1、第五章第五章 平面向量平面向量 第一节第一节 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 一、基础知识一、基础知识 1向量的有关概念 (1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量以 A 为起点、B 为终点的向 量记作AB ，也可用黑体的单个小写字母 a，b，c，来表示向量 (2)向量的长度(模)：向量AB 的大小即向量AB的长度(模)，记为|AB|. 2几种特殊向量 名称定义备注 零向量长度为 0 的向量零向量记作 0，其方向是任意的 单位向量长度等于 1 个单位的向量 单位向量记作 a0，a0 a |a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共 线向量) 0 与任意向量共线
2、 相等向量长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量 不一定是相等向量 相反向量长度相等且方向相反的两个向量若 a，b 为相反向量，则 ab 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 a 平行的单位向量有两 个，即向量 a |a| 和 a |a| . 3向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向 量和的运 算 三角形法则平行四边形法则 (1)交换律：abba； (2)结合律：(ab)ca (bc) 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 减法 求a与 b 的 相反向量 b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 ab
3、a(b) 数乘 求实数与 向量 a 的积 的运算 |a|a|；当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 (a)()a； ()aa a；(ab)ab 向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，abc 表示从始点指向终点的向 量，只关心始点、终点. 4共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 ba. 只有 a0 才保证实数的存在性和唯一性. 二、常用结论二、常用结论 (1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP 1 2(OA OB) (2)OA OBOC (，为实数)，
4、若点 A，B，C 三点共线，则1. 考点一考点一平面向量的有关概念平面向量的有关概念 典例给出下列命题： 若 ab，bc，则 ac； 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条 件； 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 其中正确命题的序号是_ 解析正确ab，a，b 的长度相等且方向相同， 又 bc，b，c 的长度相等且方向相同， a，c 的长度相等且方向相同，故 ac. 正确AB DC，|AB|DC|且ABDC， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则AB
5、 DC且|AB|DC|，因此，ABDC. 不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件 不正确考虑 b0 这种特殊情况 综上所述，正确命题的序号是. 答案 解题技法向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度 (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制 (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等 (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度 (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任意向量共线 题组训练 1给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； a0(为实数)，则必为零；
6、 ，为实数，若ab，则 a 与 b 共线 其中错误的命题的个数为() A0B1 C2D3 微 信 公 众 号 ：学起而飞 若 ab，bc，则 ac. ab 的充要条件是|a|b|且 ab； 微信公众号学起而飞 与 a0平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0，假命题的个数是() A0B1 C2D3 解析：选 D向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同， 故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向 时 a|a|a0，故也是假命题 综上所述，假命题的个数是 3. 考点二考点二平面向量的线性运算
7、平面向量的线性运算 典例(1)(2018全国卷)在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点， 则EB () A.3 4AB 1 4AC B.1 4AB 3 4AC C.3 4AB 1 4AC D.1 4AB 3 4AC (2)如图，在直角梯形 ABCD 中，DC 1 4AB ，BE2EC， 且AErAB sAD ，则 2r3s( ) A1B2 C3D4 解析(1)作出示意图如图所示EB EDDB1 2AD 1 2 CB 1 2 1 2(AB AC)1 2(AB AC)3 4AB 1 4AC .故选 A. (2)根据图形，由题意可得AE ABBEAB2 3BC AB2 3
