1、高考数学培优专题库教师版 第八讲第八讲 导数及其应用导数及其应用 A 组组 一、选择题一、选择题 1已知 f x定义在R上的函数， fx是 f x的导函数，若 1f xfx ，且 02f， 则不等式 1 xx e f xe（其中e为自然对数的底数）的解集是（） A,01,B1, C0,D, 10, 答案 C 解析：设 Rxexfexg xx ,，则 1xfxfeexfexfexg xxxx ， 1f xfx ， 01xfxf， x g ， xgy 在定义域上单调递增， 1 xx exfe， 1xg，又 100 00 efeg， 0gxg，0 x，不等式的解集 为0,故选：C. 2设函数( )(
2、31) x f xexaxa，其中1a ，若仅有一个整数 0 x，使得 0 ()0f x，则a的取 值范围是（） A 2 ,1) e B 2 3 , ) 4e C 2 3 , ) 4e D 2 ,1) e 答案 D. 解析：( )4 x fxea，由题意得，( )f x的单调性为先递减后递增，故0a ， 即( )f x在(,ln) 4 a 上单调递减，在(ln,) 4 a 上单调递增， 又(1)20fe，(0)10fa ，只需 42 ( 1)20faa ee ， 即实数a的取值范围是 2 ,1) e ，故选 D. 3 （2017 年高考全国 3 卷文）已知函数 211 2 xx f xxxa
3、ee 有唯一零点，则a= A. 1 2 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 【答案】C 【解析】函数 f x的零点满足 211 2ee xx xxa ， 设 11 ee xx g x ，则 21 111 11 1e1 eee ee x xxx xx gx ， 当 0gx时，1x ；当1x 时， 0gx，函数 g x单调递减； 高考数学培优专题库教师版 当1x 时， 0gx，函数 g x单调递增， 当1x 时，函数 g x取得最小值，为 12g. 设 2 2h xxx，当1x 时，函数 h x取得最小值，为1， 若0a ，函数 h x与函数 ag x没有交点； 若0a ，当 11agh时，函数
4、 h x和 ag x有一个交点， 即21a ，解得 1 2 a .故选 C. 4.曲线 1 3x ye在点 2 6,e处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（） A 2 3 2 eB 2 3eC 2 6eD 2 9e 答案 A 解析:因 x ey 3 1 / 3 1 ,故切线的斜率 2 3 1 ek ,切线方程)6( 3 1 22 xeey，令0 x得 2 ey；令 0y 得3x ，故围成的三角形的面积为 22 2 3 |3 2 1 eeS，应选 A。 5. 曲线sinyxx在点( ,0)P处的切线方程是（） A 2 yx B 2 yx C 2 yx D 2 yx 答案 A 解析： sinyf
5、 xx， sincosfxxx， f ，曲线sinyxx在点( ,0)P处 的切线方程是 2 yxx ，故选 A. 二二、填空题、填空题 6已知函数( ) xx f xaee 的导函数 ( ) fx的图象关于原点对称，则a 。 答案1 解析：依题意 xx fxaee关于原点对称，1a 时 fx为奇函数，符合题意。 7已知函数 lnf xxxax有两个极值点，则实数a的取值范围是_ 答案 1 0, 2 解析： 1 ( )ln()1ln2fxxaxxaxax x ，由题意1 ln20 xax在(0,)上有两个根， 高考数学培优专题库教师版 设( )1ln2g xxax ，若0a ，则( )g x在
6、(0,)为增函数，( )0g x 最多只能有一解，不合题意， 故0a ，当0 x 或者x 时，( )g x ， 1 ( )2g xa x ，当 1 (0,) 2 x a 时，( )0g x ， 1 (,) 2 x a 时，( )0g x ，因此 1 ( )() 2 g xg a 最大 ，由题意 111 ()1ln20 222 ga aaa ，所以 1 0 2 a 三三、解答题、解答题 8已知函数 2 ( )ln(21) ,f xxaxax其中0a . （1）当2a 时，求( )f x在点(1,(1)f处的切线方程； （2）求( )f x的单调区间； （3）当0a 时，判断函数( )f x零点的
