1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】 正方体 1111 ABCDABC D中， 1 BB与平面 1 ACD所成角的余弦值为（） A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 【例 2】 在正方体 1111 ABCDABC D中， 如图E、F分别是 1 BB，CD的中点， 求证： 1 D F 平面ADE；求异面直线 1 EFBC，的所成角 【例 3】 如图，已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2，点E是正方形 11 BCC B的中心，点 F、G分别是棱 11 C D， 1 AA的中点设点 1 E， 1 G分别是点E、G在平面 11 DCC D 内的正投影 证明：直线 1 F
2、G 平面 1 FEE； 求异面直线 11 E G与EA所成角的正弦值 ? G ? F ? E ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 4】 如图， 棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中，E、F分别为棱AB、BC上的动点， 且AEBFx（0 xa） 求证： 11 AFC E； 当BEF的面积取得最大值时，求二面角 1 BEFB的大小 板块七.用空间向量解立方体 问题 【学而思高中数学讲义】 ? F ? E ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 5】 在棱长为
3、1 的正方体 1111 ABCDABC D中，EF，分别是 1 D DBD，的中点，G在棱 CD上，且 1 4 CGCD，H为 1 C G的中点， 求证： 1 EFBC； 求EF与 1 C G所成的角的余弦值； 求FH的长 ? H ? G ? F ? E ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 6】 如图，在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，EF，分别为 1111 ABAD，的中点， GH，分别为 11 BCB D，的中点， 求证： 1 ACBD，ACDH； 求证：GH 平面EFDB； 求异面直线GH与DF所成角的余
4、弦值； 求直线GH与平面ABCD所成角的余弦值； 求二面角EBDA的余弦值 ? H ? G ? F ? E ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【学而思高中数学讲义】 【例 7】 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E、F分别是 1 BB、CD的中点 证明： 1 ADD F； 求AE与 1 D F所成的角； 证明：面AED 面 11 AD F ? F ? E ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 8】 在正方体 1111 ABCDABC D中，如图E、F分别是
5、 1 BB，CD的中点， 求证： 1 D F 平面ADE；求异面直线 1 EFBC，的所成角 【例 9】 如图，在棱长为1的正方体ABCDA B C D 中，01APBQbb，截面 PQEFA D，截面PQGH AD 证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直； 证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值； 若D E与平面PQEF所成的角为45，求D E与平面PQGH所成角的正弦值 ? 图1 ? A ? A ? B ? E ? C ? Q ? C ? G ? H ? D ? F ? P ? B ? D 【例 10】如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，E、F分别是棱B
6、C， 1 CC上的点， 2CFABCE， 1 :1:2:4AB AD AA 求异面直线EF与 1 AD所成角的余弦值； 证明AF 平面 1 AED 求二面角 1 AEDF的正弦值 【学而思高中数学讲义】 ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 11】如图，已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面边长2AB ，侧棱 1 BB的长为 4，过点B作 1 BC的的垂线交侧棱 1 CC于点E，交 1 BC于点F 求证： 1 AC 平面BED；求 1 AB与平面BDE所成的角的正弦值 ? F ? E ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 12】正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是 1 B B上一点， 且 1 1 2 B E 求证： 1 B D 平面 1 D AC； 求异面直线 1 DO与 1 AD所成角的余弦值； 求直线 1 DO与平面AEC所成角的正弦值