8、(BA ADDC)1 3AB 微 信 公 众 号 ：学起而飞 2设 a0为单位向量，下列命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 错误的命题有 3 个，故选 D. 不论为何值，a0.错误，当0 时，ab0，此时，a 与 b 可以是任意向量故 解析：选 D错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点错误，当 a0 时， 微信公众号学起而飞 2 3(AD DC)1 3AB 2 3 AD 1 4AB 1 2AB 2 3AD . 因为AE rABsAD，所以 r1 2，s 2 3，则 2r3s123. 答案(1)A(2)C 解题技法向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形
9、法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形 法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则 (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边 形或三角形中求解 (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： 观察各向量的位置； 寻找相应的三角形或多边形； 运用法则找关系； 化简结果 (4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法 则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值 题组训练 1设 D 为ABC 所在平面内一点，BC 3CD，则( ) AAD 1 3AB 4 3AC BAD 1 3AB 4
10、 3AC CAD 4 3AB 1 3AC DAD 4 3AB 1 3AC 解析：选 A由题意得AD ACCDAC1 3BC AC1 3AC 1 3AB 1 3AB 4 3AC . 2(2019太原模拟)在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若AC AM AN ，则实数_. 解析：如图，AM ABBMAB1 2BC DC1 2BC ， AN ADDNBC1 2DC ， 由得BC 4 3AN 2 3AM ，DC4 3AM 2 3AN ， AC ABBCDCBC4 3AM 2 3AN 4 3AN 2 3AM 2 3AM 2 3AN ， AC AMAN，2 3， 2 3， 4 3
11、. 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 典例设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若AB ab，BC2a8b，CD3a3b， 求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 同向 解(1)证明：AB ab，BC2a8b，CD3a3b， BD BCCD2a8b3a3b5(ab)5AB， AB ，BD共线 又它们有公共点 B， A，B，D 三点共线 (2)kab 与 akb 同向， 存在实数(0)，使 kab(akb)， 即 kabakb. (k)a(k1)b. a，b 是不共线的非零向量， k0， k10， 解得 k1， 1 或 k1， 1， 又
12、0，k1. 1.向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线 题组训练 1在四边形 ABCD 中，AB a2b，BC4ab，CD5a3b，则四边形 ABCD 微 信 公 众 号 ：学起而飞 考点三考点三共线向量定理的应用共线向量定理的应用 答案：4 3 微信公众号学起而飞 的形状是() A矩形B平行四边形 C梯形D以上都不对 解析： 选 C由已知， 得AD ABBCC
13、D8a2b2(4ab)2BC， 故ADBC. 又因为AB 与CD不平行，所以四边形 ABCD 是梯形 2已知向量 e10，R，ae1e2，b2e1，若向量 a 与向量 b 共线，则() A0Be20 Ce1e2De1e2或0 解析：选 D因为向量 e10，R，ae1e2，b2e1，又因为向量 a 和 b 共线， 存在实数 k，使得 akb，所以 e1e22ke1，所以e2(2k1)e1，所以 e1e2或0. 3已知 O 为ABC 内一点，且AO 1 2(OB OC)，ADtAC，若 B，O，D 三点共线， 则 t() A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析：选 B设 E 是 BC
14、 边的中点，则1 2(OB OC)OE，由题意得AOOE，所以AO 1 2AE 1 4(AB AC)1 4AB 1 4tAD ，又因为 B，O，D 三点共线，所以1 4 1 4t1，解得 t 1 3，故 选 B. 4已知 O，A，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP OA AB |AB |，则( ) A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 AB 的延长线上 C点 P 在线段 AB 的反向延长线上 D点 P 在射线 AB 上 解析：选 D由OP OA AB |AB |，得OP OA AB |AB |，AP 1 |AB |AB ，点 P 在射线 AB 上，故选 D. 课时跟踪检测 微
