1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一： 平面向量基本定理 【例 1】若已知 1 e 、 2 e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 () A 1 e 与 2 e B3 1 e 与 2 2 e C 1 e 2 e 与 1 e 2 e D 1 e 与 2 1 e 【例 2】在ABC中，AB c，AC b若点D满足2BDDC ，则AD () A 21 33 bcB 52 33 cbC 21 33 bcD 12 33 bc 【例 3】如图,线段AB与CD互相平分,则BD 可以表示为() A .ABCD B. 11 22 ABCD C. 1 () 2 ABCD D.()ABCD
2、 【例 4】在ABC中，ABc ，ACb 若点D满足2BDDC ，则AD （） A 21 33 bc B 52 33 cb C 21 33 bc D 12 33 bc 板块二.平面向量基本定理 与坐标表示 【学而思高中数学讲义】 【例 5】已知ABCD的两条对角线交于点O，设ABa ，ADb ，用向量a 和b 表示 向量BD ，AO 【例 6】已知ABCD的两条对角线交于点O，设对角线AC =a ，BD =b ，用a ，b 表 示BC ，AB 【例 7】在ABC 中,已知 AMAB =13, ANAC =14，BN 与 CM 交于点 P,且 , ACABab ,试 用, a b 表示AP .
3、B A C P N M 【例 8】如图，平行四边形ABCD中，EF、分别是BCDC、的中点，G为DEBF、的交 点,若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG 【学而思高中数学讲义】 【例 9】设P是正六边形OABCDE的中心， 若OAa ，OEb ， 试用向量a ，b 表示OB 、 OC 、OD 【例 10】如图，在ABC中，已知2AB ，3BC ，60ABC，AHBC于 H，M为AH的中点，若AMABBC ，则. A BC H M 【例 11】已知向量a ，b 不共线，ckab kR ，dab ， 如果cd ， 那么 （） A1k 且c 与d 同向B1k 且
4、c 与d 反向 C1k 且c 与d 同向D1k 且c 与d 反向 【例 12】已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A，C） ，则 AP 等于（） 【学而思高中数学讲义】 ? B ? ? D ? ? D ? C ? B ? A ? P A()ABAD ，(0 1)，B()ABBC ， 2 0 2 ， C()ABAD ， 2 0 2 ，D()ABBC ， 2 0 2 ， 【例 13】已知向量a b ，不共线，m n，为实数，则当0manb 时，有mn 【例 14】在 平行 四 边形ABCD中 ，E和F分 别是 边CD和BC的 中点 若 ACAEAF ，其中，R，则 【例 15】
5、在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的点且 1 BFa FCa ， 1 DEb ECb ，若ACAEAF ，其中，R，则 【例 16】证明：若向量,OA OB OC 的终点ABC、 、共线，当且仅当存在实数, 满 足等式1，使得OCOBOA 【例 17】如图， 在ABC中， 点O是BC的中点， 过点O的直线分别交直线AB，AC 【学而思高中数学讲义】 于不同的两点MN，若ABmAM ，ACnAN ，则mn的值为 ? O ? N ? M ? C ? B ? A 【例 18】在OAB 中， 11 , 42 OCOA ODOB ，AD 与 BC 交于点 M，设OA =a ， OB =b
6、，用a ,b 表示OM . 【例 19】如图所示，OMAB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成 的阴影区域内 （不含边界） 运动， 且OPxOAyOB ， 则x的取值范围是； 当 1 2 x 时，y的取值范围是 【例 20】已知P是ABC所在平面内一点,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的 中点为S.证明:只有唯一的一点P使得S与P重合. 【学而思高中数学讲义】 【例 21】点M、N、S分别是OAB的边OA、OB、AB上的点，OAa ，OBb ， 若M、N分别是OA、OB的中点，线段AN与BM的交点为P，求OP ； 若OS是AOB的角平分线，求OS 若:1:3OMOA ，:1:4O