7、个数.（只需写出结论）. 解析： （1）当2a时，xxxxf52ln)( 2 ，54 1 )(x x xf， 0) 1 (, 3) 1 (ff，所以切线方程为30y . （2）)(xf的定义域：0 xx， x xax x xaax aax x xf )2)(1(1) 12(2 ) 12(2 1 )( 2 ， 令0)( x f， a xx 2 1 , 1 21 ， 当0a 时，令0)( x f，得01x，令0)( x f，得1x ， )(xf的增区间为0,1，)(xf的减区间为), 1 ( . 当 2 1 a时，0)( x f恒成立，)(xf在), 0( 上单调递增， 当 2 1 0 a时，0)
8、( x f，01x或 a x 2 1 ；0)( x f，1 2 1 x a ， 所以)(xf的增区间为0,1，), 2 1 ( a ，)(xf的减区间为) 1 , 2 1 ( a . 当 2 1 a时，0)( x f，1x 或 a x 2 1 0，0)( x f，1 2 1 x a ， 所以)(xf的增区间为) 2 1 , 0( a ，), 1 ( ，)(xf的减区间为) 1 , 2 1 ( a . （3）当0a 时，零点的个数为1. 9设函数 ln1 , 2 abx fxg xxab x （其中e为自然对数的底数，, a bR且0a ） ， 高考数学培优专题库教师版 曲线 yf x在点 1,
9、1f处的切线方程为1yae x （）求b的值； （）若对任意 1 ,x e ， f x与 g x有且只有两个交点，求a的取值范围 解析： （）由 lnabx fx x ，得 2 1 lnabx fx x ， 由题意得 1fabae， 0a ，be； （）令 2 1 ln 2 h xx fxg xxae xaex，则任意 1 ,x e ， f x与 g x 有且只有两个交点， 等价于函数 h x在 1 , e 有且只有两个零点， 由 2 1 ln 2 h xxae xaex， 得 xaxe h x x ， 当 1 a e 时，由 0h x得xe，由 0h x得 1 xe e ， 此时 h x在
10、1 ,e e 上单调递减，在, e 上单调递增， 22 11 ln0 22 h eeae eaeee ， 24222 1112 ln2220 222 h eeae eaeee eeae ee e ，（或当x 时， 0h x 亦可） ，要使得 h x在 1 , e 上有且只有两个零点，则只需 22 22 1 221 111 ln0 22 eeea ae hae eeeee ，即 2 2 1 2 21 e a ee ， 当 1 ae e 时，由 0h x得 1 xa e 或xe，由 0h x得axe，此时 h x在, a e 上单调递减，在 1 ,a e 和, e 上单调递增 此时 222 111
11、 lnln0 222 h aaaeaeaaaeaeea ， 此时 h x在 1 , e 至多只有一个零点，不合题意， 高考数学培优专题库教师版 当ae时，由 0h x得 1 xe e 或xa，由 0h x得exa，此时 h x在 1 ,e e 和 , a 上单调递增，在, e a上单调递减，且 2 1 0 2 h ee ， h x在 1 , e 至多只有一个零点，不合题意， 综上所述，a的取值范围为 2 2 1 2 , 21 e ee 10已知mR，函数 1 ( )ln m f xmxx x ， 1 ( )lng xx x . （1）求( )g x的极小值； （2）若( )( )yf xg x
12、在1,)上为单调增函数，求m的取值范围； （3） 设 2 ( ) e h x x ， 若在1, e（e是自然对数的底数） 上至少存在一个 0 x， 使得 000 ()()()f xg xh x 成立，求m的取值范围. 解析： （1）由题意，0 x ， 22 111 ( )+ x g x xxx ， 所以01x时， ( ) 0g x ；当1x 时， ( ) 0g x . 所以( )g x在(0,1)上是减函数，在(1,)上是增函数，故( )(1)1g xg 极小值 . （2）因为( )( )2ln m f xg xmxx x ，所以 2 2 2 ( )( ) mxxm f xg x x ， 由于