15、信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 1设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB FC( ) AAD B.1 2AD C.1 2BC DBC 解析：选 A由题意得EB FC1 2(AB CB)1 2(AC BC)1 2(AB AC)AD. 2已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(21)b，若 c 与 d 共线反向，则实 数的值为() A1B1 2 C1 或1 2 D1 或1 2 解析：选 B由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 ckd(k0)， 于是abka21b. 整理得abka(2kk)b. 由于 a，b 不共线，所以有 k， 2kk
16、1， 整理得 2210，解得1 或1 2. 又因为 k0，所以0，故1 2. 3设向量 a，b 不共线，AB 2apb，BCab，CDa2b，若 A，B，D 三点共 线，则实数 p 的值为() A2B1 C1D2 解析：选 B因为BC ab，CDa2b，所以BDBCCD2ab.又因为 A，B， D 三点共线，所以AB ，BD共线设ABBD，所以 2apb(2ab)，所以 22，p ，即1，p1. 4(2019甘肃诊断)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC 4CD，则AD( ) A.1 4AB 3 4AC B.1 4AB 3 4AC 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 D.3
17、4AB 1 4AC 解析：选 B法一：设AD xAByAC，由BC4 CD可得，BAAC4CA4AD， 即AB 3AC4xAB4yAC，则4x1， 4y3， 解得 x1 4， y3 4， 即AD 1 4AB 3 4AC ， 故选 B. 法二：在ABC 中，BC 4CD，即1 4BC CD，则ADACCDAC1 4BC AC 1 4(BA AC)1 4AB 3 4AC ，故选 B. 5在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A，B，C 三点满足OC 3 4OA 1 4OB ，则|BC | |AC |等 于() A1B2 C3D.3 2 解析： 选 C因为BC OCOB3 4OA 1 4OB OB3
18、4BA ， ACOCOA3 4OA 1 4OB OA 1 4AB ，所以|BC | |AC |3.故选 C. 6已知ABC 的边 BC 的中点为 D，点 G 满足GA BGCG0，且AGGD，则 的值是() A.1 2 B2 C2D1 2 解析：选 C由GA BGCG0，得 G 为以 AB，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶 点，因此AG 2GD，则2.故选 C. 7下列四个结论： AB BCCA0；ABMBBOOM0； AB ACBDCD0；NQQPMNMP0， 微 信 公 众 号 ：学起而飞 C.4 3A B 4 1A C 微信公众号学起而飞 其中一定正确的结论个数是() A1B2 C3D
19、4 解析： 选 CAB BCCAACCA0， 正确； ABMBBOOMABMO OM AB，错误；ABACBDCDCBBDDCCDDC0，正确；NQ QP MNMPNPPN0，正确故正确 8.如图， 在平行四边形 ABCD 中， M， N 分别为 AB， AD 上的点， 且AM 3 4AB ，AN2 3AD ，AC，MN 交于点 P.若APAC，则的值为( ) A.3 5 B.3 7 C. 3 16 D. 6 17 解析： 选 DAM 3 4AB ， AN2 3AD ， APAC(ABAD) 4 3AM 3 2AN 4 3AM 3 2AN .点 M，N，P 三点共线，4 3 3 21，则 6
20、17.故选 D. 9设向量 a，b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数_. 解析：因为向量ab 与 a2b 平行， 所以可设abk(a2b)，则 k， 12k， 所以1 2. 答案：1 2 10若AP 1 2PB ，AB(1)BP，则_. 解析：如图，由AP 1 2PB ，可知点 P 是线段 AB 上靠近点 A 的三等分点， 则AB 3 2BP ，结合题意可得13 2，所以 5 2. 答案：5 2 11已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且OA a，OBb，则DC 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 _，BC _.(用 a，b 表示) 解析：
21、如图，DC ABOBOAba，BCOCOBOAOB ab. 答案：baab 12(2019长沙模拟)在平行四边形 ABCD 中，M 为 BC 的中点若AB AMDB，则 _. 解析：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB DC，所以ABAMMB AM 1 2CB AM1 2(DB DC)AM1 2(DB AB)AM1 2DB 1 2AB ，所 以3 2AB AM1 2DB ，所以AB2 3AM 1 3DB ，所以2 3， 1 3，所以 1 3. 答案：1 3 13设 e1，e2是两个不共线的向量，已知AB 2e 18e2，CB e 13e2，CD 2e 1e2. (1)求证：A，B，D 三点共
