1、一、基础知识一、基础知识 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换： xx0， yy0 的作用下， 点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变 换 2极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正 方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标 极径：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为. 极角：以极轴 Ox 为始边，
2、射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为. 极坐标：有序数对，叫做点 M 的极坐标，记为 M，. 一般不作特殊说明时，我们认为 0，可取任意实数. 3极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)， 极坐标是(，)，则它们之间的关系为： xcos ， ysin ； 2x2y2， tan y xx0. 4简单曲线的极坐标方程 曲线极坐标方程 圆心为极点，半径为 r 的圆r(02) 圆心为(r,0)，半径为 r 的圆 2rcos 2 2 圆心为 r， 2 ，半径为 r 的圆 2rsin (0) 第一节第一节 坐标系坐标系 选修选修 44 坐标系与参数方程
3、坐标系与参数方程 微信公众号学起而飞 过极点，倾斜角为的直线(R)或(R) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 cos a 2 2 过点 a， 2 ，与极轴平行的直线 sin a(00， yy0 的作用下的变换方程的求法是将 xx ， yy 代入 yf(x)，得y f x ，整理之后得到 yh(x)，即为所求变换之后 的方程 提醒应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x，y) 题组训练 1若函数 yf(x)的图象在伸缩变换： x2x， y3y 的作用下得到曲线的方程为 y 3sin x 6 ，求函数 yf(x)的最小正周期 解：由题意，把变换公式代入曲线 y3sin x
4、 6 得 微信公众号学起而飞 3y3sin 2x 6 ，整理得 ysin 2x 6 ， 故 f(x)sin 2x 6 . 所以函数 f(x)的最小正周期为. 2 将圆 x2y21 变换为椭圆x 2 25 y2 161 的一个伸缩变换公式： xx， yy (， 0)， 求，的值 解：将变换后的椭圆x 2 25 y2 161 改写为 x2 25 y 2 16 1， 把伸缩变换公式： xx， yy (，0)代入上式得： 2x2 25 2y2 16 1 即 5 2x2 4 2y21，与 x2y21， 比较系数得 5 21， 4 21， 所以 5， 4. 考点二考点二极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐
5、标的互化 典例(2018江苏高考)在极坐标系中， 直线 l 的方程为sin 62， 曲线 C 的方程 为4cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 解因为曲线 C 的极坐标方程为4cos ，化成直角坐标方程为(x2)2y24， 所以曲线 C 是圆心为(2,0)，直径为 4 的圆 因为直线 l 的极坐标方程为sin 6 2， 化成直角坐标方程为 y 3 3 (x4)， 则直线 l 过 A(4,0)，倾斜角为 6， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点 设另一个交点为 B，则OAB 6. 如图，连接 OB. 因为 OA 为直径，从而OBA 2， 所以 AB4cos 62 3. 微信公众号
6、学起而飞 (1)当 x0 时，角才能由 tan y x按上述方法确定 (2)当 x0 时，tan 没有意义，这时可分三种情况处理： 当 x0，y0 时，可取任何值；当 x0，y0 时，可取 2；当 x0，y0 时，可取 3 2 . 题组训练 1(2019郑州质检)在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直线 l：sin 4 2 2 (0,02) (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当(0，)时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标 解：(1)圆 O：cos sin ，即2cos sin ， 故圆 O 的直角坐标方程为 x2y2xy0， 直线 l：sin 4 2 2 ，即s
7、in cos 1， 则直线 l 的直角坐标方程为 xy10. (2)将两直角坐标方程联立得 x2y2xy0， xy10， 解得 x0， y1， 即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 将(0,1)转化为极坐标为 1， 2 即为所求 2已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为2，22 2cos 4 2. 由 tan 确定角时，应根据点 P 所在象限取最小正角 2极角的确定 巧 再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技 (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如cos ，sin ，2的形式， 并化简即可 (1)直角坐标方程化为极