13、( )( )f xg x在1,)内为单调递增函数， 所以 2 20mxxm在1,)上恒成立，即 2 2 1 x m x 在1,)上恒成立， 故 max 2 2 ()1 1 x m x ，所以m的取值范围是1,). （3）构造函数 2 ( )( )( )( )2ln me F xf xg xh xmxx xx ， 当0m时，由1, xe得0 m mx x ， 2 2ln0 e x x ， 所以在1, e上不存在一个 0 x，使得 000 ()()()f xg xh x. 当0m 时， 2 222 2222 ( ) memxxme F xm xxxx . 因为1, xe，所以220ex， 2 0m
14、xm，所以 ( ) 0F x 在1,)上恒成立， 高考数学培优专题库教师版 故( )F x在1, e上单调递增， max ( )( )4 m F xF eme e ， 所以要在1, e上存在一个 0 x，使得( )0F x ，必须且只需40 m me e ， 解得 2 4 1 e m e ，故m的取值范围是 2 4 (,) 1 e e . 另外： （3）当1x 时，(1)(1)(1)fgh， 当(1, xe时，由( )( )( )f xg xh x，得 2 22 ln 1 exx m x . 令 2 22 ln ( ) 1 exx G x x ，则 22 22 ( 22)ln(242) ( )
15、0 (1) xxxex G x x ， 所以( )G x在(1, e上递减， min 2 4 ( )( ) 1 e G xG e e . 综上，要在1, e上存在一个 0 x，使得 000 ()()()f xg xh x，必须且只需 2 4 1 e m e . 11对于函数 yf x的定义域为D，如果存在区间,m nD，同时满足下列条件： f x在,m n上是单调函数； 当 f x的定义域为,m n时，值域也是,m n，则称区间,m n是函数 f x的“K区间” 对于 函数 ln,0 0 ,0 axx x fxa xa x （1）若1a ，求函数 f x在,1ee处的切线方程； （2）若函数
16、f x存在“K区间” ，求a的取值范围 解析： （1）1a 时， 1 ln0 ,1fxxx xfx x ，则 1 1fe e ， 函数 f x在,1ee处的切线方程为 1 11yexe e ，即 1 1yx e （2） 10 0 1 0 2 a x x fxa x x ， 列表如下： x ,00,a a , a fx 0 高考数学培优专题库教师版 f x 减增 极大 值 减 设函数 f x存在“K区间”是,m n （i）当0mn时，由上表可知 man nam ， 两式相减得mnnm，即 mnmnmn， 所以1mn，代入 man nam ，得 1 1 ann amm ， 欲使此关于,m n的方程
17、组在0mn时有解，需使ya与 2 10yxxx的图象有两个交点， 2 1yxx在 1 0, 2 是减函数，在 1 , 2 是增函数，且 10 2 3 ,1 4 x x yy ，所以此时满足 f x存 在“H区间”的a的取值范围是 3 ,1 4 （ii）当0mna时，由上表可知， ln ln ammm annn ，即 1ln 2 1ln 2 m am n an ， 设 2 ln1 ln , 22 xx g xgx xx ，当 0,xe时， 0gx ， g x为增函数， 当,xe时， 0gx， g x为减函数， 欲使此关于,m n的方程 1ln 2 1ln 2 m am n an 有两解，需使 1
18、 y a 与 ln 2 x y x 在0,a有两个交点， 所以有 1 ae g ag e a ，解得 2 2eae 所以此时满足 f x存在“H区间”的a的取值范围是 2 2 , e e （iii）当amn时，由上表可知， ln ln ammm annn ，两式相减得，lnln0amn，此式不可 高考数学培优专题库教师版 能成立，所以此时 f x不存在“H区间” 综上所述，函数 f x存在“H区间”的a的取值范围是 2 3 ,12 , 4 e e B 组组 一、一、选择题选择题 1已知等比数列 n a的前n项的和为 1 2n n Sk ，则 32 21f xxkxx的极大值为（） A2B3C
19、7 2 D 5 2 答案 D 解析：因kaSSkaaSkaS4,2,1 32321211 ,即2, 1,1 321 aaka,故 题设 2 1 , 1)1 (2kk,所以12 2 1 )( 23 xxxxf,由于) 1)(23(23)( 2/ xxxxxf, 因此当) 1,(x时,)(, 0)( / xfxf单调递增； 当) 3 2 , 1(x时,)(, 0)( / xfxf单调递减,所以函 数)(xf在1x处取极大值 2 5 12 2 1 1) 1(f,应选 D. 2设函数 fx是函数 f xxR的导函数， 02, x ffxf xe，则使得 2 xx f xxee成立的x的取值范围是（）