22、线； (2)若BF 3e 1ke2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值 解：(1)证明：由已知得BD CDCB(2e 1e2)(e13e2)e14e2， AB 2e 18e2， AB 2BD. 又AB 与BD有公共点 B， A，B，D 三点共线 (2)由(1)可知BD e 14e2， BF 3e 1ke2，且 B，D，F 三点共线， 存在实数，使BF BD， 即 3e1ke2e14e2， 得 3， k4. 解得 k12. 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 第二节第二节 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示
23、 一、基础知识 1平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向 量 a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2. (2)基底：不共线的向量 e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 1基底 e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； 2基底给定，同一向量的分解形式唯一； 3如果对于一组基底 e1，e2，有 a1e12e21e12e2，则可以得到 11， 22. 2平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则 ab(x1x2，y1y2)， ab
24、(x1x2，y1y2)， a(x1，y1)，|a| x21y21. 若 ab，则 x1x2且 y1y2. (2)向量坐标的求法： 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1)， |AB | x 2x12y2y12. 3平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，则 abx1y2x2y10. 当且仅当 x2y20 时，ab 与x1 x2 y1 y2等价即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐 标成比例 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 典例如图，以向量OA a，OBb 为
25、邻边作平行四边形 OADB， BM 1 3BC ，CN1 3CD ，用 a，b 表示OM， ON，MN. 解BA OAOBab， BM 1 6BA 1 6a 1 6b， OM OBBM1 6a 5 6b. OD ab， ON OC1 3CD 1 2OD 1 6OD 2 3OD 2 3a 2 3b， MN ONOM2 3a 2 3b 1 6a 5 6b 1 2a 1 6b. 综上，OM 1 6a 5 6b，ON 2 3a 2 3b，MN 1 2a 1 6b. 解题技法 1平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运 算来解决
26、(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平 面几何的一些性质定理 2应用平面向量基本定理应注意的问题 (1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组 (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量 的加减运算或数乘运算 题组训练 1在ABC 中，P，Q 分别是 AB，BC 的三等分点，且 AP1 3AB，BQ 1 3BC，若AB 微 信 公 众 号 ：学起而飞 考点一考点一平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用 微信公众号学起而飞 a，AC b，则PQ( ) A.1 3a 1 3b B1 3
27、a 1 3b C.1 3a 1 3b D1 3a 1 3b 解析： 选A由题意知PQ PBBQ2 3AB 1 3BC 2 3AB 1 3(AC AB)1 3AB 1 3AC 1 3a 1 3b. 2已知在ABC 中，点 O 满足OA OBOC0，点 P 是 OC 上异于端点的任意一点， 且OP mOAnOB，则 mn 的取值范围是_ 解析：依题意，设OP OC (01)， 由OA OBOC0，知OC(OAOB)， 所以OP OAOB，由平面向量基本定理可知， mn2，所以 mn(2,0) 答案：(2,0) 考点二考点二平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 典例已知 A(2,4)，B(3，1)，
28、C(3，4)设AB a，BCb，CAc，且CM 3c，CN 2b， (1)求 3ab3c； (2)求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标 解由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8) (1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42) (2)设 O 为坐标原点，CM OMOC3c， OM 3cOC(3,24)(3，4)(0,20) 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 M(0,20)又CN ONOC2b， ON 2bOC(12,6)(3，4)(9,2)， N(9,2)，MN (9，18) 变透练清 1.变结论本例条件不变，若 ambnc
