1、7.2离散型随机变量及其分布列 本资料分享自千人教师 QQ群483122854，期待 你的加入与分享 第2课时 利用随机变量研究某类问题,如抽取的奖券是否中奖,买回的一件 产品是否为正品,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,这些问题有什 么特点? 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果. 一、概率分布列 1.分布列 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,xn,我们称X取每 一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,n为X的概率分布列,简称分布 列,分布列的表格表示如下: Xx1x2xn Pp1p2pn 名师点析对分布列的理解应注意的问题 (1)离散型随机变量的分布列描述了
2、由这个随机变量所刻画的随机 现象,与函数的表示法一样,离散型随机变量的分布列也可以用表 格、等式P(X=xi)=pi和图象表示. (2)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能 的值,而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了 随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机变量数 字特征的基础. 2.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi0,i=1,2,n; (2)p1+p2+pn=1. 名师点析对分布列性质的理解 1.离散型随机变量的两条性质是检验一个分布列是否正确的重要 依据,尤其是要看它们的概率之和是否等于1.可利用这两条性质求 出分布列中的未知数. 2.离
3、散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的,故离散型 随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率之和. 微练习 (1)一个盒子中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红 球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一半,现从该盒 子中随机取出一个球.若取出红球得1分,取出黄球得0分,取出绿球 得-1分,试写出从该盒子中随机取出一球所得分数的分布列. 解:设黄球的个数为n,则绿球的个数为2n,红球的个数为4n,球的总 数为7n,=1,0,-1,所以 -101 P (2)已知离散型随机变量X的分布列为 X1234 Pm 则m的值为() 答案:C 二、两点分布 X01 P
4、1-pp 我们称X服从两点分布或01分布. 微练习 设某试验成功率是失败率的2倍,用随机变量去描述一次试验的成 功次数,则P(=0)等于() 解析:由题意知=0表示试验失败,=1表示试验成功,设失败率为p, 则成功率为2p,的分布列如下. 01 Pp2p 答案:C 离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 例1从装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱 中随机地取出两个球,规定每取出1个黑球赢2元,而每取出1个白球 输1元,取出黄球无输赢. (1)以X表示赢得的钱数,求X的分布列; (2)求出赢钱(即X0时)的概率. 解:(1)依题意, 当取到2个白球时,随机变量X=-2;
5、当取到1个白球,1个黄球时,随机变量X=-1; 当取到2个黄球时,随机变量X=0; 当取到1个白球,1个黑球时,随机变量X=1; 当取到1个黑球,1个黄球时,随机变量X=2; 当取到2个黑球时,随机变量X=4. 所以随机变量X的可能取值为-2,-1,0,1,2,4. 所以X的分布列为 反思感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i=1,2,n),并确定X=xi的意 义; (2)借助概率知识求出随机变量X取每一个值时的概率 P(X=xi)=pi(i=1,2,n); (3)列成表格的形式. 变式训练1袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取 出的
6、黑球不再放回,第一次取出白球后停止,求取球次数X的分布列. 离散型随机变量的分布列的性质离散型随机变量的分布列的性质 例2设离散型随机变量X的分布列为 X01234 P0.20.10.10.3m 求2X+1的分布列. 解:由分布列的性质知, 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3. 当X=0,1,2,3,4时,2X+1=1,3,5,7,9, 故2X+1的分布列为 2X+113579 P0.20.10.10.30.3 延伸探究 若例2的条件不变,求随机变量=|X-1|的分布列. 解:由例2,知m=0.3.列表为 X01234 |X-1|10123 故P(=1)=P(X=0)+P(
7、X=2)=0.2+0.1=0.3, P(=0)=P(X=1)=0.1,P(=2)=P(X=3)=0.3, P(=3)=P(X=4)=0.3. 故=|X-1|的分布列为 0123 P0.10.30.30.3 反思感悟 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注 意检验,以保证每个概率值均为非负数. 2.求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各 随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式. 变式训练2某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款 期数的分布列为 12345 P0.120.240.180.210.25 商场经销一件该商品,采用1期付款
8、,其利润为200元;分2期或3期付 款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.若表示经销 一件该商品的利润,求的分布列. 解:由题意得,的可能取值为200,250,300, 则P(=200)=P(=1)=0.12, P(=250)=P(=2)+P(=3)=0.24+0.18=0.42, P(=300)=P(=4)+P(=5)=0.21+0.25=0.46, 故的分布列为 200250300 P0.120.420.46 两点分布两点分布 例3一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球. (1)从中任意摸出1个球,用0表示摸出白球,用1表示摸出红球,即 (2)从中任意摸出两
9、个球,用Y=0表示“两个球全是白球”,用Y=1表示 “两个球不全是白球”,求Y的分布列. 故X的分布列为 反思感悟 两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的. (2)由对立事件的概率求法可知P(X=0)+P(X=1)=1. 分布列在实际生活中的应用分布列在实际生活中的应用 典例某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质 量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新 配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并 测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果. A配方的频数分布表 指标值分组 90,94) 94,98)
10、98,102)102,106) 106,110 频数82042228 B配方的频数分布表 指标值分组 90,94)94,98)98,102)102,106)106,110 频数412423210 (1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率; (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标 从用B配方生产的产品中任取一件,其利润记为X(单位:元),求X的分 布列.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的 质量指标值落入相应组的概率) (2)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间 90,94),94,102),102,110的频率分别为0.04,0
11、.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 故X的分布列为 X-224 P0.040.540.42 方法点睛 本题已知条件中有表格,有函数关系式,出现的概念、术 语较多,是比较综合的一道统计概率问题.解答此类问题的技巧和 关键在于理解题意,明确各种术语的联系,利用求频率及分布列的 思路和方法,逐步求解. 1.(2020浙江高三专题练习)设随机变量X的概率分布列为 则P(|X-3|=1)=() 答案:D 2.已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数). X01234 P0.10.20.40.2a 则下列结论错误的是() A.a=0.1 B.P(X2)=0.7 C.P(X3)=0.4 D.P(X1)=0.3 答案:C 4.设为一个离散型随机变量,其分布列为 则P(0)=. 5.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为 , 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再 取取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在 每一次被取出的机会是等可能的,用表示取球终止所需要的取球 次数. (1)求袋中所有的白球的个数. (2)求随机变量的分布列. (3)求甲取到白球的概率. 故的分布列为
