1、第五章第五章一元函数的导数及其应用一元函数的导数及其应用 数学文化了解数学文化的发展与应用 (一)早期导数概念特殊的形式 大约在 1629 年， 法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法， 1637 年左右，他写了一篇手稿求最大值与最小值的方法.在作切线时，他构造了差 分 f(AE)f(A)，发现的因子 E 就是我们现在所说的导数 f(A). (二)17 世纪广泛使用的“流数术” 17 世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础 上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分.牛顿的微积 分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流
2、数，相当于我 们所说的导数. (三)19 世纪导数逐渐成熟的理论 1823 年，柯西在他的无穷小分析概论中定义导数：如果函数 yf(x)在变量 x 的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个 不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量.19 世纪 60 年代以后，魏 尔斯特拉斯对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了 今天常见的形式. 读图探新发现现象背后的知识 1.我们从物理学中已经知道，物体运动的位移 x、速度 v、加速度 a(均指大小，下 同)之间具有紧密的联系.速度描述了位移变化的快慢，加速度描绘了速度变化的 快慢，即 vx t，a
3、 v t ， 其中 t 表示时间，t 表示时间的变化量. 特别地，当物体做的是初速度为 v0的匀加速直线运动时，a 是一个常数，此时 xv0t1 2at 2，vv0at. 2.我们知道，物体在做曲线运动时，速度的方向是与运动轨迹相切的.例如，如图 所示的砂轮打磨下来的微粒，是沿着飞轮的切线飞出去的.这也就意味着，求切线 是研究曲线运动时经常要做的事情. 我们在平面解析几何中已知知道怎样求圆锥曲线的切线.不过， 可能会让你感到意 外的是，那种求切线的方法并不适用于一般的曲线.然而，借助于导数来讨论曲线 的切线更具有一般性. 问题 1：物体运动的速度和位移有什么关系？加速度和速度又是什么关系呢？
4、问题 2：假设切点为(x0，y0)，如何求曲线 yf(x)在点(x0，y0)处的切线方程呢？ 链接：(1)如果从本章我们要学习的导数知识来看的话，上述速度就是位移关于 时间的导数，而加速度就是速度关于时间的导数，即 vxv0at，av， 其中 x与 v分别表示 x 与 v 对时间 t 的导数. (2)由导数的几何意义，切线的斜率为 kf(x0)，则曲线 yf(x)在点(x0，y0)处切线 的方程为 yy0f(x0)(xx0). 5.1导数的概念及其意义导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题变化率问题 课标要求素养要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过 渡到瞬时变化率的过程. 2.体会极限
5、思想. 根据具体的实例计算平均变化率和瞬时 变化率，并得到二者的关系，借此发展 数学抽象与数学运算素养. 新知探究 下面是我国北方某地某日气温日变化曲线图： 某地气温日变化曲线图 问题 1从图中可以看出，从 6 时到 10 时为“气温陡增”的时段，它的数学意义 是什么？ 提示“气温陡增”是指温度在相同的时间内变化大，即温差大. 问题 2如何比较不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设 6 时的气温是 25 ，10 时的气温是 29 ，12 时的气温是 30 ，那么如何比较从 6 时到 10 时 与从 10 时到 12 时气温变化的大小？ 提示用平均变化率比较不同时间段内的气温变化的大小.从 6
6、 时到 10 时的气温 变化率为2925 106 1，从 10 时到 12 时的气温变化率为3029 1210 1 2，则前者的气温 变化大. 1.瞬时速度 (1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. (2)瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为 yh(t)，则物体在 t0时刻的瞬时速度为 0 lim t h（t0t）h（t0） t . (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|t|无限趋近于 0 时， 平均速度v 就无限趋近于 tt0时的瞬时速度. 2.曲线的割线和切线切线是割线的极限位置 (1)切线：设 P0是曲线上一定点，P 是曲线上的动点，当点 P
7、 无限趋近于点 P0时， 割线 P0P 无限趋近于一个确定的位置， 这个确定位置的直线 P0T 称为曲线在点 P0 处的切线. (2)切线的斜率：设 P0(x0，y0)是曲线 yf(x)上一点，则曲线 yf(x)在点 P0(x0，y0) 处的切线的斜率为 k0 0 lim x f（x0 x）f（x0） x . (3)切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|x|无限变 小时， 点 P 无限趋近于点 P0， 于是割线 PP0无限趋近于点 P0处的切线 P0T， 这时， 割线 PP0的斜率 k 无限趋近于点 P0处的切线 P0T 的斜率 k0. 拓展深化 微判断 1.在计算物体运
8、动的瞬时速度时，h(t0t)h(t0).() 提示也可能有 h(t0t)h(t0). 2.瞬时速度是刻画物体在区间t0，t0t(t0)上变化快慢的物理量.() 提示瞬时速度是刻画物体在某一时刻速度的物理量. 3.曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置.() 微训练 1.若一质点的运动方程为 st21，则在时间段1，2中的平均速度是_. 解析v （2 21）（121） 21 3. 答案3 2.抛物线 yx21 在点(1，2)处的切线的斜率是_. 解析k （1x）21（121） x 0 lim x (2x)2. 答案2 微思考 1.教材中求抛物线切线的斜率的过程中x 表示什么？它的取值范围是什