20、A0,B1,C0,1D, 答案 A 解析：令 ,11 xxxx g xef xx gxef xfx eefxf x ，由 x fxf xe得 0gx ，所以 g x在定义域上递增， 2 xx f xxee即是 20 x g xef xxg ，可得0 x ，使得 2 xx f xxee成立的x的取值范围是0,， 故选 A。 3定义在R上的可导函数 f x，当(1,)x时， 10 xfxf x恒成立， 1 (2),(3),( 21) ( 2), 2 afbfcf则, ,a b c的大小关系为（） Acab Bbca Cacb Dcba 答案 A 解析： 构造函数 1 f x g x x （ ），
21、当1x（，）时， 2 1 1( 0 ) fxxf x g x x （ ）， 即函数g x（ ） 单调递增，则 2 22 2 1 f afg （ ）（ ）,同理 1 33 , 2 bfg c2122fg,由 高考数学培优专题库教师版 223ggg（ ）（ ）,可知cab .故本题选 A 4己知定义在R上的可导函数( )f x的导函数为 ( ) fx，满足 ( ) ( )fxf x，且(2)f x为偶函数， (4)1f，则不等式( ) x f xe的解集为（） A( 2,)B(4,)C(1,)D(0,) 答案 D 解析：因为函数( )f x满足(2)f x为偶函数且(4)1f，所以)2()2(xf
22、xf且1)0(f，令 x e xf xg )( )(，则0 )()( )( x e xfxf xg在R上恒成立，即函数)(xg在R上单调递减，又因为 1 )0( )0( 0 e f g，所以由1)(xg，得0 x，即不等式( )exf x 的解集为), 0( ；故选 D 二二、填空题、填空题 5若直线0ykx k是曲线 32 2f xxx的一条切线，则k _ 答案 1 8 解析： 2 62fxxx，设切点为 00 ,x kx， 则 2 00 32 000 62, 2, xxk xxkx 将代入得 3232 0000 262xxxx， 即 32 00 4xx， 0 0 x或 0 1 4 x ，
23、0k （舍去）或 1 8 k 6已知函数 2 1 ( ), ( )2ln2 (),f xkx g xxexe e 若( )f x与( )g x的图象上分别存在点,M N 使得MN关于直线ye对称，则实数k的取值范围是 答案 2 ,2 e e 解析： 设),(),( 21 ytNytM,由题意eyy2 21 ,即0ln2tkt在, 1 2 e e 上有意义,即 t tkln 2 在, 1 2 e e 上有意义,令 t t th ln )(,求导 2 / ln1 )( t t th ,当, 1 2 e e t 时,eth e th)(, 1 )( minmax ,则 e k e 2 1 ,即k2
24、, 2 e e . 三三、解答题、解答题 高考数学培优专题库教师版 7已知函数 2 1 ( )ln2() 2 f xxmxmR。 （1）曲线( )yf x在(1, (1)f处的切线与直线230 xy垂直，求m的值； （2）若关于x的不等式 2 ( )2(1)1f xmxmx恒成立，求整数m的最小值。 解析： （1） 1 ( )fxmx x 切线的斜率 (1) 1kfm 1 1 2 m ， 3 2 m 。 （2）由题意， 2 1 ln(1)10 2 xmxm x 设 2 1 ( )ln(1)1 2 G xxmxm x 1 ( )(1)G xmxm x 当0m时，因为0 x ，所以 ( ) 0G
25、x ， 所以( )G x在(0,)上是单调递增函数， 2 13 (1)ln11(1) 120 22 Gmmm 所以关于x的不等式( )0G x 不能恒成立， 当0m 时， 2 1 ()(1) (1)1 ( ) m xx mxm x m G x xx 令 ( ) 0G x ，因为0 x ，得 1 x m ， 所以当 1 (0,)x m 时， ( ) 0G x ，当 1 (,)x m 时， ( ) 0G x ， 因此函数( )G x在 1 (0,)x m 是增函数，在 1 (,)x m 是减函数， 高考数学培优专题库教师版 故函数( )G x的最大值为 2 111111 ()ln()(1)1ln