8、坐标方程：将公式 xcos 及 ysin 直接代入直角坐标方程 1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 解题技法 所以直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3. 微信公众号学起而飞 因为22 2cos 4 2， 所以22 2 cos cos 4sin sin 4 2， 所以圆 O2的直角坐标方程为 x2y22x2y20. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为 xy1. 化为极坐标方程为cos sin 1， 即sin 4 2 2 . 考点三考点三曲线的极坐标方程的应用曲线的极坐标方程的应用 典例(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极
9、轴 建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为cos 4. (1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为 2， 3 ，点 B 在曲线 C2上，求OAB 面积的最大值 解(1)设 P 的极坐标为(，)(0)，M 的极坐标为(1，)(10) 由题设知|OP|，|OM|1 4 cos . 由|OM|OP|16，得 C2的极坐标方程4cos (0) 因此 C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0) (2)设点 B 的极坐标为(B，)(B0)， 由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB 的面积 S
10、1 2|OA| BsinAOB4cos |sin 3 |2|sin 2 3 3 2|. 即当 12时，S 取得最大值 2 3. 所以OAB 面积的最大值为 2 3. 解题技法 所以圆 O1的直角坐标方程为 x2y24. 解：(1)由2 知24， (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 (1)求圆 O1和圆 O2的直角坐标方程； 微信公众号学起而飞 1(2019青岛质检)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 xcos ， y1sin (其中 为参数)以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)设直线 l 的极坐标方程是sin 3 2，射
11、线 OM： 6与圆 C 的交点为 P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 解：(1)圆 C 的普通方程为 x2(y1)21，又 xcos ，ysin ， 所以圆 C 的极坐标方程为2sin . (2)把 6代入圆的极坐标方程可得 P1， 把 6代入直线 l 的极坐标方程可得 Q2， 所以|PQ|PQ|1. 2(2018湖北八校联考)已知曲线 C 的极坐标方程为2 9 cos29sin2，以极点为平面 直角坐标系的原点 O，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)A，B 为曲线 C 上两点，若 OAOB，求 1 |OA|2 1 |OB|2的值
12、 题组训练 提醒在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性 角坐标系中求最值的运算量小 (2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直 表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决 (1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标 2利用极坐标系解决问题的技巧 程化为极坐标方程 (2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方 余弦定理求解|OM|与的关系 (1)设点 M(，)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、 1求简单曲线的极坐
13、标方程的方法 微信公众号学起而飞 解：(1)由2 9 cos29sin2得 2cos292sin29， 将 xcos ，ysin 代入得到曲线 C 的直角坐标方程是x 2 9 y21. (2)因为2 9 cos29sin2，所以 1 2 cos2 9 sin2， 由 OAOB，设 A(1，)，则点 B 的坐标可设为 2， 2 ， 所以 1 |OA|2 1 |OB|2 1 21 1 22 cos2 9 sin2sin 2 9 cos21 91 10 9 . 课时跟踪检测课时跟踪检测 1在极坐标系中，求直线cos 6 1 与圆4sin 的交点的极坐标 解：cos 6 1 化为直角坐标方程为3xy2
14、， 即 y 3x2. 4sin 可化为 x2y24y， 把 y 3x2 代入 x2y24y， 得 4x28 3x120， 即(x 3)20， 所以 x 3，y1. 所以直线与圆的交点坐标为( 3，1)，化为极坐标为 2， 6 . 2在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P 2， 4 ，圆心为直线sin 3 3 2 与极轴的 交点，求圆 C 的极坐标方程 解：在sin 3 3 2 中，令0，得1， 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0) 因为圆 C 经过点 P 2， 4 ， 所以圆 C 的半径|PC| 221221 2cos 41，于是圆 C 过极点， 所以圆 C 的极坐标方程为2cos . 微信公众号
