1、公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1 1 8.8.极值点偏移终极套路极值点偏移终极套路 值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想 解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.【来源：21世纪教育网】 下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此
2、类问题的一般性方法. 例 1： 已知 2 1 ln 2 fxxxmxx，mR 若 f x有两个极值点 1 x， 2 x， 且 12 xx， 求证： 2 12 ex x （e为自然对数的底数） 解法一：齐次构造通解偏移套路解法一：齐次构造通解偏移套路 于是 又 12 0 xx，设 2 1 x t x ，则1t 因此， 12 1ln lnln 1 tt xx t ，1t 要证 12 lnln2xx，即证： 1 ln 2 1 tt t ，1t 即：当1t 时，有 21 ln 1 t t t 设函数 21 ln 1 t h tt t ，1t ，则， 所以， h t为1.上的增函数注意到， 10h，因此
3、， 10h th 于是，当1t 时，有 21 ln 1 t t t 所以，有 12 lnln2xx成立， 2 12 ex x 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 2 2 解法二解法二 变换函数能妙解变换函数能妙解 证法证法 2 2： 欲证 2 12 ex x ， 需证 12 lnln2xx 若
4、 f x有两个极值点 1 x， 2 x， 即函数 fx有两个零点 又 lnfxxmx ，所以， 1 x， 2 x是方程 0fx的两个不同实根显然0m ，否则，函数 fx为 单调函数，不符合题意21世纪*教育网 由 11 1212 22 ln0 lnln ln0 xmx xxm xx xmx ， 解法三解法三 构造函数现实力构造函数现实力 证法证法 3 3：由 1 x， 2 x是方程 0fx的两个不同实根得 ln x m x ，令 ln x g x x ， 12 g xg x，由于 2 1 ln x gx x ，因此， g x在1,e ，e, 设 12 1exx，需证明 2 12 ex x ，只
5、需证明 2 1 2 e 0,ex x ，只需证明 2 1 2 e f xf x ，即 2 2 2 e f xf x ，即 2 2 2 e 0f xf x 即 2 e 1,eh xf xfx x ， 22 22 1 lne 0 e xx h x x ，故 h x在1,e ，故 e0h xh，即 2 e f xf x 令 1 xx，则 2 21 1 e f xf xf x ，因为 2 x， 2 1 e e, x ， f x在e, ，所以 2 2 1 e x x ，即 2 12 ex x 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分
6、享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 3 3 解法四解法四 巧引变量（一）巧引变量（一） 证法证法 4 4：设 11 ln0,1tx， 22 ln1,tx，则由 11 22 ln0 ln0 xmx xmx 得 1 12 2 11 22 e e e t tt t ttm tmt ，设 12 0ktt，则 1 e e1 k k k t ， 2 e1 k k t 欲证 2 12 ex x ， 解法五解法五 巧引
7、变量（二）巧引变量（二） 证法证法 5 5：设 11 ln0,1tx， 22 ln1,tx，则由 11 22 ln0 ln0 xmx xmx 得 1 12 2 11 22 e e e t tt t ttm tmt ，设 1 2 0,1 t k t ，则 1 ln 1 kk t k ， 2 ln 1 k t k 欲证 2 12 ex x ，需证 12 lnln2xx， 即只需证明 12 2tt， 即 1 ln2121 2lnln0 111 kkkk kk kkk ， 设 21 ln0,1 1 k g kkk k ， 故 g k在0,1 ，因此 10g kg，命题得证 公众号：渝城高中数学会公众号
8、：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 4 4 例 2：已知函数 2 ( )(2)lnf xxaxax，若方程( )f xc有两个不相等的实数根 12 ,x x，求证： 12 ()0 2 xx f . 欲证： 12 ()0( ) 22 xxa ff ，结合( )fx的单调性， 即证： 12 22 xxa 等价于证明： 22
9、1122 12 1122 22 lnln xxxx xx xxxx 令 1 2 ,(01) x tt x ，构造函数 22 ( )ln,(01) 1 t g ttt t ， 求导由单调性易得原不等式成立，略. 法二：接后续解: 由得： 1 121212 2 ()()(2)()ln0 x xxxxaxxa x 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：
10、608396916608396916 下载！下载！ 5 5 构造函数 2(1) ( )ln,(01) 1 t m ttt t ， 求导由单调性易得( )0m t 在(0,1)t恒成立， 又因为 12 0,0axx，故 12 ()0 2 xx f 成立. 法三：接后续解： 视 1 x为主元，设 2 222 2 22 222 2()4()1 ( )lnln,( )0 ()() xxxxx g xxxg x xxxxxxx 则( )g x在 2 (0,)xx上单调递增，故 2 ( )()0g xg x， 再结合 12 0,0axx，故 12 ()0 2 xx f 成立. 法四：构造函数( )()()