26、22 Gmmm mmmmm 令 1 ( )ln 2 h mm m ，因为( )h m在(0,)m上是减函数， 又因为 1 (1)0 2 h， 1 (2)ln20 4 h，所以当2m时，( )0h m 。 所以整数m的最小值为 2。 8已知函数 2 x ax f x e ，直线 1 yx e 为曲线 yf x的切线（e为自然对数的底数） （1）求实数a的值； （2）用min,m n表示,m n中的最小值，设函数 1 min,0g xfxxx x ，若函数 2 h xg xcx为增函数，求实数c的取值范围 解析： （1）对 f x求导得 2 2 22 xx x x xxx ex e fxaa e
27、e 设直线 1 yx e 与曲线 yf x切于点 00 ,P xy，则 0 0 2 0 0 00 1 21 x x ax x ee xx a ee ，解得 0 1ax， 所以a的值为 1. （2）记函数 2 11 ,0 x x F xf xxxx xex ，下面考察函数 yF x的符号， 对函数 yF x求导得 2 21 1,0 x xx Fxx ex 当2x 时， 0Fx恒成立 当02x时， 2 2 21 2 xx xx ， 从而 2222 211111 111 10 xx xx Fx exexxx 0Fx在0,上恒成立，故 yF x在0,上单调递减 高考数学培优专题库教师版 2 143 1
28、0,20 2 QFF ee ， 120FF， 又曲线 yF x在1,2上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的 0 1,2x ，使 0 0F x 0 0,0 xxF x； 0, xx， 0F x ， 0 2 0 1 ,0 1 min, , x xxx x g xf xx xx xx e ， 从而 2 0 2 2 2 0 1 ,0 , x xcxxx x h xg xcx x cxxx e ， 0 2 0 1 12,0 2 2, x cxxx x h x xx cx xx e ， 由函数 2 h xg xcx为增函数，且曲线 yh x在0,上连续不断知 0h x在 0 0,x，
29、 0 x ,上恒成立 当 0 xx时， 2 20 x xx cx e 在 0 x ,上恒成立，即 2 2 x x c e 在 0 x ,上恒成立， 记 0 2 , x x u xxx e ，则 0 3 , x x uxxx e ， 当x变化时， ,u xu x变化情况列表如下： x 0,3 x33, ux 0 u x极小值 3min 1 3u xu xu e 极小 ， 故“ 2 2 x x c e 在 0, x 上恒成立”只需 3min 1 2cu x e ，即 3 1 2 c e 当 0 0 xx时， 2 1 12h xcx x ，当0c 时， 0h x 在 0 0,x上恒成立， 高考数学培
30、优专题库教师版 综合知，当 3 1 2 c e 时，函数 2 h xg xcx为增函数 故实数c的取值范围是 3 1 , 2e 9已知函数 ln ( , 1 m fxnx m n x 为常数） 的图象在1x 处的切线方程为20 xy. （1）判断函数 f x的单调性； （2）已知0,1p,且 2fp ,若对任意,1xp,任意 32 1 ,2 ,22 2 tf xttat 与 32 22f xttat中恰有一个恒成立, 求实数a的取值范围. 解析:（1）由 ln 1 m fxnx x 的定义域为0,可得 2 1 mn fx x x , 由条件可得 11 4 m fn ,把1x 代入20 xy可得
31、1,y , 11, 2 m f 1 2, 2 mn , 21 ln , 12 fxx x 2 21 , 2 1 fx x x 0,0 xfx, f x在0,上递减. （2）由（1） 可知, f x在,1p上单调递减, f x在,1p上的最小值为 11f,最大值为 2fp , 只需 32 221ttat或 32 222ttat, 即 2 1 2att t 对 1 ,2 2 t 恒成立，或 2 2att对 1 ,2 2 t 恒成立, 令 2 1 g ttt t ,则 2 32 222 121 121 21 ttt tt gtt ttt ,令 0g t 可得1t . 而 2 210tt 恒成立,当