15、学起而飞 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)直线 OP： 6(R)与圆 C 交于点 M，N，求线段 MN 的长 解：(1)(x 3)2(y1)29 可化为 x2y22 3x2y50， 故其极坐标方程为22 3cos 2sin 50. (2)将 6代入 22 3cos 2sin 50， 得2250， 所以122，125， 所以|MN|12| 4202 6. 4在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极 坐标方程为cos 3 1，M，N 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点 (1)求 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； (2)设 MN 的中
16、点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 解：(1)由cos 3 1 得 1 2cos 3 2 sin 1. 从而 C 的直角坐标方程为 1 2x 3 2 y1，即 x 3y2. 当0 时，2，所以 M(2,0) 当 2时， 2 3 3 ，所以 N 2 3 3 ， 2 . (2)由(1)知 M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为 0，2 3 3. 所以点 P 的直角坐标为 1， 3 3 ，则点 P 的极坐标为 2 3 3 ， 6 ， 所以直线 OP 的极坐标方程为 6(R) 5(2018南昌摸底调研)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为(x 3)2(y2)2 4，直线 C2的
17、方程为 y 3 3 x，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程； (2)若直线 C2与曲线 C1交于 P，Q 两点，求|OP|OQ|的值 解：(1)曲线 C1的普通方程为(x 3)2(y2)24， 负半轴为极轴建立极坐标系 3在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x 3)2(y1)29，以 O 为极点，x 轴的非 微信公众号学起而飞 直线 C2的方程为 y 3 3 x， 直线 C2的极坐标方程为 6(R) (2)设 P(1，1)，Q(2，2)， 将 6(R)代入 22 3cos 4sin 30， 得2530，123，|OP|OQ|1
18、23. 6(2019山西八校联考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为(x3)2(y4)225. 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)设 l1： 6，l 2： 3，若 l 1，l2与曲线 C 分别交于异于原点的 A，B 两点，求AOB 的面积 解：(1)曲线 C 的普通方程为(x3)2(y4)225， 即 x2y26x8y0. 曲线 C 的极坐标方程为6cos 8sin . (2)设 A 1， 6 ，B 2， 3 . 把 6代入6cos 8sin ，得 143 3， A 43 3， 6 . 把 3代入6cos 8sin ，得
19、234 3， B 34 3， 3 . SAOB1 2 12sinAOB 1 2(43 3)(34 3)sin 3 6 1225 3 4 . 曲线 C1的极坐标方程为22 3cos 4sin 30. 即 x2y22 3x4y30， 微信公众号学起而飞 xtcos ， ytsin (t 为参数，t0)，其中 0.在 以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin ，C3：2 3cos . (1)求 C2与 C3交点的直角坐标； (2)若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB|的最大值 解：(1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2y22y0， 曲线 C3的
20、直角坐标方程为 x2y22 3x0. 联立 x2y22y0， x2y22 3x0， 解得 x0， y0 或 x 3 2 ， y3 2. 所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0,0)和 3 2 ，3 2 . (2)曲线 C1的极坐标方程为(R，0)，其中 0. 因此 A 的极坐标为(2sin ，)，B 的极坐标为(2 3cos ，) 所以|AB|2sin 2 3cos |4|sin 3 |. 当5 6 时，|AB|取得最大值，最大值为 4. 8 (2019郑州一中模拟)在平面直角坐标系中， 曲线 C1的普通方程为 x2y22x40， 曲线 C2的方程为 y2x，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半
