1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 1.4.1充分条件与必要条件充分条件与必要条件 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.通过对典型数学命题的梳理通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的理解必要条件的 意义意义. 2.理解性质定理与必要条件的关系理解性质定理与必要条件的关系. 3.通过对典型数学命题的梳理通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的理解充分条件的 意义意义. 4.理解判定定理与充分条件的关系理解判定定理与充分条件的关系. 5.体会充分条件与必要条件在表述数学内容和体会充分条件与必要条件在表述数
2、学内容和 论证数学结论中的作用论证数学结论中的作用,培养逻辑推理素养与数培养逻辑推理素养与数 学运算素养学运算素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、命题的概念一、命题的概念 【问题思考】【问题思考】 1.下列语句的表述形式有什么特点下列语句的表述形式有什么特点? 若直线若直线ab,则直线则直线a和直线和直线b无公共点无公共点; 同位角相等同位角相等; 两个面积相等的三角形全等两个面积相等的三角形全等; 同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行同一平面内垂直于同一条
3、直线的两条直线平行. 提示提示:上述语句有两个特点上述语句有两个特点:都是陈述句都是陈述句;都能够判断真假都能够判断真假. ？ 2.你能判断上述你能判断上述4个语句的真假吗个语句的真假吗? 提示提示:为真命题为真命题;为假命题为假命题. 3.命题有哪些表达形式命题有哪些表达形式?疑问句、祈使句、感叹句能否作为疑问句、祈使句、感叹句能否作为 命题命题? 提示提示:命题的表达形式有语言、符号或式子命题的表达形式有语言、符号或式子;疑问句、祈使句、疑问句、祈使句、 感叹句不能作为命题感叹句不能作为命题,它们不符合命题必须是陈述句的特点它们不符合命题必须是陈述句的特点. 4.你能把你能把“同位角相等同
4、位角相等”写成写成“若若p,则则q”的形式吗的形式吗? 提示提示:若两个角为同位角若两个角为同位角,则这两个角相等则这两个角相等. ？ 5.填空填空:(1)一般地一般地,我们把用语言、符号或式子表达的我们把用语言、符号或式子表达的,可以判可以判 断断真假真假的的陈述句陈述句叫做命题叫做命题. (2)判断为判断为真真的语句是真命题的语句是真命题;判断为判断为假假的语句是假命题的语句是假命题. (3)“若若p,则则q”形式的命题中形式的命题中, p 称为称为命题的条件命题的条件, q 称为称为命题的命题的 结论结论. ？ 6.做一做做一做:下列命题中是假命题的是下列命题中是假命题的是() A.5是
5、是15的约数的约数B.对任意实数对任意实数x,有有x20,b0时时,显然显然ab0成立成立,故故“a0,b0”是是“ab0”的的 充分条件充分条件. 答案答案:(1)充分充分(2)必要必要 ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)将命题改写成将命题改写成“若若p,则则q”的形式的形式,改法唯一改法唯一.( ) (2)举反例是判断一个命题是假命题的重要方法举反例是判断一个命题是假命题的重要方法.( ) (3)在在“若若p,则则q”的命题中的命题中,p是是q的充分条件的充分条件.(
6、) (4)若若p是是q的充分条件的充分条件,则则p是唯一的是唯一的.( ) (5)x=2是是x2-4x+4=0的必要条件的必要条件.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 命题命题及其真假的判断及其真假的判断 【例【例1】 (1)下列语句是命题的是下列语句是命题的是.(填序号填序号) 若若xR,则则x2+4x+70. 你是高一学生吗你是高一学生吗? 一个正整数不是质数就是合数一个正整数不是质数就是合数. 作作ABCABC. ？ 解析解析:是命题是命题,因为对于因为对于xR,x2+4x+7=(x+2)2+30,不等式恒不等式恒 成立成立. 不是命题不是命题,是疑问句是疑问
7、句,不涉及真假不涉及真假. 是命题是命题,正整数正整数1既不是质数既不是质数,也不是合数也不是合数. 不是命题不是命题,祈使句不是命题祈使句不是命题. 答案答案: ？ (2)把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p,则则q”的形式的形式,指出条件和结论指出条件和结论,并判并判 断命题的真假断命题的真假. 两个周长相等的三角形面积相等两个周长相等的三角形面积相等; 已知已知x,y为正整数为正整数,当当y=x+1时时,y=3,x=2; 当当m1时时,x2-2x+m=0无实根无实根. ？ 解解:若两个三角形的周长相等若两个三角形的周长相等,则这两个三角形的面积相等则这两个三角形的面积相等, 条件是条