32、1 1 2 t 时, 0,g tg t单调递减； 当12t 时, 0,g tg t单调 递增. g t最大值为 1 max,2 2 gg ,而 1117 2, 2424 g 15 242 22 g,显然 1 2 2 gg , g t在 1 ,2 2 上最大值为 5 2 2 g.又 2 1 ,2 , 4 tt 高考数学培优专题库教师版 5 2 2 a或 1 2 4 a ,即 5 4 a 或 1 8 a , 实数a的取值范围是 15 , 84 . 10已知函数 x e xf x 2 （1）若曲线)(xfy 在点 0 , 0 xfx处的切线方程为0 yax，求 0 x的值； （2）设函数 bxxfx
33、F 2 1 ，其中 b 为实常数，试讨论函数 xF的零点个数，并证明你的结论 解析： （1） 2 , 2 x exe xf xx ，因为切线0 yax过原点， 所以 0 0 2 0 0 0 00 x x e x exe x xx ，解得：2 0 x （2） 000bxxfF等价于，等价于0 2 b x ex ，注意0 x 令 b x e xH x 2 ，所以 3 2 0 x ex Hxx x （i）当 , 0, 0 xHb所以 H（x）无零点，即 F x定义域内无零点。 （ii）当0b，当 x0 时， 单调递增； ， )(, 0 xHxH 因为 ），在（0-xH上单调递增，而bbe b H b
34、 1 1 又0 1 -, 1 1 b He b 所以 又因为 nb nb e en b nb H 1 1 1 - ，其中 Nn，取3 1 b n， 所以3,1 1 nee nb ，由此0 1 - nb H 由零点存在定理知， xH在0-，上存在唯一零点 （2）当20 x时， )(, 0 , xHxH单调递减； 高考数学培优专题库教师版 当2x时， )(, 0 , xHxH单调递增。 所以当2x时，H（x）有极小值也是最小值， b e H 4 2 2 。 （1）当 上不存在零点；，）在（时，即0 4 0, 0 4 2 22 xH e bb e H （2）当 ；上存在唯一零点，）在（时，即20 4
35、 , 0 4 2 22 xH e bb e H （3）当 , 0 b 1 1 4 , 0 4 2 11 22 bbeHe e bb e H bb ）（有时，由即 而 ）上存在唯一零点；，）在（所以20, 02xHH 又因为 2 32 2 2 4 4 4 2, 32 b be b b e bHb bb 令 3 2 1 teth t ，其中 3,3, 2 3 , 22 , , , ,2, ttt ethtethtethbt 所以 上单调递增，在因此2, 03 , ,2, , , theth，从而 06)2( 2, , ehth， 0622 2, ehthth上单调递增，因此，在所以， 故 0422
36、 2 ehthth上单调递增，所以，在 上存在唯一零点，即在 ）上存在唯一零点，）在（由零点存在定理知，由上得 2 b22, 02xHbH 综上所述： ；的零点个数为时，函数当 ；的零点个数为时，函数当 ；的零点个数为时，函数当 ；的零点个数为，函数当 3 4 2 4 1 4 0 00 2 2 2 xF e b xF e b xF e b xFb C 组组 一、一、选择题选择题 1已知函数 22 1 2,3ln 2 fxxax g xaxb，设两曲线 ,yf xyg x有公共点，且在 该点处的切线相同，则0,a时，实数b的最大值是（） 高考数学培优专题库教师版 A 6 13 6 eB 6 1
37、6 eC 2 3 7 2 eD 2 3 3 2 e 答案 D 解析：设切点为( , )x y，则由切点处的斜率相同且切线相同得， 2 0 0 3 2 a xa x ， 2 000 1 23ln 2 xaxaxb。因为(0,)a，所以由得x a,并将其代入得， 22 5 3ln 2 baaa设 22 5 ( )3ln 2 h aaaa,利用导数法求得函数在区间 1 3 0e（ ， ）上单调递增，在区间 1 3 (,)e上单调递减，所以 12 33 max 3 ( )() 2 h ah ee,则 max b 2 3 3 2 e选 D 2已知直线l是曲线 1 C ： 2 xy 与曲线 2 C ： )
