1、3.1 3.1 函数及其表示函数及其表示 3.1.2 3.1.2 函数的表示法函数的表示法 复习回顾复习回顾 l函数的表示法，常用的有三种：函数的表示法，常用的有三种： 解析法、列表法、图象法。解析法、列表法、图象法。 l解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表 示，这个等式叫做函数的示，这个等式叫做函数的解析式解析式。 l解析式解析式只表示一种对应关系，只表示一种对应关系，与所取的字母无关与所取的字母无关。 例如：例如：y = 2 x 1 1 与与 u = 2 t -1 -1 表示同一个函数。表示同一个函数。 l函数解析式一定是方程；函数解析式
2、一定是方程； 方程不一定是函数解析式。方程不一定是函数解析式。 一次函数：一次函数：y=kx+b （k0） 二次函数：二次函数：y=ax2+bx+c （a0） 可看成关于可看成关于x、y的方程。的方程。 例如：例如：x2+y2=1 复习回顾复习回顾 (1)炮弹发射炮弹发射（解析法）（解析法） h=130t- -5t2 （0t26） (2)南极臭氧层空洞南极臭氧层空洞（图象法）（图象法） (3)恩格尔系数恩格尔系数 (列表法列表法) 时间19911992199319941995199619971998199920002001 恩格尔系 数(%) 53.852.950.149.949.948.64
3、6.444.541.939.237.9 函数的表示法函数的表示法 1、解析法：、解析法：用数学表达式表示两个变量用数学表达式表示两个变量 之间的对应关系之间的对应关系.解析式解析式 优点：优点：函数关系清楚函数关系清楚, ,容易从自变量的值求出其容易从自变量的值求出其 对应的函数值对应的函数值. .便于用解析式来研究函数的性质便于用解析式来研究函数的性质. . ( )53f xx 2 6st 函数的表示法函数的表示法 2、图象法：、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点优点：能直观地表示出函数的变化情况能直观地表示出函数的变化情况。 注意：注意：图象法
4、是今后利用数形结合思想解题的基础。图象法是今后利用数形结合思想解题的基础。 图象法：图象法： 思考：思考：初中画函数图象主要用什么方法？初中画函数图象主要用什么方法？ 利用此法画图的主要步骤如何？利用此法画图的主要步骤如何？ 初中画函数图象的主要方法是初中画函数图象的主要方法是描点法。描点法。 按描点法画函数图象的主要步骤有：按描点法画函数图象的主要步骤有： （1 1）确定自变量）确定自变量 x 的取值范围，对函数图象的取值范围，对函数图象 的整体性质有个把握；的整体性质有个把握； （2 2）列表：）列表：选取一些典型的点，将选取一些典型的点，将x与与y的对应值用表列出的对应值用表列出； （3
5、 3）描点：）描点：将表中点在直角坐标系中描出将表中点在直角坐标系中描出； （4 4）连线：）连线：用平滑直线或曲线依次连接各点用平滑直线或曲线依次连接各点。 例如：例如： 一次函数图象：一条直线一次函数图象：一条直线两点确定一条直线两点确定一条直线 找两个典型的点找两个典型的点通常找与坐标轴的交点。通常找与坐标轴的交点。 二次函数图象：抛物线二次函数图象：抛物线开口方向，对称轴，顶开口方向，对称轴，顶 点，与坐标轴交点。点，与坐标轴交点。 判断一个图形是否是函数图象：判断一个图形是否是函数图象： n判断下列图象，哪些可以表示函数图象？判断下列图象，哪些可以表示函数图象？ x y Ox y O
6、xOxO y y ABCD 平行于平行于y轴（也即垂直于轴（也即垂直于x轴）的直线，与函数图轴）的直线，与函数图 象象至多有一个至多有一个交点。交点。 -11 函数的表示法函数的表示法 3. 列表法列表法: 列出表格来表示两个变量之间的对应关系列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：优点：不必通过运算就知道当自变量取某些值时不必通过运算就知道当自变量取某些值时 函数的对应值函数的对应值. 时间时间(年年)19911992199319941995199619971998199920002001 恩格尔恩格尔 系数系数(%) 53.852.950.149.949.948.646.444.54