9、么？ 提示x 是自变量的增量，它可以是正值，也可以是负值，但不为 0. 2.如果某物体在某时间段内的平均速度为 0， 能否判定该物体在此时间段内的瞬时 速度都为 0? 提示不能. 题型一求物体运动的平均速度 【例 1】 某物体运动的位移 s 与时间 t 之间的函数关系式为 s(t)sin t， t 0， 2 . (1)分别求 s(t)在区间 0， 4 和 4， 2 上的平均速度； (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解(1)物体在区间 0， 4 上的平均速度为 v 1s（t 2）s（t1） t2t1 s 4 s（0） 40 2 2 0 4 2 2 . 物体在区间 4， 2
10、上的平均速度为 v 2 s 2 s 4 2 4 1 2 2 4 42 2 . (2)由(1)可知 v 1v 24 24 0， 所以 v 2v 2v 3B.v 3v 2v 1 C.v 2v 1v 3D.v 2v 3v 1 解析设直线 OA，AB，BC 的斜率分别为 kOA，kAB，kBC，则 v 1s（t 1）s（t0） t1t0 kOA，v 2s（t 2）s（t1） t2t1 kAB，v 3s（t 3）s（t2） t3t2 kBC，由题中图象知 kBCkABkOA，即 v 3v 2v 1.故选 B. 答案B 5.已知抛物线 y1 2x 22 上一点 P 1，3 2 ，则在点 P 处的切线的倾斜
11、角为() A.30B.45 C.135D.165 解析k 0 lim x 1 2（1x） 22 1 21 22 x 1， 故切线的倾斜角为 45. 答案B 二、填空题 6.一做直线运动的物体， 其位移 s 与时间 t 的关系是 s3tt2， 则物体的初速度是 _. 解析 0 lim t s（0t）s（0） t 0 lim t (3t)3. 答案3 7.抛物线 f(x)x24x 在(1，5)处的切线方程为_. 解析k 0 lim x （1x）24（1x）5 x 6，所以切线方程为 y5 6(x1)，即 6xy10. 答案6xy10 8.若抛物线 f(x)4x2在点(x0，f(x0)处切线的斜率为
12、 8，则 x0_. 解析k 0 lim x 4（x0 x）24x20 x 0 lim x (4x8x0)8x08，解得 x01. 答案1 三、解答题 9.曲线 f(x)x2上哪一点处的切线满足下列条件？ (1)平行于直线 y4x5； (2)垂直于直线 2x6y50； (3)倾斜角为 135. 解设 P(x0，y0)是满足条件的点，曲线 f(x)x2在点 P(x0，y0)处切线的斜率为 k 0 lim x （x0 x）2x20 x 2x0， (1)切线与直线 y4x5 平行，2x04，x02， y04，即 P(2，4)是满足条件的点. (2)切线与直线 2x6y50 垂直，2x01 31， 得
13、x03 2，y 09 4，即 P 3 2， 9 4 是满足条件的点. (3)因为切线的倾斜角为 135，所以其斜率为1，即 2x01，得 x01 2，y 0 1 4，即 P 1 2， 1 4 是满足条件的点. 10.某物体的运动方程为 s(t) 1 t，求其在 t 01 时的瞬时速度. 解s(1t)s(1) 1 1t1 1 1t 1t t 1t（1 1t）， 故s（1t）s（1） t 1 1t（1 1t）. 所以 0 lim t 1 1t（1 1t） 1 2， 即物体在 t01 时的瞬时速度为1 2. 能力提升 11.若曲线 y2x24xm 与直线 y1 相切，则 m_. 解析设切点坐标为(x
14、0，1)， 则 k 0 lim x 2（x0 x）24（x0 x）2x204x0 x 4x040， x01，即切点坐标为(1，1).24m1，即 m3. 答案3 12.若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s) sf(t) 3t22，t3， 293（t3）2，0t3. 求：(1)物体在 t3，5内的平均速度； (2)物体的初速度 v0； (3)物体在 t1 时的瞬时速度. 解(1)物体在 t3，5上的时间变化量为t532， 物体在 t3，5上的位移变化量为 s3522(3322)3(5232)48， 物体在 t3，5上的平均速度为s t 48 2 24， 物体在 t3，5上的平均速度
15、为 24 m/s. (2)求物体的初速度 v0，即求物体在 t0 时的瞬时速度. s t f（0t）f（0） t 293（0t）3 2293（03）2 t 3t18， 物体的初速度 v0 0 lim t s t 0 lim t (3t18)18. (3)f（1t）f（1） t 293（1t）3 2293（13）2 t 3t12， 物体在 t1 时的瞬时速度为 0 lim t (3t12)12 (m/s). 创新猜想 13.(多选题)已知某物体的运动方程为 s(t)7t28(0t5)，则() A.该物体当 1t3 时的平均速度是 28 B.该物体在 t4 时的瞬时速度是 56 C.该物体位移的最
16、大值为 43 D.该物体在 t5 时的瞬时速度是 70 解析该物体在 1t3 时的平均速度是 s（3）s（1） 31 7115 2 28，A 正确； 物体在 t4 时的瞬时速度是 0 lim t s（4t）s（4） t 0 lim t (567t)56，故 B 正确； 物体的最大位移是 7528183，C 错误； 物体在 t5 时的瞬时速度是 0 lim t s（5t）s（5） t 0 lim t (707t)70，故 D 正确. 答案ABD 14.(多空题)已知在函数 yax2b 的图象上点(1，3)处的切线斜率为 2，则 a _，b_. 解析 0 lim x a（1x） 2bab x 0 lim x (ax2a)2a2，所以 a1，又 3 a12b1b，所以 b2. 答案12