29、，则 m_，n_. 解析：mbnc(6mn，3m8n)，a(5，5)， 6mn5， 3m8n5， 解得 m1， n1. 答案：11 2 已知 O 为坐标原点， 向量OA (2,3)， OB(4， 1)， 且AP3PB， 则|OP|_. 解析：设 P(x，y)，由题意可得 A，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，1)，由AP 3PB， 可得 x2123x， y33y3， 解得 x7 2， y0， 故|OP |7 2. 答案：7 2 解题技法 1平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有 向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标 (2)解
30、题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行 求解 2向量坐标运算的注意事项 (1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同 (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算 (3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 (2)若AB 2a3b，BCamb，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值 解(1)a(1,0)，b(2,1)， kabk(1,0)(2,1)(k2，1)， a2b(1,0)2(2,1)(5,2)， kab 与 a2b 共线， 2(k2)(1)50，k1 2. (2)AB
31、 2(1,0)3(2,1)(8,3)， BC (1,0)m(2,1)(2m1，m) A，B，C 三点共线，AB BC， 8m3(2m1)0，m3 2. 解题技法 1平面向量共线的充要条件的 2 种形式 (1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y10. (2)若 ab(b0)，则 ab. 2两个向量共线的充要条件的作用 判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的 充要条件可以列出方程(组)，求参数的值 题组训练 1已知向量 a(1,2)，b(3,2)，若(kab)(a3b)，则实数 k 的取值为() A1 3 B.1
32、3 C3D3 解析：选 Akabk(1,2)(3,2)(k3,2k2) a3b(1,2)3(3,2)(10，4)， 微 信 公 众 号 ：学起而飞 (1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线； 典例已知 a(1,0)，b(2,1) 考点三考点三平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 微信公众号学起而飞 点共线且向量OP3 与向量 a(1，1)共线，若OP3 OP1 (1)OP2 ，则() A3B3 C1D1 解析：选 D设OP3 (x，y)，则由OP3 a 知 xy0，于是OP3 (x，x)若OP3 OP1 (1)OP2 ，则有(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)，即
33、 41x， 32x， 所以 41320，解得1，故选 D. 3在梯形 ABCD 中，ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_ 解析：在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABCD， DC 2AB. 设点 D 的坐标为(x，y)，则DC (4x,2y)，AB(1，1)， (4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)， 4x2， 2y2， 解得 x2， y4， 故点 D 的坐标为(2,4) 答案：(2,4) 课时跟踪检测课时跟踪检测 1(2019昆明调研)已知向量 a(1,2)，b(1,3)，则|2ab|() A. 2B2 C. 10
34、D10 解析： 选 C由已知， 易得 2ab2(1,2)(1,3)(3,1)， 所以|2ab| 3212 10.故选 C. 2已知向量 a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若 3a2bc0，则 c() A(23，12)B(23,12) C(7,0)D(7,0) 微 信 公 众 号 ：学起而飞 2(2019唐山模拟)已知在平面直角坐标系 xOy 中，P1(3,1)，P2(1,3)，P1，P2，P3三 (k3)(4)10(2k2)0，所以 k3 1. 则由(kab)(a3b)得 微信公众号学起而飞 所以 23x0， 12y0， 解得 x23， y12， 所以 c(23，12) 3(2018石
35、家庄模拟)已知向量 a(1，m)，b(m,1)，则“m1”是“ab”成立的 () A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：选 A若 ab，则 m21，即 m1，故“m1”是“ab”的充分不必要条 件，选 A. 4已知点 M 是ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且EC 2AE，则EM( ) A.1 2AC 1 3AB B.1 2AC 1 6AB C.1 6AC 1 2AB D.1 6AC 3 2AB 解析：选 C如图，因为EC 2AE，所以EC2 3AC ，所以EMEC CM 2 3AC 1 2CB 2 3AC 1 2(AB AC)1 2AB