7、1.939.237.9 “八五八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情 况况 缺点缺点：经常不可能把所有的对应值列入经常不可能把所有的对应值列入 数表中，而只能达到实际上够用的程度。数表中，而只能达到实际上够用的程度。 函数的表示法函数的表示法 解解:(1)用用解析法解析法可将函数可将函数y=f(x)表示为表示为 1,2,3,4,5 .x y=5x, (2)用用列表法列表法可将函数表示为可将函数表示为 笔记本数 x 1 2 34 5 钱数 y 5 10 15 20 25 例例1、某种笔记本的单价是、某种笔记本的单价是5元元,买买x (x1,2,3,4,5
8、) 个笔记本需要个笔记本需要 y 元元.试用函数的三种表示法表示函数试用函数的三种表示法表示函数 y=f(x). 函数的表示法函数的表示法 x y o 5 10 15 20 25 1 2 3 4 5 (3)用用图象法图象法可将函数表示为下图可将函数表示为下图 (1)用解析法表示函数是否一定要写出自变用解析法表示函数是否一定要写出自变 量的取值范围？量的取值范围？ (2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么？用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 本题中的图象为什么不是一条直线？本题中的图象为什么不是一条直线？ 函数的定义域是函数存在的前提函数的定义域是函数存在的前提, ,在写函数在写函数 解析式的
9、时候解析式的时候, ,一定要写出函数的定义域一定要写出函数的定义域. . 列表、描点、连线列表、描点、连线( (视其定义域决定是否视其定义域决定是否 连线连线) ). 函数的图象既可以是连续的曲线函数的图象既可以是连续的曲线,也可以也可以 是直线、折线、离散的点等是直线、折线、离散的点等. 函数的表示法函数的表示法 例例2.下表是某校高一下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年班三名同学在高一学年 度六次数学测试的成绩及班级平均分表度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 第一次第一次第二次第二次第三次第三次第三次第三次第五次第五次第六次第六次 王伟王伟98 8791928895 张城张城9076
10、88758680 赵磊赵磊686573727582 班级平均分班级平均分88.278.385.480.375.782.6 表格能否直观地分析出三位同学成绩高低表格能否直观地分析出三位同学成绩高低? ? 如何才能更好的比较三个人的成绩高低如何才能更好的比较三个人的成绩高低? ? 请你对这三位同学在高一学年度的数学学请你对这三位同学在高一学年度的数学学 习情况做一个分析。习情况做一个分析。 函数的表示法函数的表示法 解：将解：将“成绩成绩”与与“测试时间测试时间”之间的关系用函数图象表之间的关系用函数图象表 示出来。可以看出：示出来。可以看出： 王伟同学学习情况稳定且成绩优秀；王伟同学学习情况稳定
11、且成绩优秀； 张城同学的成绩在班级平均水平上下波动张城同学的成绩在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大且波动幅度较大; 赵磊同学的成绩低于班级平均水平赵磊同学的成绩低于班级平均水平,但成绩在稳步提高但成绩在稳步提高. 1234560 60 70 80 90 100 . . . . . . x y 王伟王伟 张城张城 班平均分班平均分 赵磊赵磊 函数的表示法函数的表示法 练习练习. 向高为向高为H的水瓶中注水的水瓶中注水,注满为止注满为止,如果注如果注 水量水量V与水深与水深h的函数关系的图象如图所示的函数关系的图象如图所示,那那 么水瓶的形状是么水瓶的形状是( )B 分段函数分段函数 解解:由
12、绝对值的意义由绝对值的意义,知知 例例3.画出函数画出函数 的图象的图象.|yx 图像如下图像如下 , ,0. x x y x x 0, x y ox y o 1 1 函数图像函数图像 变换专题变换专题 y=| x-1 | 比较例比较例3的的做图方法做图方法与例与例1、例、例2有何不同？有何不同？ 例例1、例、例2采用的是描点法采用的是描点法; 例例3可借助于已知函数画图象可借助于已知函数画图象. 描点法一般适用于那些复杂的函数描点法一般适用于那些复杂的函数,而而 对于一些结构比较简单的函数对于一些结构比较简单的函数,则通常借助则通常借助 于一些基本函数的图象来于一些基本函数的图象来变换变换.
