1、7.5正态分布 第七章随机变量及其分布 本资料分享自千人QQ群323031380 期待你的加入与分享 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义. 2.了解变量落在区间，2，2，3，3 内的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1知识梳理 PART ONE 1.我们称f(x) ，xR，其中R，0为参数，为正态密 度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 2.若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布， 记为 .特别地，当0，
2、1时，称随机变量X服从标准正 态分布. 知识点一正态曲线与正态分布 2 2 () 2 e x XN(，2) 3.若XN(，2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(Xx)为图中区域A 的面积，而P(aXb)为区域B的面积. 思考1正态曲线f(x) ，xR中的参数，有何意义？ 2 2 () 2 e x 答案可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)； 0表示标准差，D(X)2. 一个正态密度函数由，唯一确定，和e为常数，x为自变量，xR. 思考2若随机变量XN(，2)，则X是离散型随机变量吗？ 答案若XN(，2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义： P(a0，它的图象在x轴的 . 2.曲
3、线与x轴之间的面积为 . 3.曲线是单峰的，它关于直线 对称. 4.曲线在 处达到峰值 . 5.当|x|无限增大时，曲线无限接近 轴. 知识点二正态曲线的特点 上方 1 x x x 6.当 一定时，曲线的位置由确定，曲线随着 的 变化而沿x轴平移，如图. 7.当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变 量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布 比较分散，如图. P(X) ； P(2X2) ； P(3X3) . 尽管正态变量的取值范围是(，)，但在一次试验中，X的取值 几乎总是落在区间3，3内，而在此区间以外取值的概率大约 只有0.002 7，通常认为这种情
4、况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取 3，3中的值，这在统计学中称为3原则. 知识点三正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3原则 0.682 7 0.954 5 0.997 3 1.正态曲线中参数，的意义分别是样本的均值与方差.() 2.正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的. () 3.正态曲线可以关于y轴对称.() 4.若XN(，2)，则P(X时，曲线下降，当x5). 反思 感悟 利用正态分布的对称性求概率 由于正态曲线是关于直线x对称的，且概率的和为1，故 关于直线x对称的区间上概率相等. 跟踪训练2已知随
5、机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8， 则P(02)等于 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析随机变量服从正态分布N(2，2)， 2，对称轴是2. P(4)0.8，P(4)P(0)0.2， P(04)0.6， P(02)0.023，则P(2 2)等于 A.0.477 B.0.954 C.0.628 D.0.977 核心素养之直观想象 HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG 解析画出正态曲线如图所示，结合图象知，P(2 2)1P(2)P(2)与P(22)概率的关系， 提升了学生的直观想象素养. 3随堂演练 PART THREE
6、1.设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x) ， 则这个正态总体的均值与标准差分别是 A.10与8 B.10与2C.8与10 D.2与10 12345 解析由正态密度函数的定义可知，总体的均值10，方差24，即 2. 2.正态分布N(0,1)在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二 者大小关系为 A.P1P2 B.P1P2 D.不确定 12345 解析根据正态曲线的特点，图象关于x0对称，可得在区间(2， 1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等. 3.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机 取一件，其长度误差落在区间(
7、3,6)内的概率为 (附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.27%， P(22)95.45%) A.4.56% B.13.59%C.27.18% D.31.74% 12345 12345 4.设随机变量服从正态分布N(2,9)，若P(c1)P(c1)P(0).若X在(0,1)内取 值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为 . 0.8 解析如图，易得P(0X1)P(1X2)， 故P(0X2)2P(0X3或X2 C.12 D.21，120)，P(4)0.84，则P(0) 等于 A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.84 12345678910 11 12 13 14
8、 15 解析随机变量服从正态分布N(2，2)，2， P(1230B.01212130D.01213 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 由正态曲线的性质，当一定时，曲线的形状由 确定，越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”. 故选D. 12345678910 11 12 13 14 15 6.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X1)0.5，则实数a的值 为 . 解析X服从正态分布N(a,4)， 正态曲线关于直线xa对称， 又P(X1)0.5，故a1. 16 1 7.已知随机变量XN(2， 2)，如图所
9、示，若P(X4a)P(Xa)0.32， P(aX4a)1P(X4a)12P(Xa)0.36. 16 0.36 8.已知XN(4，2)，且P(2X6)0.682 7，则 ，P(|X2|4) . 12345678910 11 12 13 14 15 0.84 16 2 解析XN(4，2)，4. P(2X6)0.682 7， 12345678910 11 12 13 14 15 16 P(|X2|4)P(2X6) P(2X2)P(2X4)的值. 16 解随机变量XN(3，2)， 正态曲线关于直线x3对称， 又P(2X4)0.68， 12345678910 11 12 13 14 15 10.一投资者