36、1 6AC . 5已知点 A(8，1)，B(1，3)，若点 C(2m1，m2)在直线 AB 上，则实数 m () A12B13 C13D12 解析：选 C因为点 C 在直线 AB 上，所以AC 与AB同向又AB(7，2)，AC(2m 9，m3)，故2m9 7 m3 2 ，所以 m13.故选 C. 6在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限的点，且 AOC 4，|OC|2，若OC OAOB，则( ) A2 2B. 2 C2D4 2 解析：选 A因为|OC|2，AOC 4，所以 C( 2， 2)，又因为OC OAOB，所 以( 2， 2)(1,0)(
37、0,1)(，)，所以 2，2 2. 微 信 公 众 号 ：学起而飞 解析： 选A由题意可得3a2bc3(5,2)2(4， 3)(x， y)(23x,12y)(0,0)， 微信公众号学起而飞 7已知|OA |1，|OB| 3，OAOB， 点 C 在线段 AB 上，AOC30.设OCmOA nOB (m，nR)，则m n 等于() A.1 3 B3 C. 3 3 D. 3 解析：选 B如图，由已知|OA |1，|OB| 3，OAOB，可得 AB2， A60，因为点 C 在线段 AB 上，AOC30，所以 OCAB，过点 C 作 CDOA，垂足为点 D，则 OD3 4，CD 3 4 ，所以OD 3
38、4OA ，DC1 4OB ， 即OC 3 4OA 1 4OB ，所以m n3. 8.(2019深圳模拟)如图， 在正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点， 若AC AM BD，则( ) A.4 3 B.5 3 C.15 8 D2 解析：选 B以点 A 为坐标原点，分别以AB ，AD的方向为 x 轴，y 轴的正方向，建立 平面直角坐标系(图略)设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)， 所以AC (2,2)， AM(2,1)， BD(2,2)， 所以AMBD(22， 2)， 因为ACAM BD ，所以222， 22， 解得 4 3， 1
39、 3， 所以5 3. 9已知向量 a(2,1)，b(1，2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值 为_ 解析：manb(2mn，m2n)(9，8)， 2mn9， m2n8， m2， n5， mn253. 答案：3 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 所以 42m22 12m2，解得 m2. 答案：2 11(2019南昌模拟)已知向量 a(m，n)，b(1，2)，若|a|2 5，ab(0)，则 mn_. 解析：a(m，n)，b(1，2)， 由|a|2 5，得 m2n220， 由 ab(0)，得 m0， 2mn0， 由，解得 m2，n4. mn6. 答案：6 12已
40、知向量 a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且 uv，则实数 x 的值为 _ 解析：因为 a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab， 所以 u(1,2)2(x,1)(2x1,4)， v2(1,2)(x,1)(2x,3) 又因为 uv，所以 3(2x1)4(2x)0， 即 10 x5，解得 x1 2. 答案：1 2 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点 P(x，y)在ABC 三 边围成的区域(含边界)上 (1)若PA PBPC0，求|OP|； (2)设OP mABnAC (m，nR)，用 x，y 表示 mn. 微 信 公 众 号
41、 ：学起而飞 所以|b|2|a|， 所以由(2|a|b|)(ab)0 得 2|a|b|0， 解析：因为 ab(5,2m)0， 10已知向量 a(1，m)，b(4，m)，若有(2|a|b|)(ab)0，则实数 m_. 微信公众号学起而飞 解：(1)PA PBPC0，PAPBPC(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(6 3x,63y)， 63x0， 63y0， 解得 x2，y2， 即OP (2,2)，故|OP|2 2. (2)OP mABnAC，AB(1,2)，AC(2,1) (x，y)(m2n,2mn)， 即 xm2n， y2mn， 两式相减，得 mnyx. 第三节第三节 平面向量的数量积
42、平面向量的数量积 一、基础知识一、基础知识 1向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，如图所示，作OA a，OBb，则 AOB(0180)叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角 (2)范围：夹角的范围是0， 当0 时，两向量 a，b 共线且同向； 当 2时，两向量 a，b 相互垂直，记作 ab； 当时，两向量 a，b 共线但反向 2平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b， 我们把数量|a|b| cos 叫做a与b的数量积(或内积)， 记作ab， 即 ab|a|b|cos ，其中是 a 与 b 的夹角 规定：零向量与任一向
43、量的数量积为零 3平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设是 a，b 的夹角，则|b|cos 叫做向量 b 在向量 a 的方向上的投影，|a|cos 叫做向量 a 在向量 b 的方向上的投影 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 (2)abab0. (3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|. 特别地，aa|a|2或|a|aa. (4)cos ab |a|b| . (5)|ab|a|b|. 6平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 (1)|a|
