1、第二章第二章函数概念及基本初等函数函数概念及基本初等函数 第八节第八节函数与方程函数与方程 考点考点 2 函数零点应用函数零点应用 （2018浙江卷）我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱 三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 x，y， z，则 ?100, 5?3? 1 3 ?100,当 z81 时，x_，y_. 【解析】方法一由题意，得 ?1100, 5?3? 1 3 ? ?1100, 即 ?19, 5?3?73,解得 ?, ?11. 方法二1008119（只） ， 81327（元） ， 1002773
2、（元） 假设剩余的 19 只鸡全是鸡翁，则 51995（元） 因为 957322（元） ， 所以鸡母：22（53）11（只） ， 鸡翁：19118（只） 【答案】811 （2018浙江卷） 已知R， 函数 f （x） ?4，? ?, ?4?3,?.当2 时， 不等式 f （x） 0 的解集是_ 若 函数 f（x）恰有 2 个零点，则的取值范围是_ 【解析】当2 时，f（x） ?4，? ?, ?4?3,?. 其图象如图（1） 由图知 f（x）0 的解集为（1,4） f（x） ?4，? ?, ?4?3,?恰有 2 个零点有两种情况：二次函数有两个零点，一次函数无零点；二次函 数与一次函数各有一个零
3、点 在同一平面直角坐标系中画出 y1x4 与 y2x24x3 的图象，如图（2） ，平移直线 x，可得（1,3 （4，） 【答案】 （1,4）（1,3（4，） （2018天津卷（文） ）已知 aR，函数 f（x） ? ? ?,? 0, ?,?0. 若对任意 x3，） ，f（x）|x| 恒成立，则 a 的取值范围是_ 【解析】如图所示， 若对任意 x3，） ，要使函数 yf（x）的图象恒在 y|x|图象的下方，则必有 ? 3 3, ?(0) 0, 且在（0，）内直线 yx 与 yx22x2a 相切或相离，所以 xx22x2a 有两个相等实根或无实 根，即对于方程 x2x2a0， （1）242a0
4、，解得 a1 ?. 由得 96a23 且 a20，所以 a2. 综上，1 ?a2. 【答案】 1 ? ,? （2018天津卷（文） ）设函数 f（x）（xt1） （xt2） （xt3） ，其中 t1，t2，t3R，且 t1，t2，t3是公差为 d 的等差数列 （1）若 t20，d1，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若 d3，求 f（x）的极值； （2）若曲线 yf（x）与直线 y（xt2）6 3有三个互异的公共点，求 d 的取值范围 【解析】 （1）由已知，可得 f（x）x（x1） （x1）x3x， 故 f（x）3x21.因此 f（0）0，f（0）1. 又因为曲线
5、 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 yf（0）f（0） （x0） ，故所求切线方程为 xy 0. （2）由已知可得 f（x）（xt23） （xt2） （xt23） （xt2）39（xt2） x33t2x2（3? ?9）x? ? 39t2. 故 f（x）3x26t2x3? ?9. 令 f（x）0，解得 xt2 3或 xt2 3. 当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化情况如下表： 所以函数 f（x）的极大值为 f（t2 3）（ 3）39（ 3）6 3， 函数 f（x）的极小值为 f（t2 3）（ 3）39 36 3. （3）曲线 yf（x）与直线 y（xt2）6 3有三个互异的
6、公共点等价于关于 x 的方程（xt2d） （x t2）（xt2d）（xt2）6 30 有三个互异的实数解 令 uxt2，可得 u3（1d2）u6 30. 设函数 g（x）x3（1d2）x6 3，则曲线 yf（x）与直线 y（xt2）6 3有三个互异的公共点 等价于函数 yg（x）有三个零点 g（x）3x2（1d2） 当 d21 时，g（x）0，这时 g（x）在 R 上单调递增，不合题意 当 d21 时， 令 g（x）0，解得 x1 ?1 3 ，x2 ?1 3 . 可得，g（x）在（，x1）上单调递增，在x1，x2上单调递减，在（x2，）上单调递增 所以 g（x）的极大值为 g（x1）g ? ?1 3 ? 3(?1)3 ? 9 6 30. g（x）的极小值为 g（x2）g ?1 3 ? 3(?1)3 ? 9 6 3. 若 g（x2）0，则由 g（x）的单调性可知函数 yg（x）至多有两个零点，不合题意 若 g（x2）0，即（d21）3 ?27，也就是|d| 10，此时|d|x2，g（|d|）|d|6 30，且2|d|x1， g（2|d|）6|d|32|d|6 362 106 30，从而由 g（x）的单调性，可知函数 yg（x）在区间 （2|d|，x1） ， （x1，x2） ， （x2，|d|）内各有一个零点，符合题意 所以 d 的取值范围是（， 10）（ 10，） 【答案】见解析
