1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 选择性必修第三册 人A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 本资料分享自千人QQ群 323031380 期待你的加入与分享6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其意义. 2.会利用两个计数原理分析和解决一些简单的应用问题. 3.培养学生的数据分析能力. 第六章第六章计数原理计数原理 1 |分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案 中有n
2、种不同的方法,那么完成这件事共有N= m+n 种不同的方法. 推广:完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案 中有m2种不同的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+m2+mn 种不同的方法. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 2 |分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方 法,那么完成这件事共有N= mn 种不同的方法. 推广:完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方 法,做第n步有m
3、n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1m2mn 种 不同的方法. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 3 |分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较与选择 1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 不同点 分类完成,类类相加分步完成,步步相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完 成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中 的每一种方法都不能独立完成这件事) 相同点两个计数原理都可以用来计算完成某件事的方法种数,最终的目的都是完成 某件事情 注意点类类独立,不重不
4、漏步步相依,步骤完整 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 在解决有关计数问题时,应注意合理分类,准确分步,同时还要注意列举法、模型 法、间接法和转换法的应用. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1.在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( ) 2.在分类加法计数原理中,每类不同方案中的方法都能完成这件事.() 3.在分步乘法计数原理中,任何一个单独的步骤都
5、能完成这件事.( ) 4.把10个苹果分成三份,要求每份至少有1个,至多有5个,则有4种不同分法.() 若其中一份有1个,则另两份分别有4个、5个,有1种分法;若其中一份有2个,则另两 份分别有3个、5个,或4个、4个,有2种分法;若其中一份有3个,则另两份分别有3 个、4个,有1种分法.所以共有1+2+1=4种分法. 5.在一次运动会上有四项比赛,冠军仅在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠 情况共有43种.( ) 因为每个项目的冠军都有3种可能的情况,所以由分步乘法计数原理知,共有34种 不同的夺冠情况. 判断正误,正确的画“”,错误的画“”. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运
6、动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 6.三个袋子内共装有18个不同的小球,一个装有5个白色小球,一个装有6个黑色小 球,一个装有7个红色小球,若每次从中取两个不同颜色的小球,则共有36种不同的 取法.( ) 分为三类:一类是取白球、黑球,有56=30种取法;一类是取白球、红球,有57=35 种取法;一类是取黑球、红球,有67=42种取法,所以由分类加法计数原理知,共有3 0+35+42=107种不同的取法. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1 |两个计数原理的
7、选择与应用 如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经 过乙地到丙地有2条水路可走. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1.从甲地经乙地到丙地的走法有多少种? 提示:根据分步乘法计数原理,可得从甲地经乙地到丙地的走法共有32=6种. 2.从甲地到丙地的走法一共有多少种? 提示:根据分类加法计数原理,可得从甲地到丙地的走法共有6+2=8种. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 两个计数原
8、理在解决计数问题中的应用 用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要仔细分析,分清是 分类还是分步. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 类中有步,步中有类 从AD共有m1(m2+m3+m4)m5种方法. 从AB共有(m1m2m3+m4m5)种方法. “类”用“+”连接,“步”用“”连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件 事的完成,“步”则缺一不可. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 应用两个计数原
9、理的常用方法 (1)当涉及元素数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法. (2)当涉及元素数目很大时,一般有两种方法: 直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理. 间接法:先去掉限制条件,计算方法总数,然后减去所有不符合条件的方法数即可. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另外2名 既会下象棋又会下围棋.现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多 少种不同的选法? 解析解析 分四类:第1类,从3名只会下象
10、棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只 会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有32=6种选法; 第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会 下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有32=6种选法; 第3类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会 下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,有22=4种选法; 第4类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比 赛,有21=2种选法. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 故不同的选法
11、共有6+6+4+2=18种. 方法总结 在解决实际问题的过程中,并不一定是单一的分类或分步,而是可能同 时应用两个计数原理,即分类时,每类的方法数可能要分步完成;分步时,每步的方法 数可能会采取分类的思想解决.另外,具体问题是先分类后分步,还是先分步后分类, 应视问题的特点而定.解题时经常是两个计数原理交叉使用,分类的关键在于要做 到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这5个数
12、字中任取2个不同的数字,求该 方程所表示的不同直线的条数. 思路点拨思路点拨 以A,B中是否有数字0为标准进行分类计数,或利用排除法求解. 解析 解法一:分两类. 第一类:当A,B中有一个为0时,方程表示直线x=0或y=0,共2条不同的直线. 第二类:当A,B都不为0时,确定直线Ax+By=0需要分两步完成. 第一步,确定A的值,有4种不同的方法. 第二步,确定B的值,有3种不同的方法. 所以该方程所表示的不同直线共有2+43=14条. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 解法二(间接法):分两步. 第一步
13、:确定A的值,有5种不同的方法. 第二步:确定B的值,有4种不同的方法. 根据分步乘法计数原理,可以确定54=20条直线. 在这20条直线中,当A=0,B=1,2,3,5时,表示同一直线y=0;当B=0,A=1,2,3,5时,表示同 一直线x=0,即有6条直线是重复计数的.故该方程所表示的不同直线有20-6=14条. 名师点评 当问题从正面考虑情况比较多,而从反面考虑情况较少且容易计算时, 宜采用排除法,即先求出方法总数,再减去不符合条件或重复计数的方法数.排除法 体现了“正难则反”的思想. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念
14、讲描述运动的基本概念 2 |涂色问题 涂色问题是计数原理应用的典型问题,一般是指求用几种不同颜色给已知图形的 不同区域(或点)涂色,共有几种涂法的问题.涂色本身就是策略的一个运用过程.涂 色时需要关注图形特征:区域的个数、区域的相邻情况、图形形状等.这些特征都 有可能使分类的标准、分步的过程不同.涂色问题大致有两种解决方案:(1)选择正 确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,应用分步乘法计数原理进行计算;(2)先根据涂色时 所用颜色种数的多少进行分类处理,再在每一类的涂色方案的计算中应用分步乘 法计数原理,最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和,即得到最终 的涂色方法数. 第六章第六章计数原
15、理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 将红、黄、绿、黑四种颜色涂在如图所示的五个区域中,若要求相邻的两个区域 的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法? 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 解析 解法一:当B与D同色时,不同的涂色方法有43212=48种; 当B与D不同色时,不同的涂色方法有43211=24种. 故共有48+24=72种不同的涂色方法. 解法二:按涂色时所用颜色种数分类: 第一类,用4种颜色,此时B,D或A,E同色,则共有24321=48种不同的涂色方法; 第二类,用3种颜色,此时B,D同色,A,E同色, 先从4种颜色中取3种,再涂色, 共有4321=24种不同的涂色方法. 由分类加法计数原理知,共有48+24=72种不同的涂色方法. 规律方法 求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用方法如下: (1)根据区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析; (2)以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法 计数原理分析. 第六章第六章计数原理计数原理