44、 x21y21；(3)abx1x2y1y20； (2)abx1x2y1y2;_(4)cos x1x2y1y2 x21y21x22y22. 二、常用结论汇总二、常用结论汇总 1平面向量数量积运算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2； 微 信 公 众 号 ：学起而飞 (1)eaae|a|cos . 设 a，b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量，是 a 与 e 的夹角，则 5平面向量数量积的性质 表示一个与 c 共线的向量，a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)，这是由于(ab)c (
45、3)分配律：(ab)cacbc. (2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b) (1)交换律：abba. 4向量数量积的运算律 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 (2)ab 的几何意义 微信公众号学起而飞 考点一考点一平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的运算 典例(1)(2018新乡二模)若向量 m(2k1， k)与向量 n(4,1)共线， 则 mn() A0B4 C9 2 D17 2 (2)(2018天津高考)在如图所示的平面图形中，已知 OM1，ON 2，MON120，BM 2MA，CN2NA
46、，则BCOM的值为( ) A15B9 C6D0 解析(1)向量 m(2k1，k)与向量 n(4,1)共线，2k14k0，解得 k1 2， m 2，1 2 ， mn24 1 2 117 2 . (2)法一：如图，连接 MN. BM 2MA，CN2NA， AM AB AN AC 1 3. MNBC，且MN BC 1 3. BC 3MN3(ONOM) BC OM3(ONOMOM2) 3(21cos 12012)6. 法二：在ABC 中，不妨设A90，取特殊情况 ONAC，以 A 为 坐标原点，AB，AC 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角 微 信 公 众 号 ：学起而飞 (2)两个
47、向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 ab0，反之不成立(因为夹角为 0 时不成立)； 2有关向量夹角的两个结论 (2)(ab)2a22abb2. 微信公众号学起而飞 坐标系， 因为MON120， ON2， OM1， 所以 O 2， 3 2 ， C 0，3 3 2， M 5 2，0， B 15 2 ，0 . 故BC OM15 2 ，3 3 2 1 2， 3 2 15 4 9 46. 答案(1)D(2)C 解题技法求非零向量 a，b 的数量积的策略 (1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量 的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算 (2)根据图形之
48、间的关系， 用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量 a， b， 然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解 (3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出 a，b 的坐标，通过坐标运算 求解 题组训练 1(2019济南模拟)已知矩形 ABCD 中，AB 2，BC1，则AC CB( ) A1B1 C. 6D2 2 解析：选 B设AB a，ADb，则 ab0， |a| 2，|b|1， AC CB(ab)(b)abb21. 2(2019南昌调研)已知向量 a，b 满足 a(ba)2，且 a(1,2)，则向量 b 在 a 方向 上的投影为() A. 5 5 B 5 5 C2 5 5
49、D3 5 5 解析：选 D由 a(1,2)，可得|a| 5， 由 a(ba)2，可得 aba22， ab3， 向量 b 在 a 方向上的投影为ab |a| 3 5 5 . 微 信 公 众 号 ：学起而飞 微信公众号学起而飞 3(2018石家庄质检)在ABC 中，已知AB 与AC的夹角为 90，|AB|2，|AC|1，M 为 BC 上的一点，且AM ABAC (，R)，且AM BC0，则 的值为_ 解析：法一：BC ACAB，AMBC0， (AB AC)(ACAB)0， AB 与AC的夹角为 90，|AB|2，|AC|1， |AB |2|AC|20，即40， 1 4. 法二：根据题意，建立如图所
50、示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(0,2)， C(1,0)，所以AB (0,2)，AC(1,0)，BC(1，2)设 M(x，y)，则AM(x， y)， 所以AM BC(x， y)(1， 2)x2y0， 所以 x2y， 又AMABAC， 即(x，y)(0,2)(1,0)(，2)，所以 x，y2，所以 1 2y 2y 1 4. 答案：1 4 考点二考点二平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质 考法(一)平面向量的模 典例(1)(2019昆明适应性检测)已知非零向量 a，b 满足 ab0，|a|3，且 a 与 a b 的夹角为 4，则|b|( ) A6B3 2 C2 2D3 (2)(201