11、,(0) 222 aaa h xfxfxx， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 6 6 则， 从而( )h x在(0,) 2 a 上单调递增，故( )(0)0h xh，即()() 22 aa fxfx 对(0,) 2 a x恒成立， 从而( )(),(0) 2 a f xf axx，则 21
12、1 ()()()f xf xf ax， 由 21 ,(,) 2 a x ax，且( )f x在(,) 2 a 单调递增， 故 21 xax， 即 12 22 xxa ，从而 12 ()0 2 xx f 成立. 例 3：已知函数 ln,f xxaxb a bR有两个不同的零点 12 ,x x I求 f x的最值； II证明： 12 2 1 xx a 【答案】（1） maxln1f xab ，无最小值（2）见解析 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公
13、众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 7 7 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年 高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往 难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先 行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.21 世纪教育网版权所有 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396
14、916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 8 8 例 4：已知函数 2 a x g xxeaR ，e为自然对数的底数. （1）讨论 g x的单调性； （2）若函数 2 lnf xg xax的图象与直线ym mR交于AB、两点，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 0fx（ fx为函数 f x的导函数） 【答案】（1）见解析（2）见解析 （2） 222 lnln2(0)
15、 a x f xxeaxxa xaxx ， 2111 22 xax fxaax xx ， 当0a 时， 0,fxyg x在0,上单调递增，与直线ym不可能有两个交点，故0a 令 0fx，则 1 0 x a ；令 0fx，则 1 x a ，故 yg x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上 单调递减不妨设 12 ,A x mB x m，且 12 1 0 xx a ， 要证 0 0fx，需证 0 10ax ， 即证 0122121 1222 xxxxxfxfx aaaa ， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享
16、 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 9 9 又 12 f xf x，所以只需证 11 2 f xfx a ，即证：当 1 0 x a 时， 2 0fxfx a 设 2 ln 2ln22F xfxfxaxaxax a ， 则 2 211 20 22 axa Fxa axxxax ， 2 F xfxf x a 在 1 0, a 上单调递减，又 1211 0Fff aaaa ， 故 2 0F xfxf x a
17、，原不等式成立 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 10 10 例 5：已知函数 3 2 2 ln 3 f xaxx的图象的一条切线为x轴.（1）求实数a的值；（2）令 g xf xfx ，若存在不相等的两个实数 12 ,x x满足 12 g xg x，求证： 12 1x x .21 教育网
18、【答案】（1） 0 1 2 3 x a （2）见解析 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 11 11 当1x 时， 1 01 x ， 记 1111 G xg xgh xhf xfxff xxxx ， 记函数 yfx的导函数为 yfx，则 22 1111 Gxfxfxff xxxx 2 222
19、111111 22 x xxx xxxxxx 2 11 10 2 xx x x xxx ， 故 G x在1,上单调递增， 所以 10G xG，所以 1 0g xg x ， 不妨设 12 01xx ，则 12 2 1 g xg xg x ， 而 1 01x， 2 1 01 x ，有单调性知 1 2 1 x x ，即 12 1x x . 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进
20、文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 12 12 例 6：已知函数 2 1 ln 2 f xxaxbx且函数 yf x图象上点 1,1f处的切线斜率为0. （1）试用含有a的式子表示b，并讨论 f x的单调性； （2）对于函数图象上的不同两点 1122 ,A x yB xy如果在函数图象上存在点 00012 ,M xyxx x 使得点M处的切线lAB，则称AB存在“跟随切线”.特别地，当 12 0 2 xx x 时，又称AB存在“中值 跟随切线”.试问：函数 f x上是否存在两点,A B使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出,A B的 坐标，若不存在，