21、轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C1，C2的极坐标方程； (2)求曲线 C1与 C2交点的极坐标，其中0,02. 解：(1)依题意，将 xcos ， ysin 代入 x2y22x40 可得22cos 40. 将 xcos ， ysin 代入 y2x，得sin2cos . 故曲线 C1的极坐标方程为22cos 40，曲线 C2的极坐标方程为sin2cos . (2)将 y2x 代入 x2y22x40，得 x23x40，解得 x1，x4(舍去)， 当 x1 时， y1，所以曲线 C1与 C2交点的直角坐标分别为(1,1)，(1， 1)， 记 A(1,1)， B(1，1)， 所以A 11 2，B
22、 11 2，tan A1，tan B1， 因为0,00，得1m3. 设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t2m22m. 由 y2tan ，得 tan 微信公众号学起而飞 x 3cos ， ysin (为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin 4 2. (1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程； (2)设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C2的距离的最大值，并求此时点 P 的坐标 解：(1)曲线 C1的普通方程为x 2 3 y21， 由sin 4 2，得sin cos 2，得曲线 C2的直角坐标方程为
23、xy20. (2)设点 P 的坐标为( 3cos ，sin )， 则点 P 到 C2的距离为| 3cos sin 2| 2 |2sin 3 2| 2 ， 当 sin 3 1，即 3 22k(kZ)， 5 6 2k(kZ)时，所求距离最大， 最大值为 2 2， 此时点 P 的坐标为 3 2， 1 2 . 2(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2cos ， y4sin (为参 数)，直线 l 的参数方程为 x1tcos ， y2tsin (t 为参数) 1 (2019湖北 八校联考)在平 面直角坐 标系 xOy 中， 曲线 C1的参 数方程为 题组训练 解此类题的
24、关键 的参数方程转化为三角函数的最大值、 最小值求解， 掌握参数方程与普通方程互化的规律是 有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、 最小值以及取值范围的问题， 通常利用它们 2圆和圆锥曲线参数方程的应用 余弦值，否则参数不具备该几何含义 在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、 1应用直线参数方程的注意点 解题技法 因为1m3，所以 m1 3. 解得 m1 3. 因为|PA|PB|t1t2|2，所以 m22m2， 微信公众号学起而飞 解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为x 2 4 y 2 161. 当 cos 0 时，直线 l 的直角坐标方程为 ytan x
25、2tan ， 当 cos 0 时，直线 l 的直角坐标方程为 x1. (2)将直线 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos2)t2 4(2cos sin )t80. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内， 所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t20. 又由得 t1t242cos sin 13cos2 ， 故 2cos sin 0， 于是直线 l 的斜率 ktan 2. 考点三考点三极坐标、参数方程的综合应用极坐标、参数方程的综合应用 典例(2018河北保定一中摸底)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 x5 2cos
26、 t， y3 2sin t (t 为参数)，在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标 系中，直线 l 的极坐标方程为 2 2 cos 4 1. (1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是圆 C 上任一点，求 A，B 两点的 极坐标和PAB 面积的最小值 解(1)由 x5 2cos t， y3 2sin t 消去参数 t，得(x5)2(y3)22，所以圆 C 的普通 方程为(x5)2(y3)22. 由 2 2 cos 4 1，得cos sin 2， 所以直线 l 的直角坐标方程为 xy20. (2
27、)直线 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A(2,0)，B(0,2)， 则点 A，B 的极坐标分别为(2，2k)(kZ)， 2， 22k(kZ) (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率 (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； 微信公众号学起而飞 则点 P 到直线 l 的距离 d|5 2cos 3 2sin 2| 2 |62cos 4 | 2 ， 当 cos 4 1，即 42k(kZ)， 42k(kZ)时，点 P 到直线 l 的距离取 得最小值，所以 dmin 4 22 2，又|AB|2 2， 所以PAB 面积的最小值 S1 2d min|AB|1 22
