1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 例谈恒成立不等式的求解策略例谈恒成立不等式的求解策略 含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型，也是各类考试的热点这类问题既含参数又含变 量，学生往往难以下手，怎样处理这类问题呢？转化是捷径通过转化能使恒成立问题得到简化，而转化 过程中往往包含着多种数学思想的综合运用下面就其常见类型及解题策略举例说明 一可化为一次不等式恒成立的问题一可化为一次不等式恒成立的问题 例例 1 1对于满足40 p的一切实数，不等式34 2 pxpxx恒成立，试求x的取值范围 分析分析： 习惯上把x当作自变量， 记函数pxpxy3)4( 2 ， 于是问题转化为： 当4 ,
2、 0p时， 0y恒成立，求x的取值范围解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可 想而知，这是相当复杂的 解解：设函数)34() 1()( 2 xxpxpf，显然1x，则)(pf是p的一次函数，要使0)(pf 恒成立，当且仅当0)0(f，且0)4(f时，解得x的取值范围是), 3() 1,( 点评点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次 函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色 二二次不等式恒成立问题二二次不等式恒成立问题 例例 2 2已知关于x的不等式03) 1(4)54( 22 xmxmm对一切实数x恒成立，求实数m的
3、取值范围 分析：分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨论 解解：(1)当054 2 mm时，即1m或5m，显然1m时，符合条件，5m不符合条件; (2) 当054 2 mm时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得 2 22 450, 16(1)12(45)0 mm mmm ，解得191 m 综合(1)(2)得，实数m的取值范围为19, 1 三绝对值不等式恒成立问题三绝对值不等式恒成立问题 例例 3 3对于任意实数x，不等式axx21恒成立，求实数a的取值范围 分析分析 1 1：把左边看作x的函数关系，就可利用函数最值求解 解法解法 1 1：设21)(
4、xxxf，则 3,1 ( )21, 12 3,2 x f xxx x ，3)( max xf，3a 分析分析 2 2：利用绝对值的几何意义求解 解法解法 2 2：设x12在数轴上对应点分别是PAB，则PBPAxx21 当点P在线段AB上时，33PBPA; 当点P在点A的左侧时，3 PBPA; 当点P在点A的右侧时，3 PBPA; 因此，无论点P在何处，总有33PBPA，所以当3a时，aPBPA恒成立， 即 对于任意实数x，不等式axx21恒成立时，实数a的取值范围为), 3( 分析分析 3 3：利用绝对值不等式bababa求解21)(xxxf的最大值 解法解法 3 3：设21)(xxxf 32
5、121xxxx且2x时等式成立， 3)( max xf，3a 四含对数指数三角函数的不等式恒成立问题四含对数指数三角函数的不等式恒成立问题 例例 4 4当) 2 1 , 0(x时，不等式xx a log 2 恒成立，求a的取值范围 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 分析分析：注意到函数 2 )(xxf，xxg a log)(都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对 一切) 2 1 , 0(x，)()(xgxf恒成立，只要在) 2 1 , 0(内，xxg a log)(的图象在 2 )(xxf图象的上方 即可显然10 a，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即) 2 1
6、() 2 1 (gf 解解：设 2 )(xxf，xxg a log)(，则要使对一切) 2 1 , 0(x，)()(xgxf恒成立，由图象可 知10 a，并且) 2 1 () 2 1 (gf，故有 4 1 2 1 log a ， 16 1 a，又10 a1 16 1 a 点评点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的 综合运用此外，从图象上直观得到10 a后还需考查区间) 2 1 , 0(右端点 2 1 x处的函数值的大小 五、形如五、形如“( )af x”型不等式型不等式 形如 “( )af x” 或 “( )af x” 型不等式， 是恒成立问题
7、中最基本的类型， 它的理论基础是 “)(xfa 在Dx上 恒 成 立 ， 则 max )(xfa (Dx);)(xfa 在Dx上 恒 成 立 ， 则 min )(xfa (Dx)” 许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型 例例 5 5已知二次函数xaxxf 2 )(，若1 , 0 x时，恒有1)(xf，求a的取值范围 解：解：1)(xf，11 2 xax， 即xaxx11 2 （1）当0 x时，不等式101a显然成立，Ra （2）当10 x时，由xaxx11 2 得 xx a xx 1111 22 0 4 1 ) 2 11 ( 11 2 2 xxx ，0) 11 ( min 2 xx ，0
8、a 又2 4 1 ) 2 11 ( 11 2 2 xxx ，2) 11 ( max 2 xx ，2a02a 综上得，a的取值范围为20a 六、形如六、形如“ 12 ()( )()f xf xf x”型不等式型不等式 例例 6 6 已知函数) 52 sin(2)( x xf， 若对任意Rx， 都有)()()( 21 xfxfxf成立， 则 21 xx 的最小值为 解：解：对任意Rx，不等式)()()( 21 xfxfxf恒成立， )( 1 xf，)( 2 xf分别是)(xf的最小值和最大值 对于函数) 52 sin(2)( x xf，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 2，即半个周 期 21
9、 xx 的最小值为 2 七、形如七、形如“ 1212 ()() () 22 xxf xf x f ”型不等式型不等式 例例 7 7在 x y2，xy 2 log， 2 xy ，xycos这四个函数中，当10 21 xx时，使 2 )()( ) 2 ( 2121 xfxfxx f 恒成立的函数的个数是() (A)0(B)1(C)2(D)3 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 解解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件 2 )()( ) 2 ( 2121 xfxfxx f 的函数应是凸函数的 性质，画草图即知xy 2 log，xycos符合题意，故此题选（C） 八、形如八、形如“( )(
10、 )f xg x”型不等式型不等式 例例 8 8已知函数) 1lg( 2 1 )(xxf，)2lg()(txxg，若当1 , 0 x时，)()(xgxf恒成立，求 实数t的取值范围 解解：)()(xgxf在1 , 0 x恒成立，即120 xxt 在1 , 0 x恒成立 txx21在1 , 0上的最大值小于或等于零 令( )12F xxxt ， 12 141 2 12 1 )( x x x xF 1 , 0 x，0)( x F即)(xF在1 , 0上单调递减，)0(F是最大值 01)0()(tFxf，即1t 九、形如九、形如“ 12 ()()f xg x”型不等式型不等式 例例 9 9已知函数 3 4 3 3 1 )( 23 xxxxf， 2 9 )( cx xg ，若对任意2 , 2, 21 xx，都有 )()( 21 xgxf，求c的范围 解：解：对任意2 , 2, 21 xx，都有)()( 21 xgxf成立， minmax )()(xgxf 32)( 2 xxxf，令0)( x f得3x或1x;0)( x f得31x )(xf在1, 2 为增函数，在2 , 1为减函数 ( 1)3,f 3)( max xf 2 18 3 c ，24c
