1、第 1 页，总 9 页 专题 新文化试题 一、一、 考点分析考点分析 纵观近几年高考，新文化试题已成为高考数学命题的重要素材之一，命题者常常结合统计、 函数、数列、立体几何、算法等内容，通过创设新的情境、改变设问方式，选取适合的知识 内容等多种方法渗透中外优秀的数学文化.以数学文化为背景的问题，不仅让人耳目一新， 同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开. 随着高考改革的深入，命 题者仍会适当加大对中国传统文化进行考查的内容， 如将四大发明、 勾股定理等所代表的中 国古代科技文明作为试题背景材料，遵循继承、弘扬、创新的发展路径，注重传统文化在现 实中的创造性转化和创新性发展，
2、体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献， 践 行社会主义核心价值观. 二、二、 典型例题典型例题 1(2019呼和浩特二模)瑞士著名数学家欧拉发现公式 e ixcos xisin x(i 为虚数 单位)，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复 变函数论里占有非常重要的地位特别是当x 时，e i10 被认为是数学上最优美的 公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”根据欧拉公式可知，e i表示的复数在复平面 中位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2(2019黄山三模)算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著， 它对我国民间
3、普及珠算和数学知识起到了很大的作用， 是东方古代数学的名著 在这部著作 中， 许多数学问题都是以歌诀形式呈现的， “九儿问甲歌”就是其中一首： 一个公公九个儿， 若问生年总不知， 自长排来差三岁， 共年二百又零七， 借问长儿多少岁， 各儿岁数要详推 在 这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1( ) A23 B32 C35 D38 3中华文化博大精深，我国古代算书周髀算经中介绍了用统计概率得到圆周率 的近似值的方法古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图 1)做统计，现将其抽象 成如图 2 所示的图形，其中圆的半径为 2 cm，正方形的边长为 1 cm，在圆内随机取点，若 统
4、计得到此点取自阴影部分的概率是p，则圆周率 的近似值为( ) 图 1 图 2 A. 1 41p B. 1 1p C. 1 14p D. 4 1p 4(2019岳麓区校级模拟)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领 先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过 20 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 20 的概率是( ) 第 2 页，总 9 页 A. 1 12 B. 1 15 C. 1 18 D. 1 14 5(2019开福区校级模拟)周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、 大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种
5、这十二个节气其日影长依 次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，则芒种日影长为( ) A1.5 尺 B2.5 尺 C3.5 尺 D4.5 尺 6 (2019桂林模拟)中国古代的五经是指： 诗经 、 尚书 、 礼记 、 周易 、 春秋 ， 甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没 有选诗经 ，乙也没选春秋 ，则 5 名同学所有可能的选择有( ) A18 种 B24 种 C36 种 D54 种 7(2019郑州三模)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难 入微，数形结合百般好，隔裂
6、分家万事休在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究 函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征如函数f(x) x 4 |4 x1|的图象 大致是( ) A B C D 8(2019十堰模拟)杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列在欧洲， 这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡(16231662)是在 1654 年发现这一规律的我国南宋数 学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上 的一个伟大成就如图，在“杨辉三角”中，去除所有为 1 的项依次构成数列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则此数列前 153 项和为( ) 第 3 页，总
7、 9 页 A2 19211 B2 18211 C219209 D218209 9生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实 源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”为弘扬中国传统文 化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节， 则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为( ) A. 7 60 B. 1 6 C. 13 60 D.1 4 10电子计算机诞生于 20 世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一计算机利用二进 制存储信息，其中最基本单位是“位(bit)”，1 位只能存放 2 种不同的
8、信息：0 或 l，分别 通过电路的断或通实现“字节(Byte)”是更大的存储单位，1Byte8bit，因此 1 字节可 存放从 00000000(2)至 11111111(2)共 256 种不同的信息将这 256 个二进制数中，所有恰 有相邻两位数是 1 其余各位数均是 0 的所有数相加，则计算结果用十进制表示为( ) A254 B381 C510 D765 11 (2019东湖区校级三模)“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流 数”问题时得到的， 但从历史的角度讲， 该不等式应当称为柯西布尼亚科夫斯基施瓦茨不 等式， 因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之， 才将这一不
9、等式推广到完善 的地步， 在高中数学选修教材 45 中给出了二维形式的柯西不等式： (a 2b2)(c2d2)(ac bd) 2 当且仅当adbc(即a c b d)时等号成立该不等式在数学中证明不等式和求函数最值 等方面都有广泛的应用根据柯西不等式可知函数f(x)2 5xx4的最大值及取得 最大值时x的值分别为( ) A. 5，21 5 B. 3，21 5 C. 13，61 13 D. 29，61 13 12黄金分割起源于公元前 6 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前 4 世纪，古希腊数 学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前 300 年前后欧几里得撰写几何原本 时吸收了欧多克索斯的
