1、课时作业课时作业 6函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1(2021百校联盟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(B) AyxsinxByxlnx Cyxe x1 ex1 Dyxln( x21x) 解析：函数 yxlnx 的定义域为(0，)，yxlnx 既不是奇函数也不是偶函数故选 B. 2(2021石家庄模拟)已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3 a1 ，则实数 a 的取值范 围为(A) A(1,4)B(2,1) C(1,2)D(1,0) 解析：因为函数 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，所以 f(5)f
2、(1)f(1)，即2a3 a1 1，化简得(a4)(a 1)0，解得1abcBcab CbcaDacb 解析：偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，函数的周期为 2.af(2.8)f(0.8)，bf(1.6)f(0.4)f(0.4)， cf(0.5)f(0.5)0.80.5cb，故选 D. 4函数 f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是 (D) A2,2B1,1 C0,4D1,3 解析：由已知，得 f(1)1，使1f(x)1 成立的 x 满足1x1，所以由1x21 得 1x3，即使 1f(x2)1 成立的 x 满足 1x3. 5(2
3、021广州模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，f(x)f(x4)，且当 x(1,0)时，f(x)2x1 5，则 f(log220)(C) A1B.4 5 C1D4 5 解析：因为 xR，且 f(x)f(x)，所以函数为奇函数，因为 f(x)f(x4)，所以函数的周期为 4.所以 f(log220) f(log2204)f log25 4 6设函数 f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则 f(x)(D) A是偶函数，且在 1 2，单调递增 B是奇函数，且在 1 2， 1 2 单调递减 C是偶函数，且在 ，1 2 单调递增 D是奇函数，且在 ，1 2 单调递减 解析：由
4、|2x1|0， |2x1|0 x1 2，函数 f(x)的定义域为 x|x1 2，xR，关于原点对称，又f(x)ln|2x 1|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，f(x)是奇函数，排除 A、C；当 x 1 2， 1 2 时，f(x)ln(2x1)ln(1 2x)，则 f(x) 2 2x1 2 12x 4 14x20，f(x)在 1 2， 1 2 单调递增，排除 B；当 x ，1 2 时，f(x)ln(2x 1)ln(12x)，则 f(x) 2 2x1 2 12x 4 14x20，f(x)在 ，1 2 单调递减，D 正确 7(2021福建质检)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函
5、数，其图象关于点(1,0)对称，给出下列关于 f(x)的结论： f(x)是周期函数； f(x)满足 f(x)f(4x)； f(x)在(0,2)上单调递减； f(x)cos x 2 是满足条件的一个函数 其中正确结论的个数是(B) A4B3 C2D1 解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x)，因为 f(x)的图象关于点(1,0)对称，则 f(x)f(2x)，故 f(x2) f(x)，故有 f(x4)f(x2)f(x)，即 f(x)是以 4 为周期的周期函数，故正确；可得 f(x)f(x)f(x4)，把 x 替换成x 可得 f(x)f(4x)，故正确；f(x)cos x 2 是定义在
6、R 上的偶函数，(1,0)是其图象的一个对称中心，可 得正确；f(x)cos x 2 满足题意，但 f(x)在(0,2)上单调递增，故错误 8设函数 f(x)e1 |x|2x2 1x2，若 f(ax)f(x 21)恒成立，则 a 的取值范围是( C) A(，2B(， 2 C2,2D 2， 2 解析：f(x)的定义域为(，) f(x)e1 |x|2x2 1x2e 1|x|2x 2 1x2f(x)， f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)e1 x 3 1x21， ye1 x，y 3 1x21 在0，)内均为减函数， f(x)在0，)内为减函数， f(x)为偶函数，f(x)在(，0内为增函数， 由
7、 f(ax)f(x21)，得|ax|x21， 当 x0 时，aR；当 x0 时，|a| 1 |x|x|，即|a|2，亦即2a2.综上，a2,2 二、填空题 9函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x) cosx 2 ，0 x2， |x1 2|，20 时的图象，并写出函数 f(x)(xR)的解析式； (2)若函数 g(x)f(x)2ax2(x1,2)，当 a1 时，求函数 g(x)的最小值 解：(1)f(x)在 x0 时的图象如图所示 若 x0，则x0)， f(x) x22xx0， x22xx0. (2)由(1)知 g(x)x22x2ax2，其图象的对称轴方程为
8、 xa1，当 a1 时，a12，g(x)x22x2ax2 在1,2上单调递减，则 g(x)在1,2上的最小值为 g(2)24a. 14设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 都有 f 3 2xf 3 2x成立 (1)证明：yf(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)2，求 f(2)f(3)的值； (3)若 g(x)x2ax3，且 y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数 a 的值 解：(1)证明：由 f 3 2xf 3 2x， 且 f(x)f(x)，知 f(3x) f 3 2 3 2x f 3 2 3 2x f(x)f(x)，所以 yf(x)是周期函数，且 T3 是
9、其一个周期 (2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f(0)0，且 f(1)f(1)2， 又 T3 是 yf(x)的一个周期， 所以 f(2)f(3)f(1)f(0)202. (3)因为 y|f(x)|g(x)是偶函数， 且|f(x)|f(x)|f(x)|， 所以|f(x)|为偶函数故 g(x)x2ax3 为偶函数，即 g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3 恒 成立于是 2ax0 恒成立，所以 a0. 15设函数 yf(x)是定义域为 R 的奇函数，且满足 f(x2)f(x)对一切 xR 恒成立，当1x1 时，f(x) x3，则下列四个命题： f(x)是以 4
10、 为周期的周期函数； f(x)在1,3上的解析式为 f(x)(2x)3； f(x)在 3 2，f 3 2 处的切线方程为 3x4y50； f(x)的图象的对称轴中，有 x1. 其中正确的命题是(D) AB CD 解析：f(x2)f(x)对一切 xR 恒成立，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以 4 为周期的周期 函数，正确；当 1x3 时，12x1.当1x1 时，f(x)x3，当 1x3 时，f(2x)(2x)3f(x 2)f(x)，f(x)(2x)3(1x3)，正确；f(x)3(2x)2， kf 3 2 3 4.又f 3 2 23 2 31 8， f(x)在 3 2，f 3 2
11、 处的切线方程为 y1 8 3 4 x3 2 ，即 3x4y50，正确；由 f(x2)f(x)f(x)知函数 图象的一条对称轴为 x1， 又f(x)为奇函数， 其图象关于原点对称， f(x)的图象的对称轴中， 有 x1， 正确 故 选 D. 16(2021湖北荆门模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数 学中有着广泛的应用，黎曼函数定义在0,1上，其定义为：R(x) 1 p，x q pp，q 都是正整数， q p是既约真分数， 0，x0，1 或0，1上的无理数. 若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且对任意 x 都有 f(2x)f(x)0， 当 x0,1时， f(x)R(x)， 则 f 18 5 f(lg30) 1 5. 解析：f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)f(2x)0，f(x)f(2x)f(x2)， 函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数， 则 f 18 5 f 18 5 4 f 2 5 f 2 5 R 2 5 1 5，f(lg30)f(lg3lg10)f(lg31)f(lg31)f(1lg3)R(1lg3)0，f 18 5 f(lg30)1 5.