21、说明理由. 【答案】（1）见解析（2）不存在 令 1 2 ,(01) x tt x ， 构造函数 21 ln,(01) 1 t g ttt t ， 则， 则0,1t时， 0g t 恒成立， 故 yg t在0,1上单调递增从而得出不存在 试题解析： 函数 yf x的定义域为0,，且 1 fxaxb x ， 又 10f，整理得1ba. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文
22、档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 13 13 （1） 1111 1 axx fxaxbaxa xxx . 1）当0a 时，易知0,1x， 0,1,fxx时 0fx ， 故 yf x在0,1上单调递增，在1,上单调递减. 2）当0a 地，令 0fx ，解得1x 或 1 x a ，则 当 1 1 a ，即1a 时， 0fx 在0,上恒成立，则 yf x在0,上递增. 当10a 时， yf x在0,1及 1 , a 上单调递增： yf x在 1 1, a 上单调递减. 当1a 时， yf x在0,上递增. 当1a 时， yf x在 1 0, a 及1,上单调
23、递增； yf x在 1 ,1 a 上递减. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 14 14 点睛： 对于导数 问题，做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此 题第二问的类型，要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论 公众号：渝城高中
24、数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 15 15 例 7：已知函数 2 lnf xx xaxxa aR在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a的取值范围. （2）设 f x的两个极值点为 12 ,x x，证明 2 12 x xe. 【答案】（1） 1 0 2 a e （2）见解析 试题解析： （1） 依题意
25、，函数 f x的定义域为0,，所以方程 0fx在0,有两个不同根.即方程 ln20 xax在0,有两个不同根.21cnjycom 转化为，函数 lnx g x x 与函数2ya 的图象在0,上有两个不同交点 又 2 1 lnx gx x ，即0 xe时， 0gx ，xe时， 0gx ， 所以 g x在0,e上单调增，在, e 上单调减，从而 1 =g xg e e 极大 . 又 g x有且只有一个零点是 1，且在0 x 时， g x ，在x 时， 0g x ，所以由 g x 的图象， 要想函数 lnx g x x 与函数2ya 的图象在0,上有两个不同交点， 只需 1 02a e ，即 1 0
26、 2 a e （2）由（1）可知 12 ,x x分别是方程ln0 xax的两个根，即 11 lnxax， 22 lnxax， 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 16 16 设 12 0 xx，作差得， 1 12 2 ln x a xx x ，即. 原不等式 2 12 x xe等价于 12 l
27、nln2xx 12 2a xx 12 1 212 2 ln xxx xxx 令 1 2 x t x ，则1t ， 12 1 212 221 lnln 1 xxtx t xxxt ， 设 21 ln 1 t g tt t ，1t ， 函数 g t在1,上单调递增， 10g tg， 即不等式 21 ln 1 t t t 成立，故所证不等式 2 12 x xe成立. 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 h xf xg x.根据差函数导函数 符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一 般思路为利用条件将求和问题转化为对应项
28、之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元 函数.www.21-cn- 例 8：已知函数 1 ex x f x ，A 1, x m，B 2, x m是曲线 yf x上两个不同的点. （）求 f x的单调区间，并写出实数m的取值范围； （）证明： 12 0 xx. 【答案】（）m的取值范围是0,1；（）见解析. 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQ
29、QQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 17 17 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年 高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往 难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 18 18 行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 在高考创新试题层出不穷的大环境下，学生首先要掌握基本的知识方法和解题策略，对新题、难题的 突破，更需在掌握双基的前提下，淡化特殊技巧、重视思想方法、去模式化的解题策略，以不变应万变， 培养学生分析问题、解决问题的能力.只有学生学会自我分析，利用熟知的知识方法去解决各类未知的创新 试题，教师才算成功培养学生解题思维，同时对学生认知的广阔性、逆向性也是一种需要.21cnjy