13、 分段函数分段函数 例例4某市某市“招手即停招手即停”公共汽车的票价按下列规则制公共汽车的票价按下列规则制 定：定： (1) 5(1) 5公里以内公里以内( (含含5 5公里公里),),票价票价2 2元；元； (2) 5公里以上公里以上,每增加每增加5 5公里公里, ,票价增加票价增加1 1元元(不足不足5公公 里按里按5公里计算公里计算) 如果某条线路的总里程为如果某条线路的总里程为20公里公里,请根据题意请根据题意,写出写出 票价票价y与里程与里程x之间的函数解析式之间的函数解析式,并画出函数的图象并画出函数的图象 解解:设票价为设票价为y元元,里程为里程为x公里公里,由题意可知由题意可知
14、,自变量自变量 的取值范围是的取值范围是(0,20,由票价制定规则由票价制定规则,可得到以下函可得到以下函 数解析式：数解析式： 分段函数分段函数 解解:函数解析式为函数解析式为 y 5x1015 20 1 2 3 4 5 O 有些函数在它的定义域中，有些函数在它的定义域中，对于自变量的对于自变量的 不同取值范围，对应关系不同，不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常这种函数通常 称为称为分段函数分段函数 2， 3， 4， 5, y 0 x5 5 x10 10 x15 15 x20 分段函数分段函数 里程 x(km) 票价 y(元) 510 x 2 05x 1015x 1520 x 345 问
15、：问：此函数能用列表法表示吗？此函数能用列表法表示吗？ 此分段函数的定义域为此分段函数的定义域为(0,20 此分段函数的值域为此分段函数的值域为2,3,4,5 每段上的函数解析式是怎样求出的？每段上的函数解析式是怎样求出的？ 自变量的范围是怎样得到的？自变量的范围是怎样得到的？ 自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点 是怎样确定的？是怎样确定的？ 作函数图象：作函数图象： l作出下列函数的图象，并求函数的值域：作出下列函数的图象，并求函数的值域： y =|1-=|1-x| | y = = x2+1 （x00） -2x （x0 0） y = = x
16、- - n （nZ，且，且-2-2n11，xn, ,n+1)+1)） 作函数图象：作函数图象： y =|1-=|1-x| | 解：解：y =|1-=|1-x|=|= 函数的值域是函数的值域是 0,+0,+） x-1 -1 （x11） 1-1-x （x1 1） | |x-1|=-1|= x y O 4 3 2 1 1234 作函数图象：作函数图象： 解：解： 函数的值域是（函数的值域是（0,+0,+） x y O 4 3 2 1 1234 y = = x2+1 （x00） -2x （x0 0） -3-2-1 5 分段函数的值域求法：分段函数的值域求法： 分别把每段函数的值域分别把每段函数的值域
17、求出，再取它们的并集。求出，再取它们的并集。 作函数图象：作函数图象： 解：解： 函数的定义域是函数的定义域是-2,2-2,2） x y O 2 1 12-2-1 y = = x - - n （nZ，且，且-2-2n11，xn, ,n+1)+1) 函数的值域是函数的值域是0,10,1） y = = x+2 nZ，且，且-2n1 n= -2，-1，0，1 x+1 x x -1 （n = -2= -2，-2-2x-1） （n = -1= -1，-1-1x0） （n = 0= 0，00 x1） （n = 1= 1，11x2） 分段函数分段函数 注意：注意： 1、有些函数在它的定义域中，对于自变量、有
18、些函数在它的定义域中，对于自变量x的的 不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称 为为分段函数分段函数。 分段函数分段函数的表达式虽然不止一个，但它的表达式虽然不止一个，但它不是不是 几个函数几个函数，而是一个函数。，而是一个函数。 2、分段函数的定义域是各段、分段函数的定义域是各段“定义域定义域”的的并集并集， 值域是各段值域是各段“值域值域”的的并集并集。 3、函数图象不一定是光滑曲线（直线），还、函数图象不一定是光滑曲线（直线），还 可以是一些孤立的点、一些线段、一段曲线等。可以是一些孤立的点、一些线段、一段曲线等。 分段函数分段函数 1. 已
19、知函数已知函数 若若 f(x)=3, 则则x的值是的值是( )( ). A. 1 B. C. D. D 2 1, 1 2, ( ), 2 , 2 2. x x x f xx xx 3 1,3, 2 3 3 1, 2 或或 分段函数是一个函数分段函数是一个函数,不要把它误认为是不要把它误认为是 “几个函数几个函数”。 【定义域】？【定义域】？ 【值域】？【值域】？ 分段函数分段函数 2 |5|21yxxx 解：由题意知解：由题意知 y = | x + 5 | + | x 1 | 当当 x 5 时，时， y = ( x + 5 ) ( x 1 )=2x4 当当 5 x 1 时，时， y = ( x