10、研究成果， 进一步系统论述了黄金分割， 成为最早的有关黄金分割的 论著 黄金分割是指将整体一分为二， 较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分 第 4 页，总 9 页 的比值，其比值为 51 2 ，把 51 2 称为黄金分割数已知双曲线 x 2 51 2 y 2 m 1 的实 轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为( ) A2 52 B. 51 C2 D2 5 13 (2019南昌二模)唐代诗人李颀的诗 古从军行 开头两句说： “白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题， 即将军在观望 烽火之后从山脚下某处出发， 先到河边饮马后再回到军营，
11、怎样走才能使总路程最短？在平 面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2y21，若将军从点 A(2,0)处出发，河岸线所在直 线方程为xy3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短 总路程为( ) A. 101 B2 21 C2 2 D. 10 三、三、 巩固练习巩固练习 1.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角， 下周八尺，高五尺.问：积及为米几何”其意思为：“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一 个圆锥的四分之一 ，米堆为一个圆锥的四分之一 ，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺， 问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知 1 斛
12、米的体积约为立方尺，圆周率约为 3，估算 出堆放斛的米约有（ ） A. 14 斛 B. 22 斛 C. 36 斛 D. 66 斛 2.几何原本卷 2 的几何代数法 以几何方法研究代数问题 成了后世西方数学家处理问题的 重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证 明、 现有如图所示图形， 点F在半圆O上， 点C在直径AB上， 且， 设， 则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 第 5 页，总 9 页 3.我们将称为黄金分割数，亦可简称为黄金数，将离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫 做黄金双曲线，则（ ） A黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的
13、等比中 项 B 黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中 项 C黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中 项 D黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中 项 4.基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数 基本再生数指一个感染者传染 的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间 在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指 数模型：描述累计感染病例数随时间单位：天 的变化规律，指数增长率r与 ，T近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺 炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为（ ） A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 5. 3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模
14、型文件为基础，运用粉末状金属或塑料 等可粘合材料， 通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术 即“积层造型法”过去常在模具 制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用 比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等已知利用 3D打印技术制作如图所示的模型该模型 为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分 正方体四个顶点在圆锥母线上， 四个顶点在圆锥底 面上，圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为打印所用原料密度为 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）取，精确到 A. B. C. D. 6. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来
15、表示数值的算法，该算 法与二分法的思路有相似之处，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和 b，c，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道 ，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为 精确的不足近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后的 近似分数可以是 A. B. C. D. 7. 欧拉公式为虚数单位 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数 的定义域扩大到复数集， 建立了三角函数和指数函数的关系， 它在复变函数论里占有非常重要的 地位给出下列四个命题： 第 6 页，总 9 页 p1：表示的复数在复平面中位于第一象限； p2：表示的复数在复平面中位于第三
16、象限； p3：； p4： 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.九章算术中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而 一 其大意是弧田面积计算公式为： 弧田面积弦矢矢矢弧田是由圆弧 弧田弧 和 以圆弧的端点为端点的线段弧田弦围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长， “矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB等于 6 米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则 A. B. C. D. 9. 南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理： “