8、件是“两个三角形的周长相等两个三角形的周长相等”,结论是结论是“这两个三角形的面这两个三角形的面 积相等积相等”,是假命题是假命题; 已知已知x,y为正整数为正整数,若若y=x+1,则则y=3,x=2,条件是条件是“已知已知x,y为正为正 整数整数,且且y=x+1”,结论是结论是“y=3,x=2”,是假命题是假命题; 若若m1,则则x2-2x+m=0无实根无实根,条件是条件是“m1”,结论是结论是“x2- 2x+m=0无实根无实根”,是真命题是真命题. ？ 反思感悟反思感悟 1.判断一个语句是命题的条件判断一个语句是命题的条件:(1)语句是陈述句语句是陈述句;(2)该语句能该语句能 判断真假判
9、断真假. 2.将命题改写为将命题改写为“若若p,则则q”形式的方法及原则形式的方法及原则 ？ 3.判断命题真假的策略判断命题真假的策略 (1)要判断一个命题是真命题要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实一般要有严格的证明或有事实 依据依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知 的正确结论推证的正确结论推证. (2)要判断一个命题是假命题要判断一个命题是假命题,只要举一个反例即可只要举一个反例即可. ？ 【变式训练【变式训练1】 指出下列命题的条件与结论指出下列命题的条件与结论,写成写成“若若p,则则q” 的形式的形式,并判断真
10、假并判断真假. (1)平行四边形的两条对角线互相垂直平行四边形的两条对角线互相垂直. (2)直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余. (3)当当abc=0时时,a=0,且且b=0,且且c=0. ？ 解解:(1)条件是条件是“四边形是平行四边形四边形是平行四边形”,结论是结论是“四边形的两条四边形的两条 对角线互相垂直对角线互相垂直”.写成写成“若若p,则则q”的形式为的形式为:若四边形是平行若四边形是平行 四边形四边形,则它的两条对角线互相垂直则它的两条对角线互相垂直,是假命题是假命题. (2)条件是条件是“一个三角形是直角三角形一个三角形是直角三角形”,结论是结论是“两个锐角互两个
11、锐角互 余余”.写成写成“若若p,则则q”的形式为的形式为:若一个三角形是直角三角形若一个三角形是直角三角形,则则 它的两个锐角互余它的两个锐角互余,是真命题是真命题. (3)条件是条件是“abc=0”,结论是结论是“a=0,且且b=0,且且c=0”,写成写成“若若p,则则q” 的形式为的形式为:若若abc=0,则则a=0,且且b=0,且且c=0,是假命题是假命题. ？ 探究探究二二 充分条件充分条件与必要条件的判断与必要条件的判断 【例【例2】 判断下列各题中判断下列各题中p是是q的什么条件的什么条件. (1)p:a2+b2=0,q:a+b=0; (2)p:四边形的对角线相等四边形的对角线相
12、等,q:四边形是矩形四边形是矩形; (3)p:x=1,q:x2-4x+3=0. ？ 解解:(1)由由a2+b2=0,得得a=b=0,从而可以推出从而可以推出a+b=0;而由而由a+b=0,推推 不出不出a2+b2=0(如如a=1,b=-1),所以所以p是是q的充分条件的充分条件,但不是必要但不是必要 条件条件. (2)由由“四边形的对角线相等四边形的对角线相等”推不出推不出“四边形是矩形四边形是矩形”;而由而由“四四 边形是矩形边形是矩形”可以推出可以推出“四边形的对角线相等四边形的对角线相等”,所以所以p是是q的必的必 要条件要条件,但不是充分条件但不是充分条件. (3)由由x=1可以推出可
13、以推出x2-4x+3=0;而由而由x2-4x+3=0推不出推不出x=1(因为因为 x=3也满足也满足x2-4x+3=0),所以所以p是是q的充分条件的充分条件,但不是必要条件但不是必要条件. ？ 反思感悟反思感悟 充分条件充分条件、必要条件的两种判断方法、必要条件的两种判断方法 (1)定义法定义法: 确定谁是条件确定谁是条件,谁是结论谁是结论. 尝试从条件推结论尝试从条件推结论,若条件能推出结论若条件能推出结论,则条件为充分条件则条件为充分条件, 否则就不是充分条件否则就不是充分条件. 尝试从结论推条件尝试从结论推条件,若结论能推出条件若结论能推出条件,则条件为必要条件则条件为必要条件, 否则