20、 + 5 ) ( x 1 ) = 6 当当 x 1 时，时， y = ( x + 5 ) + ( x 1 ) = 2x + 4 42 6 42 x x y 1 15 5 x x x x y o 51 6 2. 化简函数化简函数 【定义域】？【定义域】？ 【值域】？【值域】？ 分段函数分段函数 3. 函数函数 ，的值域是，的值域是 。 1, 5 10 , 3 0, 32 xx xx xx y (,4 小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把小结：采取分类的方法，利用已知分段函数，把 各段的值域求出来，再取它们的并集；各段的值域求出来，再取它们的并集； 或把所求函数的值域转化成画函数图象，或把所
21、求函数的值域转化成画函数图象， 然后根据函数图象找到函数的值域。然后根据函数图象找到函数的值域。 同学们，函数的表示方法有哪几种？你能同学们，函数的表示方法有哪几种？你能 谈谈它们的优缺点吗？谈谈它们的优缺点吗？ 解析法解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简 单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究但有单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究但有 时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解 析式析式 列表法列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然，查自变量的值与其对应的函数值一目了然，查 找方便但
22、有很多函数，往往不可能把自变量的所有找方便但有很多函数，往往不可能把自变量的所有 值与其对应的函数值都列在表中值与其对应的函数值都列在表中 图像法图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情非常直观，可以清楚地看出函数的变化情 况但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而且况但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而且 有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到 它的完整图像它的完整图像 用适当的方法表示函数，用适当的方法表示函数， 或者把几种方法结合起或者把几种方法结合起 来，能够帮助我们更好来，能够帮助我们更好 的理解函数和运用函数的理解函数和
23、运用函数 解决问题解决问题 课堂小结课堂小结 1.理解函数的三种表示法理解函数的三种表示法及其各自的优点及其各自的优点； 3. 分段函数的表示方法及其图象的画法分段函数的表示方法及其图象的画法. 2.通过例通过例1,2,3,掌握描点法和利用已知函数掌握描点法和利用已知函数 作图的方法、步骤，体会函数的图象作图的方法、步骤，体会函数的图象(数形数形 结合结合)在解决数学问题时的直观效果在解决数学问题时的直观效果. 作业作业 补充作业：补充作业： 求函数求函数y = | 2x+1 | + | x 2 |值域值域 求函数的解析式求函数的解析式 1. y=kx+b经过点经过点(1,0),(0,1),则
24、则y = _; 2. 求满足下列条件的二次函数求满足下列条件的二次函数 f (x) 的解析式的解析式: 顶点坐标为顶点坐标为( 2,3 ),且图象经过且图象经过(3,1)点点, 则则 f (x) = _; x 1 2(x2) 2 + 3 3.已知函数已知函数f(x) =x2+x- -1,则则 f(2)=_, 1 (1)_;f x 若若f(x) =5,则则 x =_. 5 5 2 2或或 -3-3 2111 (1) (1)(1) 1f xxx 2 31 1 x x 求函数的解析式求函数的解析式 例例1.已知已知f(x)是一次函数是一次函数,且且ff(x)=4x1, 求求f(x)的解析式的解析式
25、解解:设设 f (x) = kx+b（k0） 则则 ff(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b =k2x+kb+b=4x1. 2 4, 1, k kbb 2,2, 2121. kk bbbb , , 或或 2, 2, 1 1. 3 k k bb , ,或或 1 ( )2( )21. 3 f xxf xx , ,或或 必有必有 (函数类型确定时用此法函数类型确定时用此法) 求函数的解析式求函数的解析式 一般式：一般式： y=ax2+bx+c (a0) 两根式：两根式： y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 顶点式：顶点式： y=a(x-h)2+k (a0) 解：解： 设所求的二次函数为设
26、所求的二次函数为 y=ax2+bx+c （a0） 由题意得由题意得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程组得解方程组得： 因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是： a=2, b= 3, c=5 y=2x2-3x+5 练习练习1. 已知已知一个二次函数的图象过点（一个二次函数的图象过点（1, 10）、）、 （1, 4）、（）、（2, 7）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？ 求函数的解析式求函数的解析式 一般式：一般式： y=ax2+bx+c (a0) 两根式：两根式： y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 顶点式：顶点式： y=a(x-h)2