10、在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万 元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元” 的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？ 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解对于第一个方案有XN(8,32)， 其中8，3， 对于第二个方案有XN(7,12)，其中7，1， 显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二 个方案. 解析因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)， 综合运用 12345678910 11 12 13 14 15 11.在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的
11、数学成绩服 从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生 在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第 A.1 500名 B.1 700名 C.4 500名 D.8 000名 16 所以0.158 659 4551 500. 12.一批电阻的电阻值X(单位：)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙 两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 和 982 ，可以认为 A.甲、乙两箱电阻均可出厂 B.甲、乙两箱电阻均不可出厂 C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 123456
12、78910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 解析XN(1 000,52)，1 000，5， 31 00035985， 31 000351 015. 1 011(985,1 015)，982 (985,1 015)， 甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂. 16 12345678910 11 12 13 14 15 13.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从 正态分布XN(100,1).现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下： 101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.
13、8,100.4,100.0.XN(，2)， 有P(2X2)0.954，P(3X3)0.997.根据行业标 准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员 检验，则质检员认为设备需检修的概率为 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间97,103内， 工人随机将其中的8个交与质检员检验， 14.已知随机变量XN(2,22)，且aXb(a0)服从标准正态分布N(0,1)，则 a ，b . 解析随机变量XN(2,22)， E(X)2，D(X)224. E(aXb)aE(X)b2ab0， D(aXb)a2D(X
14、)4a21， 12345678910 11 12 13 14 15 -1 16 15.(多选)设XN(1， )，YN(2， )，这两个正态分布密度曲线如图 所示.下列结论中错误的是 A.P(Y2)P(Y1) B.P(X2)P(X1) C.对任意正数t，P(Xt)P(Yt) D.对任意正数t，P(Xt)P(Yt) 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题图可知102，12， P(Y2)P(X1)，故B错； 当t为任意正数时，由题图可知P(Xt)P(Yt)， 而P(Xt)1P(Xt)，P(Yt)1P(
15、Yt)， P(Xt)t)，故C正确，D错. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要 求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农 村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入 力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入 并制成如右频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计50位农 民的年平均收入 (单位：千元)(同一组 数据用该组数据区间的中点值表示)； 12345678910 11 12 13 14 15 解 120.04140.121
16、60.28180.36200.10220.06 240.0417.40(千元)， 16 故估计50位农民的年平均收入 为17.40千元. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(， 2)，其中近似为年平均收入 ，2近似为样本方差s2，经计算得s26.92， 利用该正态分布，求： 在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫 办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ 若随机变量X服从正态分布N(，2)，则 P(X)0.682 7，P(2X 2)0.954 5，P(3X3) 0
17、.997 3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意知XN(17.40,6.92)， 所以17.402.6314.77时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元. 12345678910 11 12 13 14 15 16 为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机 走访了1 000位农民.若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中 的年收入高于12.14千元的人数为，求E(). 若随机变量X服从正态分布N(，2)，则 P(X)0.682 7，P( 2X2)0.954 5，P(3X 3)0.997 3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.977 3， 则B(1 000，p)，其中p0.977 3， 所以E()1 0000.977 3977.3. 本课结束 更多精彩内容请登录：
