1、课时作业课时作业 70随机事件的概率随机事件的概率 一、选择题 1袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球设事件 P 表示“取出的都是黑球”；事件 Q 表示 “取出的都是白球”；事件 R 表示“取出的球中至少有一个黑球”则下列结论正确的是(C) AP 与 R 是互斥事件 BP 与 Q 是对立事件 CQ 和 R 是对立事件 DQ 和 R 是互斥事件，但不是对立事件 解析：袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法共有如下几类： 取出的两球都是黑球；取出的两球都是白球；取出的球一黑一白 事件 R 包括两类情况，事件 P 是事件 R 的子事件，故 A 不正确；事件 Q
2、与事件 R 互斥且对立，选项 C 正确，选项 D 不正确；事件 P 与事件 Q 互斥，但不是对立事件，选项 B 不正确 2(2021山东栖霞月考)一道竞赛题，甲、乙、丙三人可解出的概率依次为1 2， 1 3， 1 4.若三人独立解答，则仅有 1 人 解出的概率为(B) A. 1 24 B.11 24 C.17 24 D1 解析：本题考查相互独立事件的概率和互斥事件的概率记甲、乙、丙三人分别解出题为事件 A，B，C，则仅 有 1 人解出题的概率 PP(A B C )P( A B C )P( A B C)1 2 2 3 3 4 1 2 1 3 3 4 1 2 2 3 1 4 11 24.故选 B.
3、 3 已知随机事件 A， B 发生的概率满足 P(AB)3 4， 某人猜测事件 A B 发生， 则此人猜测正确的概率为(C) A1B.1 2 C.1 4 D0 解析：事件 A B 与事件 AB 是对立事件，P( A B )1P(AB)13 4 1 4，故选 C. 4 随着互联网的普及， 网上购物已逐渐成为消费时尚， 为了解消费者对网上购物的满意情况， 某公司随机对 4 500 名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表： 满意情况不满意比较满意满意非常满意 人数200n2 1001 000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的
4、概率是(C) A. 7 15 B.2 5 C.11 15 D.13 15 解析：由题意，n4 5002002 1001 0001 200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为 1 200 2 1003 300，由随机事件的概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为3 300 4 500 11 15. 5对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区 间20,25)上的为一等品，在区间15,20)和区间25,30)上的为二等品，在区间10,15)和30,35上的为三等品用频率估 计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的
5、概率为(D) A0.09B0.20 C0.25D0.45 解析：设25,30)上的频率为 x，由所有矩形面积之和为 1，即 x(0.020.040.030.06)51，得25,30)上的 频率为 0.25.所以产品为二等品的概率为 0.0450.250.45. 6已知 a2,0,1,2,3，b3,5，则函数 f(x)(a22)exb 为减函数的概率是(C) A. 3 10 B.3 5 C.2 5 D.1 5 解析：函数 f(x)(a22)exb 为减函数，则 a220，又 a2，0,1,2,3，故只有 a0，a1 满足题意，又 b 3,5，所以函数 f(x)(a22)exb 为减函数的概率 P
6、22 52 2 5，故选 C. 7(2021湖南长沙联考)2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式， 孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p 使得 p2 是素数， 素数对(p，p2)称为孪生素数，从 20 以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为(B) A. 1 14 B.1 7 C. 3 14 D.1 3 解析：依题意，20 以内的素数共有 8 个，从中选两个共包含 C2828 个基本事件，而 20 以内的孪生素数有(3,5)， (5,7)，(11,13)，(17,19)共四对，包含
7、 4 个基本事件，所以从 20 以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率 P 4 28 1 7.故选 B. 8若随机事件 A，B 互斥，A，B 发生的概率均不等于 0，且 P(A)2a，P(B)4a5，则实数 a 的取值范围是 (D) A. 5 4，2B. 5 4， 3 2 C. 5 4， 3 2D. 5 4， 4 3 解析：由题意可得 0PA1， 0PB1， PAPB1， 即 02a1， 04a51， 3a31， 解得5 4a 4 3. 二、填空题 9(2021陕西宝鸡质检)从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数，其中恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少 有一个是奇数和两个都是奇
8、数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上 述事件中，是对立事件的是. 解析：本题考查互斥事件与对立事件的理解与应用恰有一个是偶数和恰有一个是奇数既不是互斥事件，也不 是对立事件；至少有一个是奇数和两个都是奇数既不是互斥事件，也不是对立事件；至少有一个是奇数和两个都 是偶数是互斥事件，也是对立事件；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数既不是互斥事件，也不是对立事件因 此选. 10(2021湖南、河南、江西联考)中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一， 周髀算经中称直角三角形 较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从 15
9、这 5 个数中随机 抽取 3 个不同的数，则这三个数为勾股数的概率为 1 10. 解析：从 15 这 5 个数中随机抽取 3 个不同的数，所有基本事件的个数为 10，其中勾股数为 3,4,5，共 1 个，故 概率 P 1 10. 11 已知小李每次打靶命中靶心的概率都为 40%， 现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的 概率先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 0,1,2,3 表示命中靶心，4,5,6,7,8,9 表示未命中靶心，再以 每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数： 32142119192527193280047
10、8589663 531297396021546388230113507965 据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为 0.30. 解析： 由题意知， 在 20 组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有 421,191,271,932,800,531， 共 6 组随机数， 所以所求概率为 6 200.30. 12无重复数字的五位数 a1a2a3a4a5，当 a1a3，a3a5时称为波形数，则由 1,2,3,4,5 任意组成的一 个没有重复数字的五位数是波形数的概率是 2 15. 解析：a2a1，a2a3，a4a3，a4a5，a2只能是 3,4,5 中的一个 若 a23，则 a45，a5