38、 1 , 0(,lnxxy的一条公切线，若直线l与曲线 1 C的 切点为P，则点P的横坐标t满足（） A 2 1 0 tB1 2 1 tC2 2 2 tD 12 , 22 答案 D 解析： 记直线l与曲线 2 C的切点为因为,ln,0,1mmm,则直线l的方程为 1 lnymxm m , 又直线l的方程为 2 2ytt xt,从而 1 2t m 且 2 ln1mt ,消去m得 2 1 ln1 2 t t ,即 2 1 ln 210, 2 ttt ,设 2 1 ln 21, 2 fxxxx,则 2 11 2 2 x fxx xx ,令 0fx 解得 12 22 x,则函数 f x在 12 , 2
39、2 上递增， 又 1 0 2 f ， 12 , 22 无零点， 0fx 得 f x 在 2 , 2 上单调递减，可得 20,30ff，所以 12 , 22 ，故选 D. 3已知函数 lnf xxxx,若kZ,且 2k xf x对任意的2x 恒成立,则k的最大值为 （） A3B4C5D6 答案 B 解析：由题设可得 2 ln x xxx k,令 2 ln )( x xxx xh,则 2 / )2( ln24 )( x xx xh.令 xxxgln24)(.则函数xxxgln24)(的零点就是函数)(xhy 的极值点.设 高考数学培优专题库教师版 0ln24xx并记极值点为 0 x,则 2 4 l
40、n 0 0 x x,由于03ln45)9(, 044)( 22 geeg, 故97 0 x,而且不难验证当 0 2xx 时,0)( / xh,)(xh单调递减； 当 0 xx 时,0)( / xh,)(xh单 调递增,所以 22 ) 2 4 ( 2 ln )()( 0 0 0 00 0 000 0min x x x xx x xxx xhxh ,因此 2 0 x k ,由于Zk 且 97 0 x,所以4 max k,故应选 B. 4 已知函数 ,0, ( ) ln ,0 x x x e f x x x x ， 12 ( )421() xx g xaaaaR ， 若( ( )f g xe对xR
41、恒成立（其中e是自然对数的底数） ，则a的取值范围是（） A. 1,0B （-1,0）C 2,0D 1 ,0 2 答案 A 解析：当0 x时,0 1 )( 2 / xx xx e x e xee xf,故函数)(xf在)0 ,(上单调递减；当0 x 时, 2 / ln1 )( x x xf ,故当ex 0时,0)( / xf,函数)(xf在), 0(e上单调递增；当ex 时,0)( / xf,函数)(xf在),( e上单调递减.故在), 0( 上函数取最大值)(xfe e xf 1 )( max .而 当0 x时，设e e x x ,可得1x，故不等式( ( )f g xe可化为1)(xg,即
42、不等式 0224 2 aaa xx 在(,0)恒成立，令2 ,(0,1) x tt，也即不等式02 22 aaatt在 (0,1)上恒成立。当对称轴0a时,只需0 2 aa，即01a时不等式恒成立;当1a时，只需 021 2 aaa，但这不可能；当10 a时，则只需02 222 aaaa，这也不可能.所以 综上实数a的取值范围是01a,应选 A。 二二、填空题、填空题 5已知函数( ) |e|() e x x a f xaR在区间0,1上单调递增，则实数a的取值范围是_. 答案 1,1. 解析：当0a 时，( ) |e| e ee xx xx aa f x ，则函数的导数 2 e ( )e,
43、ee x x xx aa fx 且( )0f x 恒 成立， 由 ( ) 0fx 解得 2 , x ea即 1 ln 2 xa， 此时函数单调递增， 由 ( ) 0fx 解得 2 , x ea即 1 ln 2 xa， 高考数学培优专题库教师版 此时函数单调递减， 若( )f x在区间0,1上单调递增， 则 1 ln0, 2 a解得01a， 即(0,1.a当0a 时，( ) |e| e e xx x a f x 在区间0,1上单调递增，满足条件当0a 时，e e x x a y 在R上单调递增， 令e0 e x x a y ， 则ln,xa则( ) |e| e x x a f x 在(0,lna
44、为减函数， 在ln,)a上为增函 数则ln0a ，解得1a .综上，实数a的取值范围是 1,1 ，故答案为： 1,1. 6已知函数axxxxfln)(在e , 0上是增函数，函数 2 )( 2 a aexg x ，当3ln, 0 x时， 函数)(xg的最大值M与最小值m的差为 2 3 ，则a 答案 2 5 解析：因为函数axxxxfln)(在e , 0上是增函数，所以0ln1)( xaxf在e , 0上恒成 立， 即02a， 即2a； 因为 ax a ae ax a ea a aexg x x x ln, 2 ln0 , 2 2 )( 2 2 2 ， 若3lnlna， 即3a 时，)(xg在3
