1、1 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 第四章第四章 数列数列 数学文化了解数学文化的发展与应用 数列的历史悠久，中国、古印度、阿拉伯、古希腊等数学历史中都有数列的主题，分 布广泛，人类对数列的认识很早，不晚于函数，而且各个国家、地区对数列的认识水 平较深入. 庄子中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；古代易经中有“是故易 有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，这里包含了数列的涵意.中国的刘徽 九章算术、西方的欧几里得几何原本都有丰富的数列内容.它们表明，数列是 非常古老的数学对象，无论东方还是西方，古往今来，数列始终是数学研究的重要问 题之一，历史悠久，文化灿烂. 本资料分享自
2、千人QQ群323031380 期待你的加入与分享 2 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 读图探新发现现象背后的知识 发现规律的能力是各行各业的人都需要具备的，因此，很多职业测试中都会有 数字推理的考查内容.例如，以下是“行政职业能力测验”中的一道题，你能快 速地做出来并说明理由吗？ 3 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 根据1，2，4，7，()，16中各数字之间的关系，填出括号中的数. 解答此类题目的关键无疑是要找出其中数字出现的规律.事实上，很久以前人们就开始 了对类似问题的研究. 例如，古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4，9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点 可以摆成
3、一个正方形，如下图所示. 依据这一规律，我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等 等. 你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现. 4 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 19世纪的时候，门捷列夫将当时已有的原子量约为7至14的元素按从小到大的顺序排 列后，得到了如下结果： 元素锂硼碳铍氮 原子量 7 11 12 13.5 14 化合价 1 3 4 2 5 仔细观察，你是否发现了其中的不“和谐”的地方？ 门捷列夫当时猜测，铍的原子量可能不是13.5，而应该约为9，这一猜测后来在实验 室得到验证！ 数学上，通常将按一定顺序排列的数称为数列.本章我们要学习
4、的就是数列的基础知 识，以及两种规律比较常见的数列. 5 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4.1数列的概念数列的概念 第一课时数列的概念与表示第一课时数列的概念与表示 课标要求素养要求 1.通过日常生活和数学中的实例，了解 数列的概念和表示方法(表格、图象、解 析法). 2.了解数列是一种特殊函数. 从日常生活和数学中的实例，经历数列 的概念的抽象过程，并在由数列的前几 项归纳数列的通项公式的过程中，发展 学生的数学抽象素养和逻辑推理素养. 6 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 新知探究 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时， 喜欢把数
5、描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一 系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能 摆成正三角形，如图1.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16 等数时，小石子都能摆成正方形，如图2.他把这些数叫作正方形数，等等.每一系列 有形状的数按顺序排列出来就称为数列.那么数列的有关概念是什么？ 7 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 可分为哪几类？就让我们一起进入今天的学习吧. 8 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 1. (1)数列：按照_排列的一列数称为数列. (2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数
6、列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号_表示，第二 个位置上的数叫做这个数列的第2项，用_表示第n个位置上的数叫 做这个数列的第n项，用_表示.其中第1项也叫做_. 确定的顺序 a1 a2 an首项 数列与数列的项 “顺序”是数列最根本的性质 9 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 2.数列的 数列的一般形式是a1，a2，an，简记为an. 3.数列的表示方法 (1)表示方法：解析式法、表格法、图象法. (2)数列的通项公式：如果数列an的_与它的_之间的对应 关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 第n项an序号n 一般形式与集合的表示
7、方法不同！ 10 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4.数列的 类别含义 递增数列从第2项起，每一项都_它的前一项的数列 递减数列从第2项起，每一项都_它的前一项的数列 常数列各项都_的数列 单调性 与函数的单调性类似，项数n相当于自变量x，项an相当于函数值f(x). 大于 小于 相等 11 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 拓展深化 微判断 1.1，1，1，1是一个数列.( ) 2.数列1，3，5，7，的第10项是21.( ) 提示第10项并不一定是21，也可能是其它任何数. 3.每一个数列都有通项公式.( ) 提示并不是每一个数列都有通项公式. 4.如果一个数列不是递
8、增数列，那么它一定是递减数列.( ) 提示也可能是摆动数列，如：1，1，1，1，. 12 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 解析a3a6(32)(63)538. 答案8 13 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 2.根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式. 14 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 微思考 1.数列的项和它的项数是否相同？ 提示数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个 确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的 位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n. 15 创新设计创新设计 课堂互动
9、课前预习素养达成 2.数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与1，2，3，4，5有什么区别？ 提示数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二 者的元素顺序不同，而集合1，2，3，4，5与这两个数列也不相同，一方面 形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性. 16 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型一数列的概念与分类 【例1】(1)(多选题)下列四个数列中的递增数列是() 17 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 18 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 解析(1)A是递减数列；B是摆动数列；C，D是递增数列. 解得2a3，
10、选D. 答案(1)CD(2)D 19 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法数列单调性的判断 若满足anan1(nN*)则是递减数列；若满 足anan1(nN*)则是常数列；若an与an1(nN*)的大小不确定时，则是摆动数 列. 20 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练1】已知下列数列： 21 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 答案(1)(2) 22 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型二由数列的前几项写出数列的一个通项公式 【例2】写出下面各数列的一个通项公式 23 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 (3)这个数列的奇数项为负，
11、偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1，2， 3，4，5，6，分子依次为1，3，1，3，1，3，所以它的一个通项公式为 24 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 25 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化 (转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解.具体注意以下几方面： (1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各 项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同；(6)对于符号交替出现的情况，可用 (1)k或(1)k1处理. 26 创新设计创新设计 课堂互动课
12、前预习素养达成 【训练2】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 27 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 28 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 29 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 30 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数 列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 31 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练3】在数列an中，a12，a1766，通项公式an是n的一次函数. (1)求an的通项
13、公式； (2)判断88是不是数列an中的项？ (2)令a n88，即4n288，解得n 22.5 N*， 88不是数列an中的项. 32 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 解法一函数单调性法 当n0，即an1an，即an在n8时，an1an0，即an18时单调递减. 法二不等式组法 34 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 35 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 (1)讨论数列an的单调性； (2)求数列an的最大项和最小项. 据此可得1a1a2a3a15，且a16a17a18a191，所以当n16时，数列an 单调递减；当n16时，数列an单调递减. (2)由(1
14、)，知数列an的最大项为a16，最小项为a15. 36 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 一、素养落地 1.通过学习数列的通项公式求法及应用，重点培养逻辑推理素养及提升数学运算 素养. 2.数列中的项具有三个性质：(1)确定性，(2)可重复性，(3)有序性. 3.数列可以看作以自然数n(n1)为自变量，以对应的项为函数值的函数，因此数 列也具有单调性，有递增数列和递减数列之分. 4.根据数列的前几项求其通项公式时，抓住其每一项之间的特征，并对此进行联 想、转化、归纳. 37 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 二、素养训练 1.下列叙述正确的是() 38 创新设计创新设计 课
15、堂互动课前预习素养达成 答案D 39 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 2.数列an中，an2n，则16是这个数列的() A.第16项 B.第8项 C.第4项 D.第2项 解析令an2n16，得n4. 答案C 40 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 3.数列2，3，4，5，的一个通项公式为() A.ann B.ann1 C.ann2 D.an2n 解析这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为ann1. 答案B 41 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 A.12 B.13 C.14 D.15 答案C 5.已知ann22n5，求数列an的最小值. 解由ann22n5(n1)24可知，当n1时，an的最小值为a14. 42 本节内容结束
