1、4.4*数学归纳法数学归纳法 基础过关练 题组一用数学归纳法证明等式 1.(2019 福建莆田一中高二期中)用数学归纳法证明等式 1+a+a2+an-1=1? ? 1? (a1,nN*),在验证 n=1 成立时,等式左边需 计算的项是() A.1B.1+a C.1+a+a2D.1+a+a2+a3 2.用数学归纳法证明 1+2+3+4+(2n-1)+2n=2n2+n(nN*),当 n=k+1(kN*)时,等式左边应在 n=k 时的基础上加的项是() A.2k+1B.2k+2 C.(2k+1)+(2k+2)D.1 3.用数学归纳法证明 1-1 2+ 1 3- 1 4+ 1 2?-1- 1 2?=
2、1 ?+1+ 1 ?+2+ 1 2?(nN *)时, 第一步应验证的等式是. 4.(2019 安徽亳州二中高二月考)用数学归纳法证明: 1+2+3+(n+3)=(?+3)(?+4) 2 (nN*). 题组二用数学归纳法证明不等式 5.用数学归纳法证明 1+1 2+ 1 3+ 1 2?-11)时,第一步应验 证的不等式是() A.1+1 22 B.1+ 1 2+ 1 32 C.1+1 2+ 1 33 D.1+1 2+ 1 3+ 1 4n2+1 对于 nn0的正整数 n 成立”时,第 一步证明中的起始值 n0应取() A.1B.2C.3D.5 7.对于不等式 ?2+ nn+1(nN*),某学生的证
3、明过程如下:当 n=1 时, 12+ 11+1,不等式成立. 假设当 n=k(kN*)时,不等式成立,即 ?2+ kk+1,则当 n=k+1 时, (? + 1)2+ (k + 1)= ?2+ 3k + 2 ? + 1都成立. 题组三用数学归纳法解决归纳猜想证明问题 9.平面内有 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都无公共 点,用 f(n)表示这 n 个圆把平面分割的区域数,那么 f(n+1)与 f(n)之间 的关系为() A.f(n+1)=f(n)+nB.f(n+1)=f(n)+2n C.f(n+1)=f(n)+n+1D.f(n+1)=f(n)+n-1 10.如图为一个类似于杨辉
4、三角的数阵,则第九行的第二个数 为. 1 33 565 711117 91822189 11.(2020 重庆七校联盟高二上期末联考)数列an满足 Sn=2n-an(nN*). (1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. 能力提升练 题组一用数学归纳法证明等式 1.(2019 辽宁凤城一中高二月考,)用数学归纳法证明 “1+2+3+n3=? 5+?3 2 ,nN*”的过程中,从 n=k(kN*)到 n=k+1 时,等式左边应添加的项是() A.k3+1B.(k+1)3 C.(k3+1)+(k3+2)+(k+1)3D.5 4 2.()观
5、察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 按照以上式子的规律: (1)写出第 5 个等式,并猜想第 n(nN*)个等式; (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第 n(nN*)个等式成立. 题组二用数学归纳法证明不等式 3.()已知 f(n)=1+1 2+ 1 3+ 1 ?(nN *),用数学归纳法证明 f(2n)?+1 2 时,f(2k+1)-f(2k)=. 4.(2019 湖南长沙长郡中学调研,)已知正项数列an满足 a1=1,an+1= ? ? 2+ n(nN *). (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=(n+1)an-nan
6、+1,记数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn1,n 所取的第一个正整数为 2,又 22-1=3,故第一 步应验证 1+1 2+ 1 3n2+1 不成立, 当 n=2 时,左边=22=4,右边=22+1=5,2nn2+1 不成立, 当 n=3 时,左边=23=8,右边=32+1=10,2nn2+1 不成立, 当 n=4 时,左边=24=16,右边=42+1=17,2nn2+1 不成立, 当 n=5 时,左边=25=32,右边=52+1=26,2nn2+1 成立, 因此当 n5 时,命题 2nn2+1 成立. 所以第一步证明中的起始值 n0应取 5. 故选 D. 7.D从n=k(kN*)到n=k+