28、22 24. 解题技法极坐标、参数方程综合问题的解题策略 (1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标系方程，然后求解 (2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断 (3)求参数方程与极坐标方程综合问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角 坐标方程来研究问题 题组训练 1在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1：24cos 30，0,2，曲线 C2： 3 4sin 6 ，0,2 (1)求曲线 C1的一个参数方程； (2)若曲线 C1和曲线 C2相交于 A，B 两点，求|AB|的值 解：(1)由24cos 30，得 x2
29、y24x30， 所以(x2)2y21. 令 x2cos ，ysin ， 所以 C1的一个参数方程为 x2cos ， ysin (为参数) (2)因为 C2：4 sin 6cos cos 6sin 3， 所以 4 1 2x 3 2 y 3，即 2x2 3y30， 因为直线 2x2 3y30 与圆(x2)2y21 相交于 A，B 两点， 所以圆心到直线的距离为 d |403| 222 32 1 4， 所以|AB|21 1 4 22 15 4 15 2 . 2 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 直 线l的 参 数 方 程 为 设点 P 的坐标为(5 2cos ，3 2sin )， 微信公众
30、号学起而飞 x2tcos ， y 3tsin t 为参数， 0， 3，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建 立极坐标系，已知圆 C 的圆心 C 的极坐标为 2， 3 ，半径为 2，直线 l 与圆 C 交于 M，N 两 点 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)当变化时，求弦长|MN|的取值范围 解：(1)由已知，得圆心 C 的直角坐标为(1， 3)，圆的半径为 2， 圆 C 的直角坐标方程为(x1)2(y 3)24， 即 x2y22x2 3y0， xcos ，ysin ，22cos 2 3sin 0， 故圆 C 的极坐标方程为4cos 3. (2)由(1)知，圆 C 的直角坐标方程
31、为 x2y22x2 3y0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得， (2tcos )2( 3tsin )22(2tcos )2 3( 3tsin )0， 整理得，t22tcos 30， 设 M，N 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1t22cos ，t1t23， |MN|t1t2| t1t224t1t2 4cos212. 0， 3 ，cos 1 2，1，|MN| 13，4 故弦长|MN|的取值范围为 13，4 课时跟踪检测课时跟踪检测 1若直线 xtcos ， ytsin (t 为参数)与圆 x42cos ， y2sin (为参数)相切，求直线的倾 斜角. 解：直线 xtcos ，
32、 ytsin (t 为参数)的普通方程为 yxtan . 圆 x42cos ， y2sin (为参数)的普通方程为(x4)2y24. 由于直线与圆相切，则 |4tan | 1tan22， 微信公众号学起而飞 即 tan21 3，解得 tan 3 3 ， 由于0，)，故 6或 5 6 . 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 x8t， yt 2 (t 为参数)，曲 线 C 的参数方程为 x2s2， y2 2s (s 为参数)，设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离 的最小值 解：直线 l 的普通方程为 x2y80. 因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2
33、s2,2 2s)， 从而点 P 到直线 l 的距离 d|2s 24 2s8| 1222 2s 2 24 5 ， 当 s 2时，dmin4 5 5 . 因此当点 P 的坐标为(4,4)时，曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离取到最小值4 5 5 . 3已知 P 为半圆 C： xcos ， ysin (为参数，0)上的点，点 A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 3. (1)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标； (2)求直线 AM 的参数方程 解：(1)由已知，点 M 的极角为 3， 且点
34、 M 的极径等于 3， 故点 M 的极坐标为 3， 3 . (2)由(1)知点 M 的直角坐标为 6， 3 6，A(1,0) 故直线 AM 的参数方程为 x1 61t， y 3 6 t (t 为参数) 4(2019长春质检)以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知点 P 的直角坐标为(1,2)，点 C 的极坐标为 3， 2 ，若直线 l 过点 P，且倾斜角为 6，圆 C 微信公众号学起而飞 解：(1)由题意得直线 l 的参数方程为 x1 3 2 t， y21 2t (t 为参数)，圆 C 的极坐标方程 为6sin . (2)由(1)易知圆 C 的直角坐标方程为