45、ln, 0单调递减，则2)3(ln)0(ggmM（舍） ，当3lnlna，即32 a时，函 数)(xg在aln, 0上递减，在3ln,lna上递增，且042)3(ln)0(agg，所以 2 3 )(ln)0(aggmM，即 2 3 1 2 ) 2 1( 22 a aa a，解得 2 5 a；故填 2 5 三三、解答题、解答题 7设函数 2 1 23ln 2 fxxmxx mR （1）讨论函数 f x在定义域上的单调性； （2）若对任意的1,2x，总有 2f x ，求m的取值范围 解析： （1）函数 f x的定义域为 2 2311 0,23 xmx fxxm xx 令 2 2310 xmx ，则
46、 2 2342125mmm 当 15 22 m时，0 ，所以 2 2310 xmx ，从而 0fx； 当 5 2 m 时，因为0 x ，所以 222 5 231231210 2 xmxxxxx ，所以 高考数学培优专题库教师版 0fx ； 当 1 2 m 时，0 ， 方程 2 2310 xmx 有两个不相等的实数根 12 ,x x（不妨设 12 xx） 因 为 1212 1 323220,10 2 xxmx x ，所以 12 0,0 xx， 所以当 12 xxx时， 2 2310 xmx ，从而 0fx； 当 1 0 xx或 2 xx时， 2 2310 xmx ，从而 0fx 综上可知，当 1
47、 2 m 时，函数 f x在定义域0,上单调递增；当 1 2 m 时，函数 f x在区间 1 0,x和 2, x 上单调递增，在区间 12 ,x x上单调递减，其中 22 12 3224432244 , 22 mmmm xx （2） 2f x ，即 2 1 23ln2 2 xmxx 在区间1,2上， 2 2 1 ln2 11ln2 2 23ln223 22 xx x xmxxmx xx 令 1ln2 ,1,2 2 x g xxx x ，则 2 22 1ln212ln2 22 xxx gx xx 令 2 2ln2,1,2h xxxx ，则 2 2 1 2 20 x h xx xx ， 所以函数
48、h x在区间1,2上单调递减因为 110,22ln220hh ， 所以存在唯一的 0 1,2x ，使得 0 0h x，且 0 1,xx时， 0h x ，即 0gx； 当时 0,2 xx， 0h x ，即 0gx 所以函数 g x在区间 0 1,x上单调递增，在区间 0,2 x上单调递减，因此在1,2上， min min1 ,2g xgg 因为 15ln22ln2 12,212 2222 gg ， 所以 1ln21 ln2 210 222 gg ，即 21gg 故当1,2x时， 1g xg因此 51 23, 24 mm 故实数m的取值范围是 1 , 4 高考数学培优专题库教师版 8已知函数 (1
49、) ( )ln(). a x f xxaR x （）求函数( )f x的单调区间； （）求证：(1,2)x，不等式 111 ln12xx 恒成立 解析： （）( )f x的定义域为(0,)， 2 ( ) xa fx x 2若 0,( )0afx，( )f x在(0,)上单调递增 若0a ，当(0, )xa时， ( ) 0fx ，( )f x在(0, )a单调递减， 当( ,)xa时， ( ) 0fx ，( )f x在( ,)a 单调递增 （） 111 12 ln12 x xx 等价于(1)ln2(1)0 xxx 令( )(1)ln2(1)F xxxx，则 (1)1 ( )ln2ln1 x F
50、xxx xx 由（）知，当1a 时 min( ) (1)0fxf，( )(1)f xf，即 1 ln10 x x . 所以 ( ) 0F x ，则( )F x在(1,2)上单调递增，所以( )(1)0F xF 即有12x时， 111 . ln12xx 9已知函数 2 ln01 x f xaxxx aa且 （1）求函数 f x在点 0,0f处的切线方程； （2）求函数 f x的单调区间； （3）若存在 12 ,1,1x x ，使得 12 1fxfxe（e是自然对数的底数） ，求实数a的取值 范围 解析： （1）因为函数 2 ln0,1 x f xaxxa aa， 所以 ln2ln ,00 x f