7、1的推理中没有使用归纳假设,不符合数 学归纳法的证明要求. 8.证明由 bn=2n,得?+1 ? =2?+1 2? , 所以?1+1 ?1 ?2+1 ?2 ?+1 ? =3 2 5 4 7 6 2?+1 2? . 用数学归纳法证明不等式3 2 5 4 7 6 2?+1 2? ? + 1成立,证明如下: 当 n=1 时,左边=3 2,右边= 2,因为 3 2 2,所以不等式成立. 假设当 n=k(kN*)时不等式成立,即3 2 5 4 7 6 2?+1 2? ? + 1成立, 则当 n=k+1 时,左边=3 2 5 4 7 6 2?+1 2? 2?+3 2?+2 ? + 1 2?+3 2?+2
8、= (2?+3)2 4(?+1) = 4?2+12k+9 4(?+1) 4?2+12k+8 4(?+1) = 4(?2+3k+2) 4(?+1) = 4(?+1)(?+2) 4(?+1) = ? + 2 = (? + 1) + 1=右边. 所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由可得不等式3 2 5 4 7 6 2?+1 2? ? + 1对任意的 nN*都成立, 即原不等式成立. 9.B依题意得,由 n 个圆增加到 n+1 个圆,增加了 2n 个交点,这 2n 个交点将新增的圆分成 2n 段弧,而每一段弧都将原来的一块区域分 成了 2 块,故增加了 2n 块区域,因此 f(n+1)=f(n)
9、+2n. 10.答案66 解析设第 n(n2 且 nN*)行的第二个数为 an,由题图可知 a2=3,a3-a2=3,a4-a3=5,an-an-1=2n-3,叠加可得 an=n2-2n+3, 所以第九行的第二个数 a9=81-18+3=66. 11.解析(1)Sn=2n-an, 当 n=1 时,S1=21-a1a1=1, 当 n=2 时,S2=22-a2a2=3 2, 当 n=3 时,S3=23-a3a3=7 4, 当 n=4 时,S4=24-a4a4=15 8 , 由此猜想 an=2 ?-1 2?-1(nN *). (2)证明:当 n=1 时,a1=1,结论成立. 假设当 n=k(kN*)
10、时,结论成立,即 ak=2 ?-1 2?-1. 则当 n=k+1 时, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak =2+ak-ak+1, 2ak+1=2+ak, ak+1=2+? 2 = 2+2 ?-1 2?-1 2 =2 ?+1-1 2? , 所以当 n=k+1 时,结论成立, 综上所述,an=2 ?-1 2?-1(nN *)成立. 能力提升练 1.C由题意可知, 当 n=k(kN*)时,左边=1+2+3+k3, 当 n=k+1 时,左边=1+2+3+k3+(k3+1)+(k+1)3, 所以由 n=k 到 n=k+1 时,等式左边应添加的项是 (k3+1)+(k3+2)+
11、(k+1)3. 2.解析(1)第 5 个等式为 5+6+7+8+9+10+11+12+13=92. 第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2,nN*. (2)证明:当 n=1 时,等式左边=1,等式右边=(2-1)2=1,所以等式成 立. 假设当 n=k(kN*)时,等式成立,即 k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)=(2k-1)2, 则当 n=k+1 时, (k+1)+(k+1)+1+(k+1)+2+3(k+1)-2=(k+1)+(k+2)+(k+ 3)+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)- k=(2