35、x2(y3)29， 把 x1 3 2 t， y21 2t 代入 x2(y3)29，得 t2( 31)t70， 设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，t1t27， 又|PA|t1|，|PB|t2|，|PA|PB|7. 5(2018南昌一模)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2cos t， y2sin t2 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)若直线 l1，l2的极坐标方程分别为1 6( 1R)，22 3 (2R)，设直线 l1，l2与曲线 C 的交点分别为 O，M 和 O，N，求OMN 的面
36、积 解：(1)由参数方程 x2cos t， y2sin t2 得普通方程为 x2(y2)24， 把 xcos ， ysin 代入 x2(y2)24，得24sin 0. 所以曲线 C 的极坐标方程为4sin . (2)由直线 l1：1 6( 1R)与曲线 C 的交点为 O，M，得|OM|4sin 62. 由直线 l2：22 3 (2R)与曲线 C 的交点为 O，N，得|ON|4sin 2 3 2 3. 易知MON 2，所以 S OMN1 2|OM|ON| 1 222 32 3. 6(2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为 xcos ， ysin (为参 数)，过点(0，
37、2)且倾斜角为的直线 l 与O 交于 A，B 两点 (1)求的取值范围； (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求|PA|PB|. (1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程； 以点 C 为圆心，3 为半径 微信公众号学起而飞 (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 解：(1)O 的直角坐标方程为 x2y21. 当 2时，l 与O 交于两点 当 2时，记 tan k，则 l 的方程为 ykx 2. l 与O 交于两点需满足 2 1k21， 解得 k1， 即 2， 3 4 或 4， 2 . 综上，的取值范围是 4， 3 4 . (2)l 的参数方程为 xtcos ， y
38、2tsin t 为参数， 4 3 4 . 设 A，B，P 对应的参数分别为 tA，tB，tP， 则 tPtAtB 2 ，且 tA，tB满足 t22 2tsin 10. 于是 tAtB2 2sin ，tP 2sin . 又点 P 的坐标(x，y)满足 xtPcos ， y 2tPsin ， 所以点 P 的轨迹的参数方程是 x 2 2 sin 2， y 2 2 2 2 cos 2 为参数， 4 3 4 . 7(2019洛阳第一次统考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 xt， ymt (t 为参数，mR)，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标 方
39、程为2 3 32cos2(0) (1)写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； (2)已知点 P 是曲线 C2上一点，若点 P 到曲线 C1的最小距离为 2 2，求 m 的值 解：(1)由曲线 C1的参数方程消去参数 t，可得 C1的普通方程为 xym0. 由曲线 C2的极坐标方程得 3222cos23，0， 曲线 C2的直角坐标方程为x 2 3 y21(0y1) (2)设曲线 C2上任意一点 P 的坐标为( 3cos ，sin )，0， 微信公众号学起而飞 则点 P 到曲线 C1的距离 d| 3cos sin m| 2 |2cos 6 m| 2 . 0，cos 6 1， 3 2
40、，2cos 6 2， 3 ， 当 m 30 时，m 34，即 m4 3. 当 m20 时，m24，即 m6. 当 m 30，m20，即 3m2 时，dmin0，不合题意，舍去 综上，m4 3或 m6. 8已知直线 l 的参数方程为 x1tcos ， ytsin (t 为参数)，曲线 C 的参数方程为 x 3cos ， ysin (为参数)，且直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点 (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程，并求 3时，|AB|的值； (2)已知点 P(1,0)，求当直线 l 的倾斜角变化时，|PA|PB|的取值范围 解：(1)曲线 C 的普通方程为x 2 3 y21. 当 3时
41、，直线 l 的参数方程为 x11 2t y 3 2 t (t 为参数)， 将 l 的参数方程代入x 2 3 y21，得 5t22t40， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1t22 5，t 1t24 5， 所以|AB|t1t2| t1t224t1t22 21 5 . (2)将直线 l 的参数方程 x1tcos ， ytsin 代入x 2 3 y21， 得(12sin2)t22tcos 20， 设 A，B 对应的参数分别为 t3，t4，则 t3t4 2 12sin2， 则|PA|PB|t3t4 2 12sin2. 又 0sin21，所以2 3|PA|PB|2， 微信公众号学起而飞 所以|PA|PB|的取值范围是 2 3，2. 微信公众号学起而飞