27、+k (a0) 练习练习2. 已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1，3），与），与y轴轴 交点为（交点为（0, 5）求抛物线的解析式？）求抛物线的解析式？ 解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为 y=a(x1)2 3 （a0) 由条件得：由条件得： 点点( 0, 5 )在抛物线上在抛物线上 a 3= 5, 得得a= 2 故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2 3 即：即：y=2x2-4x5 求函数的解析式求函数的解析式 一般式：一般式： y=ax2+bx+c (a0) 两根式：两根式： y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 顶点式：顶点式： y=a(x-
28、h)2+k (a0) 练习练习3. 已知抛物线与已知抛物线与x轴交于轴交于A(1, 0)，B(1, 0)， 并经过点并经过点M(0, 1)，求抛物线的解析式？，求抛物线的解析式？ 解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为 y=a(x1)(x1） 由条件得：由条件得： 点点M( 0,1 )在抛物线上在抛物线上 所以所以：a(0+1)(0-1)=1 得：得： a= 1 故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=- (x1)(x-1) 即：即：y=x2+1 求函数的解析式求函数的解析式 f(x)=x21(x1).1). f(t)=t2 - -1 2.(1)2,( ).fxxxf x例例
29、 已已知知求求 2 (1)()211fxxx解解： . 1) 1( 2 x 设设则则1,1,txt 求函数的解析式求函数的解析式 解：解： 2 2 111 4.(),( ). xx ff x xx x 已已知知求求 设设 2 111 (1)1f xx x 211 (1)(1)1 xx 1 1, t x 则则1.t 2 (1).( )1,f tttt 即即 2 (1).( )1,f xxxx 练习练习 求函数的解析式求函数的解析式 的解析式。的解析式。，求，求练习：已知练习：已知)( 1 ) 1 ( 2 2 xf x x x xf 解：解： 求函数的解析式求函数的解析式 f(x)=x21(x1)
30、.1). 3.(1)2,( ).fxxxf x例例 已已知知求求 2 (1)(12f ttt 2 (1) .xt 解解: :设设则则1,1,txt 2 1.t 求函数的解析式求函数的解析式 解：解： 2 111 5.(),( ). xx ff x xxx 已已知知求求 令令 2 111 (1)1f xx x 1 1, t x 则则 2 ( )(1)(1.)1f ttt 即即 2 (1).( )1,f xxxx 1 ,1, 1 xt t 2 1, (1).ttt 练习练习 求函数的解析式求函数的解析式 ).(12) 1 (2)( . 4xfx x fxf，求，求已知已知例例 解：解： 12) 1
31、 (2)( x x fxf 得：得：代替式中的代替式中的以以 1 2 )(2) 1 ( 1 x xf x f x x ，得：，得：2 2 4 12)(3 x xxf x xx xf 3 42 )( 2 即即 )0( x 利用方程思想，采用解方程利用方程思想，采用解方程 组的方法消去不需要的函数式子组的方法消去不需要的函数式子 求函数的解析式求函数的解析式 ).(43)(2)( xfxxfxf，求，求练习：已知练习：已知 解：解： 43)(2)( xxfxf ，可得：，可得：代替式中的代替式中的用用 43)(2)( xxfxf xx ，得：，得：2 123)( xxf 4)( xxf 求函数的解
32、析式求函数的解析式 的表达式。的表达式。求求 有：有：，且对任意实数且对任意实数 ，上的函数，且满足上的函数，且满足是是设设例例 )( ).12()()( 1)0()( . 5 xf yxyxfyxf yx fRxf )( 01)0( xfyx yxf 代入方程，化简后求代入方程，化简后求即即 ，令令，可先对自变量赋值，可先对自变量赋值， 式。式。函数方程，求函数表达函数方程，求函数表达分析：此类问题为已知分析：此类问题为已知 令令 x = 0, y = 0, x = y, x=y等是常用赋值技等是常用赋值技 巧，具体视题设而定。巧，具体视题设而定。 求函数的解析式求函数的解析式 ).12()()(1)0( yxyxfyxff， 方法一：方法一： ，且，且解：解： )22()()(1)0( yxyxfyxff 1) 12()()0( xxxxff yx，代代入入得得：令令 1)( 2 xxxf 求函数的解析式求函数的解析式 ).12()()(1)0( yxyxfyxff， 方法二：方法二： ，且，且解：解： )22()()(1)0( yxyxfyxff )10()0()0( 0 yyfyf x，代入得：，代入得：令令 1)1(1)( 2 xxxxxf )1(1)( yyyf 代入上式得：代入上式得：令令, yx
