恒成立，即（n4）+3n0 恒成立 n4 时
6、不等式成立； n4 时，由于 n1 时，故1； n4 时，而，故：3； 综上可得，|31 所以 133 43 sin 24433 ABC SbcAbc 4已知等差数列 n a满足 32 1aS， 34 2Sa，其中 n S为 n a的前n项和，递增的等比 数列 n b满足： 1 1b ，且 1 b， 2 b， 3 4b 成等差数列 （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）设 nn ab的前n项和为 n T，求 n T； （3）设 1 (4) () n n nn a C Snb ， n C的前n项和为 n A，求证： 1 n A n 恒成立，求实数的最 大值 解： （1） 数列 n a
7、的首项为 1 a， 公差为d的等差数列， 数列 n a满足 32 1aS， 34 2Sa， 整理得： 11 311 221 32 332 2 adad Saa ，解得 1 1 2 a d ， 所以21 n an 递增的等比数列 n b满足： 1 1b ，且 1 b， 2 b， 3 4b 成等差数列 所以 22 111 ()(4)bqbbq，解得3q 或1(1舍去） ， 故 1 3n n b ， （2）由（1）得：令 1 (21) 3n nnn ca bn ， 所以 011 1 33 3.(21) 3n n Tn ， 12 31 33 3.(21) 3n n Tn ， 得： 1 3 (31) 2
8、12 (21) 3 3 1 n n n Tn ， 故(1) 31 n n Tn （3）由于 21 1 (4)2311 ()() 33(1) 3 n n nnn nn an C Snbnnnn ， 所以 011 11111 .1 1 3233(1) 3(1) 3 n nnn A nnn ， 由于 1 n A n 恒成立， 即 1 1 (1) 31 n nn 恒成立， 故 1 1 3n n ， 由于函数 1 ( )1 3x f xx 为增函数，故 15 ( )(1)2 33 min f xf， 所以 5 3 5已知数列 n a满足 1 1a ，且 2 1 1 nnn aanan ， * nN （1
9、）求 n a的通项公式； （2）设21 nn ba，求使不等式 12 111 (1)(1)(1)21 n pn bbb 对一切2n且 * nN均 成立的最大整数p 解： （1）数列 n a满足 1 1a ，且 2 1 1 nnn aanan ， * nN， 整理得： 2 2a ， 3 3a ， 故猜想 n an， 证明如下： （1）当1n 时，显然成立； （2）当nk时， k ak， 当1nk时， 2 1 11 kkk aakakk ， 即当1nk时，猜想成立， 所以 n an （2）由题意得 12 1111 (1)(1)(1) 21 n p bbbn 对2n， * nN恒成立， 记 12 1
10、111 ( )(1)(1)(1) 21 n F n bbbn ， 则 2 121 2 12 11111 (1)(1)(1)(1) (1)2248423 1 1111 ( )48321 23 (1)(1)(1) 21 nn n bbbbF nnnnn F nnnnn bbbn ( )0F n ， (1)( )F nF n，即( )F n是随n的增大而增大， ( )F n的最小值为 1 2(1) 2( 31) 3 (2)(1,2) 515 F ，pZ， 所以1 max p 6已知数列 n a的前n项和 n S满足 11( 0 n n aa a Sa 且1)a 数列 n b满足 nnn ba lga
11、 （1）当10a 时，求数列 n b的前n项和 n T； （2）若对一切 * nN都有 1nn bb ，求a的取值范围 解： （1）数列 n a的前n项和 n S满足 11 n n aa Sa ， 当1n 时，解得 1 aa 当2n时， 1 1 11 n n aa Sa ， 得： 1 1 nnn a aaa a ，整理得 1 n n a a a （常数） ， 故数列 n a是以a为首项，a为公比的等比数列 所以 n n aa， 数列 n b满足 n nnn ba lgana lga， 当10a 时，10n n bn ， 所以 2 1 102 1010n n Tn ， 231 101 102 1
12、010n n Tn ， ，整理得 21 910101010 nn n Tn ， 解得 (91) 1010 81 n n n T （2）由 1nn bb ，可得 1 (1) nn na lganalga ， 当1a 时，由0lga ，可得 1 n a n ，1 1 n n ，所以1a ， 所以对 1 n a n 一切的nN 都成立，此时的解为1a ； 当01a时，由0lga 可得(1)nna， 所以 1 n a n ， 1 12 n n ，01a，所以0 1 n a n 对一切nN 都成立， 所以 1 0 2 a 由，可知，对一切nN ，都有 1nn bb 的a的取值范围是(0， 1) (1 2 ，)