7、NOB ，线段AN与BM交于点Q，求OQ 【例 22】如图，设 P、Q 为ABC 内的两点，且 21 55 APABAC ，AQ 2 3 AB 1 4 AC ，则ABP 的面积与ABQ 的面积之比为() P C A B Q A 1 5 B 4 5 C 1 4 D 1 3 【例 23】如图，已知ABC的面积为 2 14cm，D、E分别为边AB、BC上的点， 且 :2:1AD DBDE CE，AE、CD交于点P，求APC的面积 ? A ? B ? C ? D ? E ? P 【例 24】设 正 六 边 形ABCDEF的 对 角 线,AC CE分 别 被 内 点,M N分 成 为 AMCN r AC
8、CE ，如果,B M N共线，求r的值 【学而思高中数学讲义】 题型二: 平面向量的坐标表示与运算 【例 25】设向量(2, 3)AB ，且点A的坐标为(1, 2)，则点B的坐标为 【例 26】若(2, 1)a ，( 3, 4)b 则34ab 的坐标为_ 【例 27】设平面向量3,5 ,2,1ab ，则2ab （） A6,3B7,3C2,1D7,2 【例 28】已知(2, 3),(1,2)axby ，若ab ，则x ，y 【例 29】若 A(0, 1),B(1, 2),C(3, 4)则AB2BC= 【例 30】若 M(3, -2)N(-5, -1) 且 1 2 MP MN ,求 P 点的坐标；
9、 【例 31】已知两个向量121abx ，若ab ，则x的值等于（） A 1 2 B 1 2 C2D2 【例 32】若向量1ax ，与2bx ，共线且方向相同，求 x 【例 33】已知向量(1,0),(0,1),(),abckab kR dab，如果/cd那么 （） A1k 且c与d同向 B1k 且c与d反向 【学而思高中数学讲义】 C1k 且c与d同向D1k 且c与d反向 【例 34】已知向量1 1a ，2bx ，若ab 与42ba 平行，则实数x的值是 （） A-2B0C1D2 【例 35】若向量a =（1，1） ，b =（-1,1） ，c =（4，2） ，则c = () A.3a +b
10、B. 3a -b C.-a +3b D.a +3b 【例 36】在平面直角坐标系xoy中， 四边形ABCD的边ABDC,ADBC,已知点A( 2，0)，B（6，8） ，C(8,6),则 D 点的坐标为_. 【例 37】已知向量(3,1)a ，(1,3)b ，( ,7)ck ， 若()ac b ， 则k= 【例 38】在直角坐标系xOy中，已知( 3, 13)A ，(0,2)B，(2,12)C，求证：A、B、 C三点共线 【例 39】已知12a ，32b ，当kab 与3ab 平行，k 为何值（） A 1 4 B 1 4 C 3 1 D 3 1 【例 40】已知(1, 2 ),(3, 2 )ab
11、 ,当实数k取何值时,k a 2b 与 2a 4b 平 行？ 【例 41】点(2, 3)A、(5, 4)B、(7, 10)C， 若(R)APABAC ， 试求为何值时， 【学而思高中数学讲义】 点P在一、三象限角平分线上 【例 42】如图，已知( 3, 3)A ，(1,5)B，求线段AB的其中一个四等分点P的坐标 【例 43】若平面向量a ,b 满足1ab ，ab 平行于x轴，21b ，则 a = . 【例 44】设O为坐标原点，向量12OA ，将OA 绕着点O按逆时针方向旋转90 得到向量OB ，则2OAOB 的坐标为 【例 45】正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且
12、(0 3)OP ，(4 0)OS ，则RM （） A 71 22 ，B 71 22 ，C(7 4)，D 77 22 ， 【例 46】已知(1 0)(2 1)ab ， ， 求3ab ； 当k为何实数时，kab 与3ab 平行，平行时它们是同向还是反向？ 【学而思高中数学讲义】 【例 47】已知 A（2,4） 、B（3,1） 、C（3,4）且CACM3,CBCN2,求点 M、N 的坐标及向量MN的坐标. 【例 48】已知向量( 2,2),(5, )abk ，若ab 不超过 5，则k的取值范围是 【例 49】已知向量(1 sin )a ，(13cos )b ，则ab 的最大值为 【例 50】已知向量a =(1 sin ,1)，b = 1 ( ,1 sin ) 2 ，若a /b ，则锐角等于（） A30B45C60D75 【例 51】已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OPOAtAB ， 求(1)t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限。 (2)四边形 OABP 能否构成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请 说明理由。
