1、章末复习课 第六章计数原理 本资料分享自千人QQ群323031380 期待你的加入与分享 内 容 索 引 知识网络 考点突破 真题体验 1知识网络 PART ONE 2考点突破 PART TWO 一、两个计数原理 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在 进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证 类与类的互斥性，又要关注总数的完备性. 2.掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养. 例1(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1 张，则不同的取法种数为 A.4
2、84 B.472 C.252 D.232 (2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名 老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工， 4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ 解方法一设A，B代表2位老师傅. 所以共有7510010185(种)选派方法. 所以共有3512030185(种)选派方法. 反思 感悟 应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后 分类. (4)选择计数原理进行计算. 跟踪训练1(1)从1,2,3,4,5,6这6个数字
3、中，任取3个数字组成无重复数字 的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一 个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有_个.(用数 字作答) 60 解析1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类. (2)由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至 少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不 同的参赛方案共有_种. 30 所以不同的参赛方案共有36630(种). 二、排列与组合的综合应用 1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举 足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元 素(特殊位置
4、)优先的原则. 2.明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养. 例2在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ 根据分步乘法计数原理，一共有5 04024120 960(种)安排顺序. (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同 的节目安排顺序？ 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“”的 位置)， 根据分步乘法计数原理，一共有720840604 800(种)安排顺序. (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但 不能改变原来节目的相对
5、顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 但原来的节目已定好顺序，需要消除， 反思 感悟 解决排列、组合综合问题要注意以下几点 (1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题. (2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制 条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时 要步步相接. (3)对于含有“至多”、“至少”的问题，常采用间接法，此 时要考虑全面，排除干净. 跟踪训练26个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演. (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ 解要完成这件事分三步. (2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 三、二项式定理及其应用 1
6、.二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明 整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于三项式相应展开式 项的系数求解. 2.二项式原理所体现的是一种数学运算素养. 命题角度1二项展开式的“赋值问题” 例3(1)若(2x )4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1 a3)2的值为 A.1 B.0 C.1 D.2 (a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4). 所以(a0a2a4)2(a1a3)2(43)41. (2)若(3x22x1)5a10 x10a9x9a8x8a1xa0(xC)，求(a0 a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2；
7、 解令x1，得a0a1a1025； 令x1，得(a0a2a4a6a8a10)(a1a3a5a7a9)65. 两式相乘，得(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2 2565125. a2a4a6a8a10. 解令xi，得a10a9ia8a7ia6a5ia4a3ia2a1ia0 (22i)525(1i)525(1i)22(1i)128128i. 整理得，(a10a8a6a4a2a0)(a9a7a5a3a1)i128 128i， 故a10a8a6a4a2a0128. 因为a01， 所以a10a8a6a4a2127. 反思 感悟 “赋值法”在二项展开式中的应用 (1)观察：先观察二项
8、展开式左右两边式子的结构特征. (2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值 有x1，x0，x1等等，具体视情况而定. (3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可. 跟踪训练3若(x21)(x3)9a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3 a11(x2)11，则a1a2a3a11的值为_. 5 解析令x2，得a0(221)(23)95， 令x3，则a0a1a2a3a11(321)(33)90， 所以a1a2a3a11a05. 命题角度2二项展开式的特定项问题 例4已知在 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比 是563. (1)求展开式中的所有有理项； 解得n10
9、(负值舍去)， 5 5 6 k x 于是有理项为T1x5和T713 440. (2)求展开式中系数的绝对值最大的项； 又因为k1,2,3，9，所以k7， 解设第k1项系数的绝对值最大， 当k7时，T815 360 ， 5 6 x 又因为当k0时，T1x5， 当k10时，T11(2)10 1 024 ， 10 3 x 10 3 x 所以系数的绝对值最大的项为T815 360 . 5 6 x 反思 感悟 二项式特定项的求解策略 (1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等 式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素. (2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知 数的指数为零
10、，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确 定常数项. (3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由 条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数. (4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数 的性质. 跟踪训练4已知( )n的展开式中所有项的二项式系数之和为1 024. (1)求展开式的所有有理项(指数为整数)； 解由题意得，2n1 024，n10， 展开式的通项为 10 23 kk x 5 6 k x (2)求(1x)3(1x)4(1x)n的展开式中x2项的系数. 3真题体验 PART THREE 1234 1.(2019全国)(12x2)(1x)4的展开式中x3的
11、系数为 A.12 B.16 C.20 D.24 5 解析展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成， 1234 令103k4，解得k2. 5 12345 3.(2020新高考全国)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名 同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名， 则不同的安排方法共有 A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 12345 12345 4.(2020全国) (xy)5的展开式中x3y3的系数为 A.5 B.10 C.15 D.20 x3y3的系数为10515. 12345 5.(2020全国)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只 去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种.36 由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6636(种). 本课结束 更多精彩内容请登录：