12、k-1)2+8k=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=2(k+1)-12,即 n=k+1 时 等式成立. 根据和,可知对任意 nN*等式都成立. 3.答案 1 2?+1+ 1 2?+2+ 1 2?+1 解析因为当 n=k 时,f(2k)=1+1 2+ 1 3+ 1 2?, 当 n=k+1 时,f(2k+1)=1+1 2+ 1 3+ 1 2?+ 1 2?+1+ 1 2?+1, 所以 f(2k+1)-f(2k)=1+1 2+ 1 2?+1- 1 + 1 2 + + 1 2? = 1 2?+1+ 1 2?+2+ 1 2?+1. 4.解析(1)由题可得,a1=1,a2= 2,a3= 3,从而猜想
13、an= ?(nN*). 用数学归纳法证明如下: 当 n=1 时,有 a1=1= 1,猜想成立; 假设当 n=k(kN*)时猜想成立, 即 ak= ?,则当 n=k+1 时, ak+1= ? ? 2+ k= ? + 1,所以当 n=k+1 时,猜想也成立. 由可知,an= ?对任意 nN*都成立. 数列an的通项公式为 an= ?,nN*. (2)证明:(? + 1) 3 2-? 3 2=( ? + 1- ?)(n+1)+ ? + 1 ?+n, 由基本不等式可得 (n+1)+ ? + 1 ?+n2 ? + 1 ?+ ? + 1 ?=3 ? + 1 ?, 所以 1 3 (? + 1) 3 2-1
14、3 ? 3 2( ? + 1- ?) ? + 1 ?=(n+1) ?-n ? + 1=bn, 所以 Tn1 3(2 3 2-1 3 2)+(3 3 2-2 3 2)+(? + 1) 3 2-? 3 2=1 3 (? + 1) 3 2-1 3, 故 Tn1 3 (? + 1) 3 2. 5.A假设当 n=k(kN*)时,命题成立,即 5k-2k能被 3 整除, 则当 n=k+1 时, 5k+1-2k+1=55k-22k=5(5k-2k)+52k-22k=5(5k-2k)+32k. 6.A由题意得,Sn+ 1 ?+2=Sn-Sn-1(n2), 所以 Sn=- 1 ?-1+2. 当 n=1 时,S1
15、=a1=-2 3, 则当 n=2 时,S2=- 1 ?1+2=- 3 4, 当 n=3 时,S3=- 1 ?2+2=- 4 5, 猜想:Sn=-?+1 ?+2(nN *). 用数学归纳法证明如下: 当 n=1 时,左边 S1=a1=-2 3,右边=- 1+1 1+2=- 2 3,猜想成立. 假设当 n=k(kN*)时猜想成立,即 Sk=-?+1 ?+2, 则当 n=k+1 时,Sk+1=- 1 ?+2=- 1 2?+1 ?+2 =-(?+1)+1 (?+1)+2,所以当 n=k+1 时猜想也 成立. 综上所述,Sn=-?+1 ?+2对任意 nN *都成立. 所以 S2 018=-2 018+1
16、 2 018+2=- 2 019 2 020.故选 A. 7.解析(1)证明:由 f(n)f(n+1)+1=22-f(n+1),得 f(n+1)=4?(?) ?(?)+2, 将 f(1)=2 代入,得 f(2)=42 2+2= 1 2, f(3)= 41 2 1 2+2 =7 5,所以 f(3)-f(2)= 7 5- 1 2= 9 10. (2)存在. 由 f(1)=2, f(2)=1 2,得 a=- 4 5,b= 1 5. 故猜想存在实数 a=-4 5,b= 1 5,使 f(n)= 1 -4 5 -3 2 ?-1 5 +1 对任意正整数 n 恒成 立.用数学归纳法证明如下: 当 n=1 时,
17、显然成立. 假设当 n=k(kN*)时,猜想成立, 即 f(k)= 1 -4 5 -3 2 ?-1 5 +1, 则当 n=k+1 时, f(k+1)=4?(?) ?(?)+2 = 4 1 -4 5 -3 2 ? -1 5 +1 1 -4 5 -3 2 ? -1 5 +1+2 = 12 5 -3 2 ?+8 5 12 5 -3 2 ? -2 5 =1+ 1 6 5 -3 2 ? -1 5 = 1 -4 5 -3 2 ?+1-1 5 +1, 即当 n=k+1 时, f(k+1)= 1 -4 5 -3 2 ?+1-1 5 +1 成立. 由可知,存在实数 a=-4 5,b= 1 5,使 f(n)= 1 ? -3 2 ?-b+1 对任意正整数 n 恒 成立.