14、就不是必要条件否则就不是必要条件. ？ (2)命题判断法命题判断法: 如果命题如果命题“若若p,则则q”为真命题为真命题,那么那么p是是q的充分条件的充分条件,同时同时q 是是p的必要条件的必要条件. 如果命题如果命题“若若p,则则q”为假命题为假命题,那么那么p不是不是q的充分条件的充分条件,同时同时 q也不是也不是p的必要条件的必要条件. ？ 【变式训练【变式训练2】 下列下列“若若p,则则q”形式的命题中形式的命题中,哪些命题中的哪些命题中的p 是是q的充分条件的充分条件? (1)若若a,b都是偶数都是偶数,则则a+b是偶数是偶数; (2)若若xAB,则则xAB; (3)若若x2y2,则
15、则xy. 解解:(1)由偶数的性质由偶数的性质,知知pq,所以所以p是是q的充分条件的充分条件. (2)由集合的运算性质由集合的运算性质,知知pq,所以所以p是是q的充分条件的充分条件. (3)因为因为(-1)202,但但-10,p q,所以所以p不是不是q的充分条件的充分条件. ？ 探究探究三三 充分条件充分条件与必要条件的应用与必要条件的应用 【例【例3】 是否存在实数是否存在实数p,使使“4x+p2或或x-1”的充分的充分 条件条件?如果存在如果存在,求出求出p的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由. 解解:由由4x+p2或或x-1,由数轴可得由数轴可得, 故当故当
16、p4时时,4x+p2或或x-1的充分条件的充分条件. ？ 1.将本例条件将本例条件“4x+p0”,其他条件不变其他条件不变,结果如结果如 何何? 解解:由由4x+p0得得 ,如图如图,在数轴上表示出不等式在数轴上表示出不等式x2或或x0是是x2或或x-1的充分条件的充分条件. ？ 2.本例若换为本例若换为:是否存在实数是否存在实数p,使使“4x+p2或或x-1”的的 必要条件必要条件?如果存在如果存在,求出求出p的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由. 如何求解如何求解? 解解:由由4x+p2或或x-1, 由数轴可得由数轴可得 所以不存在实数所以不存在实数p使使4x+p2
17、或或x0,bb,且且 (2)因为方程的根为因为方程的根为x=1或或x=2,解题时误认为解题时误认为x=1不全面不全面,而没而没 有分析清楚逻辑关系有分析清楚逻辑关系. 正解正解:(1)假命题假命题.(2)真命题真命题. 防范措施防范措施 1.平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻. 2.注意基础知识的积累注意基础知识的积累,培养数学抽象能力和逻辑推理素养培养数学抽象能力和逻辑推理素养. ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.下列命题中下列命题中,是真命题的是是真命题的是() A.xR|x2+1=0不是空集不是空集 B.若若x2=1,则则x=1 C.空集是
18、任何集合的真子集空集是任何集合的真子集 D.x2-5x=0的根是自然数的根是自然数 解析解析:A中方程在实数范围内无解中方程在实数范围内无解,故是假命题故是假命题;B中若中若x2=1,则则 x= 1,故故B是假命题是假命题;因空集是任何非空集合的真子集因空集是任何非空集合的真子集,故故C是是 假命题假命题;x2-5x=0的根是的根是x=0或或5,都是自然数都是自然数,故故D是真命题是真命题. 答案答案:D ？ 2.已知已知p:x1;q:x2;则则p是是q的的() A.充分条件充分条件B.必要条件必要条件 C.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件D.以上答案均不正确以上答案均不正确 解析解析
19、:因为因为x1 x2,但但x2x1, 所以所以p q,但但qp, 所以所以p是是q的必要条件的必要条件,但但p不是不是q的充分条件的充分条件. 答案答案:B ？ 3.把把“角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等”写成写成“若若p,则则q”的的 形式是形式是,是是命题命题.(填填 “真真”或或“假假”) 答案答案:若一个点是一个角的平分线上的点若一个点是一个角的平分线上的点,则该点到这个角两则该点到这个角两 边的距离相等边的距离相等真真 ？ 4.判断下列各题中判断下列各题中,p是是q的什么条件的什么条件. (1)p:x=3,q:x2=9; (2)设集合设集合M=1,2,N=a2.p:a=1,q:N M. 解解:(1)当当x=3时时,x2=9; 但但x2=9,有有x= 3, 所以所以p是是q的充分条件的充分条件,但不是必要条件但不是必要条件. (2)当当a=1时时,N=1,N M. 但但N M时时,有有a2=1或或a2=2,不一定有不一定有a=1. 因此因此pq,q p, 所以所以p是是q的充分条件的充分条件,但不是必要条件但不是必要条件.