17、幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两 个平行平面的任意平面所截， 如果截得两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相 等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 V1、V2，被平行于这两个平面 的任意平面截得的两个截面面积分别为 S1、S2，则命题 p：“V1、V2相等”是命题 q“S1、S2 总相等”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一方田中有如下两个问题： 三三今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？ 三四又有宛田，下周九十九步
18、，径五十一步.问为田几何？ 翻译为：三三现有扇形田，弧长 30 步，直径长 16 步.问这块田面积是多少？ 三四又有一扇形田，弧长 99 步，直径长 51 步.问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是（ ） A问题三三中扇形的面积为 240 平方步 B问题三四中扇形的面积为平方步 C问题三三中扇形的面积为 60 平方步 D问题三四中扇形的面积为平方步 11. 定义： 如果函数在上存在， 满足， 第 7 页，总 9 页 ，则称数，为上的“对望数”，函数为上的“对望 函数” 已知函数是上的“对望函数”， 则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 12.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，
19、画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有 阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴 阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图 2（正八边形 ABCDEFGH）是 由图 1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设 OA=1.则下述四个结论： 以直线 OH 为终边的角的集合可以表示为；以点 O 为圆心、 OA 为半径的圆的弦 AB 所对的弧长为 ；中，正 确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 13.（多选） 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k 倍跟随区间”； 特别地， 若函数的定义域为， 值域也为， 则称为的“跟 随
20、区间” 下列结论正确的是（ ） A. 若为的跟随区间，则 B. 函数不存在跟随区间 C. 若函数存在跟随区间，则 D. 二次函数存在“3 倍跟随区间” 14. （多选）瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一 直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC， ABAC4， 点 B(1，3)，点 C(4，2)，且其“欧拉线”与圆 M： （x-3）2+y2=r2相切，则下列结论正确的 是（ ） A圆 M 上点到直线 x-y+3=0 的最小距离为 2 第 8 页，总 9 页 B圆 M 上点到直线 x-y+3=0 的最大距离为 3 C若点（
21、x，y）在圆 M 上，则 x+y 的最小值是 3-2 D圆（x-a-1）2+（y-a）2=8 与圆 M 有公共点，则 a 的取值范围是1-2,1+2 15. （多选）任何一个复数其中为虚数单位都可以表示成： 的形式，通常称之为复数z的三角形式法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定 理根据以上信息，下列说法正确的是 A. B. 当，时， C. 当，时， D. 当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8， 13，21，其中从第三项开始，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数 组成的数列
22、称为“斐波那契数列”，那么，是斐波那契数 列的第_项 17.九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四 棱锥” 现有阳马，平面ABCD，上有一 点E，使截面SDE的周长最短，则SE与CD所成角的余弦值等于_ 18.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底 面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面 的四棱锥称为阳马；将四个面均直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵 ABC-A1B1C1 中，ACBC，AA1=3， A1-BCC1外接球的表面积为 25，则阳马 A1-BCC1B1体积的最大 值为
23、_. 19. 定 义 ： 如 果 函 数在上 存 在， 满 足 ，则称数，为上的“对望数”，函数为上 的“对望函数”，给出下列四个命题： 第 9 页，总 9 页 二次函数在任意区间上都不可能是“对望函数”； 函数是上的“对望函数”； 函数是上的“对望函数”； 为上的“对望函数”，则在上不单调 其中正确命题的序号为_ 填上所有正确命题的序号 20.阿基米德 公元前 287 年公元前 212 年 不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他 利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积 已知平面直 角坐标系xOy中，椭圆C：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点 构成等边三角形 则
24、椭圆C的标准方程_ 若过点的直线l与C交于不同的两点 ，则面积的最大值_ 21.法国数学家拉格朗日于 1778 年在其著作解析函数论中提出一个定理：如果函数 y=f （x）满足如下条件： （1）在闭区间 a，b上是连续不断的； （2）在区间（a，b）上都有导数 则在区间（a，b）上至少存在一个数，使得 f（b）-f（a）=f （） （b-a） ，其中称为拉 格朗日中值则 g（x）=在区间0，1上的拉格朗日中值=_ 22.数学家斐波那契在其所著计算之书中，记有“二鸟饮泉”问题，题意如下：“如图 1， 两塔，相距步，高分别为步和步两塔间有喷泉，塔顶各有一鸟两鸟同时自塔顶出 发，沿直线飞往喷泉，同时抵达（假设两鸟速度相同）求两塔与喷泉中心之距”如图 2，现有 两塔AC、BD，底部A、B相距 12 米，塔AC高 3 米，塔BD高 9 米假设塔与地面垂直，小鸟飞 行路线与两塔在同一竖直平面内 若如计算之书所述，有飞行速度相同的两鸟，同时从塔顶出发，同时抵达喷泉所在点M， 求喷泉距塔底A的距离； 若塔底A、B之间为喷泉形成的宽阔的水面，一只小鸟从塔顶C出发，飞抵水面A、B之间的 某点P处饮水之后， 飞到对面的塔顶D处 求当小鸟飞行距离最短时， 饮水点P到塔底A的距离