11、4，a1与 a3是 1 或 2，这时共有 A2 22(个)符合条件的五位数； 若 a24，则 a45，a1，a3，a5可以是 1,2,3，共有 A336(个)符合条件的五位数； 若 a25，则 a43 或 4，此时分别与中的个数相同满足条件的五位数有 2(A22A33)16(个) 又由 1,2,3,4,5 任意组成的一个没有重复数字的五位数有 A55120(个)，故所求概率为 16 120 2 15. 三、解答题 13某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处 理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最
12、高气温(单位：)有关如果最高 气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量 为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40 天数216362574 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所 有
13、可能值，并估计 Y 大于零的概率 解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频 率为21636 90 0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y64504450900；若最高气温位于 区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300；若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450 100.所以，Y 的所有可能值为 900,300，100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表
14、格数据知，最高气温不 低于 20 的频率为362574 90 0.8，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 14海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位： 件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区ABC 数量50150100 (1)求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量； (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率 解：(1)A，B，C 三个地区商品的总数量为 50150100300，抽样比为 6 300 1 50
15、， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50 1 501, 150 1 503, 100 1 502. 所以 A，B，C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2. (2)设 6 件来自 A，B，C 三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2. 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为：A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2， B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共 15 个 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 记事件 D：“抽取的这 2
16、件商品来自相同地区”，则事件 D 包含的基本事件有：B1，B2，B1，B3，B2，B3， C1，C2，共 4 个所以 P(D) 4 15， 即这 2 件商品来自相同地区的概率为 4 15. 15(2021合肥模拟)某城市有连接 8 个小区 A，B，C，D，E，F，G，H 和市中心 O 的整齐方格形道路网，每个 小方格均为正方形，如图所示某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区 A 前往小区 H，则他经过市中心 O 的概率为(B) A.1 3 B.2 3 C.1 4 D.3 4 解析：由题意知，此人从小区 A 前往小区 H 的所有最短路径为：ABCEH，ABOEH，AB OGH，ADOEH，
17、ADOGH，ADFGH，共 6 条记“此人经过市中心 O”为事件 M，则 M 包含的基本事件为：ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，共 4 个， 所以 P(M)4 6 2 3，即他经过市中心 O 的概率为 2 3. 16(2021徐州模拟)为了整理道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度， 在普通行人中随机选取了 200 人进行调查，当不处罚时，有 80 人会闯红灯，处罚时，得到如下数据： 处罚金额 x(单位：元)5101520 会闯红灯的人数 y50402010 若用表中数据所得频率代替概率 (1)当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率会比不进行处
18、罚降低多少？ (2)将选取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类： A 类市民在罚金不超过 10 元时就会改正行为； B 类是其他市民 现 对 A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问卷，则前两位均为 B 类市民的概率是多少？ 解： (1)设“当罚金定为 10 元时， 闯红灯的市民改正行为”为事件 A， 则 P(A)8040 200 1 5.当罚金定为 10 元时， 行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低1 5. (2)由题可知 A 类市民和 B 类市民各有 40 人，故分别从 A 类市民和 B 类市民各抽出 2 人，设从 A 类市民抽出的 两人分别为 A1，A2，设从 B
19、类市民抽出的两人分别为 B1，B2.设“A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进 行深度问卷”为事件 M，则事件 M 中首先抽出 A1的事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)， (A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)共 6 种 同理首先抽出 A2，B1，B2的事件也各有 6 种 故事件 M 共有 4624 种 设“抽取 4 人中前两位均为 B 类市民”为事件 N，则事件 N 有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1， A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)，共 4 种P(N) 4 24 1 6. 抽取 4 人中前两位均为 B 类市民的概率是1 6.
